PP - Physikalisches Pendel Blockpraktikum Frühjahr 2005

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1 PP - Physikaisches Pende Bockpraktikum Frühjahr 2005 Regina Schweizer, Aexander Seizinger, Tobias Müer Assistent Heiko Eite Tübingen, den 14. Apri Theoretische Grundagen 1.1 Mathematisches Pende Beim mathematischen Pende geten die fogenden Näherungen: konstante Fadenänge punktförmige Pendemasse m masseoser Faden Für die Rückstekraft F Rück git: F Rück = m g sin ϕ wobei sin ϕ = s Zusätzich wirke eine Dämpfungskraft F D, die proportiona zur Geschwindigkeit ϕ ist, aso F D = 2λ v = 2λ ϕ Mit dem dritten Newtonschen Axiom erhaten wir fogende homogene DGL: s(t) + 2λ ṡ(t) + ω 2 0 s(t) = 0 wobei ω 0 = g. As Lösung dieser Differentiageichung erhät man: wobei git: ω D = ω 2 0 λ Logarithmisches Dekrement s(t) = ŝ e λt cos(ω D t + δ) (1) Das ogarithmische Dekrement δ beschreibt die Stärke der Dämpfung. Man definiert: δ := n A(t) A(t + T ) wobei A(t) die Ampitude zur Zeit t, T die Periodendauer der Schwingung ist. Mit Geichung (1) ergibt sich: ŝ e λt cos(ωt + δ) δ = n ŝ e λ(t+t ) cos(ω(t + T ) + δ) Da T die Periodendauer ist äst sich dies vereinfachen: e λt δ = n e = n λ(t+t ) eλt = λt Regina Schweizer, Aexander Seizinger, Tobias Müer 1

2 1.3 Physikaisches Pende Beim physikaischen Pende wird das Trägheitsmoment I ges der Masse und ggf. der Aufhängung und die einzenen Drehmomente D miteinbezogen. Aus Drehimpuserhatungssatz ( L = konst) fogt L = D ges = 0 (2) Das rücksteende Drehmoment der Gravitationskraft D Rück beträgt D Rück = mg sin ϕ das Drehmoment der Dämpfung D D sei Mit Geichung (2) fogt: D D = Γ Ring ϕ Mit der für keine Winke α gütigen Näherung sin α = α erhät man: I ges ϕ + Γ Ring ϕ + mg sin ϕ = 0 (3) ϕ + Γ Ring I ges ϕ + mg I ges ϕ = 0 (4) Diese homogene DGL wurde bereits für das mathematische Pende geöst. 2 Auswertung 2.1 keine Winkenäherung Im ersten Versuchstei sote überprüft werden, ab wechen Winken die Keinwinkenäherung nicht mehr mit der Reaität übereinstimmt. Dazu vergeichen wir unsere gemessenen Kreisfrequenzen mit denen der Theorie des mathematisches Pendes (ω = g. Hierbei ist natürich noch zu beachten, dass wir kein mathematisches Pende hatten und eigentich die Trägheitsmomente des Stabes und der Scheibe noch Einfuss haben und somit der Feher natürich etwas größer ausfät. Die Messung wurde mit einer Länge von = 23, 3cm und einer Masse von m = 7, 4g gemacht und wir somit einen Theoriewert von ω = 6, 5 1 /s erhaten. Ausenkungswinke α ω 0 in s 1 Feher in % 10 5,52 15,1 20 5,53 14,9 45 5,43 16,5 60 5,34 17, ,25 19,3 Leider faen die Feher hier sehr hoch aus, was vermutich auf die Näherung mit dem mathematischen Pende zurückzuführen ist. Man sieht aber das der Feher bei 100 immerhin 5% größer ist. 2.2 Abhängigkeit der Kreisfrequenz von Länge und Masse Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Masse Zur Bestimmung der Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Masse wurde bei konstanter Länge = 20, 0cm mit verschiedenen Massen gemessen. Masse m in g 7,4 14,4 21,4 28,4 35,8 43,2 5,58 5,92 6,12 6,27 6,35 6,60 Regina Schweizer, Aexander Seizinger, Tobias Müer 2

3 Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Masse 7 6,5 6 5, X-Achse: Masse [g], Y-Achse: Kreisfrequenz t 2 [ 1 /s] Vernachässigt man den etzten Messpunkt sieht man sehr schön, dass sie sich die Messwerte dem Wert ω m = g 7 1 /s asymptotisch nähern, damit zunehmender Masse die Trägheit der Scheibe und des Stabes immer mehr vernachässigbar werden und somit ein (fast) mathematisches Pende vorhanden ist Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Länge Anschießend wurde noch zur Bestimmung der Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Länge bei konstanter Masse m = 7, 4g mit verschiedenen Längen gemessen. Länge in cm 16,8 20,9 23,3 4,27 5,59 5,62 Regina Schweizer, Aexander Seizinger, Tobias Müer 3

4 Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Länge 6 5,5 5 4,5 4 3,5 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 X-Achse: Länge [m], Y-Achse: Kreisfrequenz t 2 [ 1 /s] Man sieht hier sofort, dass es sich nicht um ein mathematisches Pende handet, da die Kreisfrequenz nicht von der Masse m und der Länge unabhängig ist Erdbescheunigung g Mit Hife der Kreisfrequenz ω und der Länge ässt sich mit der Beziehung ω = g und den vorherigen Messwerten die Erdbescheunigung berechnen. Bei konstanter Masse m = 7, 4g erhaten wir: Masse m in g 7,4 14,4 21,4 28,4 35,8 43,2 Erdbescheunigung g in m s 6,22 7,00 7,50 7,86 8,07 8,71 Bei konstanter Länge = 20, 0cm erhaten wir: Länge in cm 16,8 20,9 23,3 Erdbescheunigung g in m s 3,07 6,53 7,37 Auch hier iegen die Werte wieder etwas neben dem Thereoriewert, was auf die Näherung des mathematisches Pendes bei der Berechnung zurückführen ist. Die besten Ergebnisse erhät man wenn man eine große Masse und einen angen Faden nimmt. Dann faen nämich die Trägheit der Scheibe und die des Stabes weniger ins Gewicht und die Näherung des mathematisches Pendes stimmt besser überein. 2.3 Dämpfung Abstand d des Magneten in cm 0,5 1,0 1,5 5,56 5,62 5,60 5,61 Logarithmisches Dekrement δ 1,17 0,38 0,21 0,12 Dämpfung λ in 1 s 0,30 0,07 0,04 0,02 Regina Schweizer, Aexander Seizinger, Tobias Müer 4

5 Man sieht bei den Messwerte sehr schön, das die Kreisfrequenz kaum von der Dämpfung abhängt und die Dämpfung zunimmt wenn man den Magneten näher an die Auminiumscheibe schraubt. Regina Schweizer, Aexander Seizinger, Tobias Müer 5