Vom Fallkreis zur Bahnellipse und zum Hodographen

Transkript

1 Vom Fakreis zur Bahneipse und zum Hodographen Q R v P r X S F Y Gegeben: S P v Ort der Sonne Ort des Paneten zu irgendeinem Zeitpunkt t 0 Geschwindigkeit des Paneten zum Zeitpunkt t 0 Version 1.1 Frauenfed, 4. Februar 2013, Martin Guber In eine esbare Form gebracht von Afred Hepp im Februar

2 1 Der Radius des Fakreises Der Radius 2a SQ des Fakreises um die Sonne ist definiert durch diejenige Distanz, in wecher der Panet bei geichbeibender Gesamtenergie keine kinetische Energie mehr hätte: 1 2 m v 2 G M m 1 r E 1 tot G M m 2a aso ( 1 v 2 2 G M r 1 2 G M 2a r 2a 2 a r (1 Hier haben wir schon ein erstes Ma das 1 r 2 -Kraftgesetz von Newton verwendet. Jedes zentrae Kraftfed ist konservativ, d. h. die Gesamtenergie eines Körpers, der sich in einem Kraftfed bewegt, ist konstant. Die Streckenänge 2a ist somit eine Invariante der Panetenbewegung. Der französische Name des Fakreises ist cerce directeur auch nicht schecht! Der deutsche Name refektiert die Tatsache, dass der Panet in P gerade die kinetische Energie 1 2 mv 2 hätte, wenn er aus anfängicher Ruhe von Q nach P faen würde im Gravitationsfed der Sonne. 2 Die Konstruktion der Bahneipse Nebst r und v sei jetzt aso auch der Fakreis mit seinem Radius 2a bekannt. In wenigen Schritten ässt sich nun die Bahneipse konstruieren: Q ist die Projektion von P auf den Fakreis t ist die Gerade durch P mit Richtungsvektor v, aso die zukünftige Eipsentangente F ist das Spiegebid von Q bezügich t F ist schon der zweite Brennpunkt der Bahneipse! Wegen SP + P F SP + P Q 2a muss a die grosse Habachse der Eipse sein. c 1 2 SF ist die ineare Exzentrizität der Eipse, ε c a SF 2 a ist die numerische Exzentrizität, und b a 2 c 2 a 1 ε 2 ist die keine Habachse. Es muss natürich noch gezeigt werden, dass die Position von F nicht von den momentanen Werten von r und v abhängt, dass aso der Vektor SF konstant ist, auch wenn sich r(t und v(t ändern. 2

3 3 r, v und n in Poarkoordinaten Um die Konstruktion rechnerisch nachvoziehen zu können, drücken wir die Vektoren r(t, v(t und n(t in Poarkoordinaten aus: r r v r ṙ r(t + r φ ( cos(φ(t sin(φ(t ( cos φ (ṙ cos φ r φ ṙ + r φ cos φ Den Normaenvektor n zu v biden wir nach dem bekannten Muster: ( ( ( a b ṙ + r φ cos φ, aso n b a ṙ cos φ + r φ Nach Konstruktion haben n und v denseben Betrag, n ist der um 90 im Uhrzeigersinn gedrehte Vektor v. 4 r v as weitere Invariante der Bahnbewegung Der Vektor r v steht senkrecht auf der Bahnebene. Dass die Bahn eben sein muss, ergibt sich gerade daraus, dass der Vektor konstant ist, wenn die Bewegung in einem zentraen Kraftfed stattfindet: ( r v r v + r v v v + r a Der zweite Summand ist gerade dann nu, wenn r und a parae oder antiparae sind. Physikaischer gesprochen: L m m ( r v r (m v r p ist der Bahndrehimpus dieser Bewegung. Dieser kann sich in einem zentraen Kraftfed nicht ändern, da das Drehmoment immer nu ist manges Hebearm. Eine keine Rechnung iefert , r 2 φ ist konstant (2 r 2 φ 3

4 5 Die Berechnung des Vektors SF Ausgehend von der Darsteung von r, v und n im Abschnitt 3 können wir ae bei der Konstruktion von SF verwendeten Vektoren ausdrücken: SQ 2 a ; P Q (2 a r QF 2 RQ ( 2 P Q n n ( n n ( P Q n n n2 v 2 P Q n n Berechnen wir aso P Q n: (2 a r ( ( cos φ ṙ + r φ cos φ ṙ cos φ + r φ (2 a r [ ṙ cos φ + r φ cos 2 φ ṙ cos φ + r φ sin 2 φ] (2 a r [r φ (sin 2 φ + cos 2 φ] (2 a r r φ Nach (1 ist n 2 v 2 2 G M 2 a r 2 a r. Somit Aso 2 a r QF 2 (2 a r r φ 2 G M (2 a r n 2a r 2 φ n 2a n (3 G M G M SF SQ + QF 2 a 2a G M ( 2 a cos φ ṙ r φ cos φ + ṙ cos φ r φ ( ṙ + r φ cos φ G M ṙ cos φ + r φ (4 4

5 6 Die Bescheunigung in einem zentraen Kraftfed Wir müssen ja noch zeigen, dass die Abeitung von SF nach der Zeit den Nuvektor iefert. In dieser Rechnung tauchen auch Terme mit r auf, worauf wir uns ein bisschen vorbereiten müssen: a r v d dt (ṙ cos φ r φ ṙ + r φ cos φ ( r cos φ ṙ φ ṙ φ r ( φ + φ2 cos φ r + ṙ φ cos φ + ṙ φ cos φ + r ( φ cos φ φ 2 ( r r φ 2 + (2 ṙ φ + r φ ( cos φ (5 In jedem zentraen Kraftfed ist a r. Der zweite Summand in (5 muss aso nu sein, d. h. es muss geten: 2 ṙ φ + r φ 0 (6 Dieses Resutat hätten wir auch schon aus der Konstanz von hereiten können: (2 0, aso 2 r ṙ φ + r 2 φ 0 Division durch r iefert ebenfas (6. Wenn wir nochmas das 1 r - Kraftgesetz verwenden, erhaten wir damit 2 ( r ( r r φ 2 cos φ G M r 2 und daraus Division durch φ iefert r r φ 2 G M r 2 r M r φ G φ r 2 φ G M und wir haben G M r φ ṙ φ (7 5

6 7 Beweis der Invarianz von SF Jetzt können wir zeigen, dass die Abeitung von (4 nu ist. Die konstanten Faktoren vor dem Vektor assen wir dabei weg: ( ( cos φ ṙ r φ cos φ + ṙ cos φ r φ φ r ṙ cos φ φ ṙ ( φ cos φ r ( φ cos φ φ φ cos φ φ + r cos φ ṙ φ ṙ ( φ r ( φ + φ cos φ φ ( ( ṙ φ r φ φ r 2 ṙ φ cos φ r φ cos φ + r φ2 (r φ ṙ φ φ cos φ + r cos φ 2 ṙ φ r φ r φ2 cos φ ( r r φ 2 r 2 ṙ φ cos φ r φ cos φ + r φ 2 r φ 2 cos φ r cos φ + r cos φ 2 ṙ φ r φ r φ 2 cos φ (2 ṙ φ + r φ 0 ( 0 0 nach (6 Damit ist bewiesen, dass die zu beiebigen Anfangsbedingungen r(t 0 und v(t 0 konstruierte Eipse die Bahn des Paneten ist. Mit SF ist auch die Apsideninie Y F SX raumfest. Die genauen angzeitichen Beobachtungen, dass die Apsideninien bis auf keine Störungen durch benachbarte Paneten raumfest sind, sind auch eine Bestätigung des Exponenten -2 im Kraftgesetz. Nur aus diesem Exponenten ergeben sich geschossene eiptische Bahnen! Die anderen beiden Keper schen Gesetze assen sich jetzt wie im Skriptum Keper_01.pdf abeiten. Die Poarform der Eipsengeichung wird dabei nicht benötigt. 6

7 8 Die Kreisform des Hodographen as Koroar Trägt man ae Geschwindigkeiten, die ein Körper auf einer geschossenen periodischen Bahn annimmt, von einem festen Punkt aus ab, so biden die Spitzen dieser Geschwindigkeitsvektoren eine Kurve. Diese nennt man den Hodographen der Bewegung (siehe auch Keper_04.pdf. Wir erhaten fast gratis aus unserer Hereitung der Bahneipse das fogende Koroar: Der Hodograph zur eiptischen Bahn eines Paneten ist ein Kreis. In der Tat: Trägt man ae Vektoren F # Q» von F aus ab, so erhät man sicher einen Kreis, nämich den Fakreis mit Zentrum S und dem Radius 2a. Nach (3 sind aber die Vektoren F # Q» und n proportiona, Proportionaitätskonstante ist 2 a. Wir erhaten aso einen Kreis, wenn wir ae Vektoren n von F aus abtragen. F ist wiederum nicht das Zentrum dieses Kreises. Nun git aber immer n v und n v! Tragen wir aso ae Vektoren v von einem festen Punkt aus ab, so erhaten wir ebenfas einen (um 90 gedrehten... Kreis. Genauer: v n G M 2 a F Q nach (3 Der Hodograph hat aso den Radius 2 a 2 a. Dieser Term hat auch die Einheiten einer Geschwindigkeit, wie wir mit der Geichung (7 eicht prüfen können. Zudem: v max (in X G M G M (2a + 2c (1 + ε 2 a v min (in Y G M G M (2a 2c (1 ε 2 a 7

8 9 Und wenn die Gesamtenergie des Körpers positiv ist? A k S v r P X Z F R n B t Q Gegeben: S P v Ort der Sonne Ort des Kometen zu irgendeinem Zeitpunkt t 0 Geschwindigkeit des Kometen zum Zeitpunkt t 0 8

9 Der Energieerhatungssatz (1 iefert uns immer noch einen Wert für die Konstante 2a, aerdings ist diese jetzt negativ. Wir definieren Q weiterhin durch SQ 2a r r. Q iegt jetzt P gegenüber, da 2a negativ ist. Der Radius des Kreises k mit Zentrum S ist aso 2a. Dieser Kreis wird uns wieder einen Kreis iefern, auf wechem der Hodograph der Bahn iegt. F ist wieder as Spiegebid von Q bezügich t definiert. Berechnen wir SF wieder as Summe von SQ und QF, so erhaten wir genau denseben Term wie bei (4. Nach der Rechnung im Abschnitt 8 ist aso SF weiterhin unabhängig von der Zeit. Ae Paare r(t, v(t iefern denseben Vektor SF. Für den Punkt P git zu jedem Zeitpunkt SP P # F» SP P # Q» SQ 2a. Die Bahn des Körpers im Gravitationsfed von S ist damit ein Hyperbeast. Bewegt sich P durch diesen Hyperbeast, so bewegen sich die zugehörigen Punkte Q auf dem Bogen AB des Kreises k. Die Spitzen der Vektoren F # Q» iegen auf dem Bogen AB des Kreises k, wenn man sie ae von F aus abträgt. Entsprechendes müssen auch die Spitzen der Vektoren n tun, da diese nach (3 konstante Viefache von F # Q» sind. Drehen wir dieses Bogenstück um 90 im Gegenuhrzeigersinn, so haben wir den Hodographen dieser Bewegung vor uns (nach Konstruktion von n aus v im Abschnitt 3. Die Exzentrizität ε bestimmt sich durch SZ XZ SF 2 XZ SF 2a. 9

10 10 Der Grenzfa der Parabe t g v P Q r n h S α α X R α L α Gegeben: S P v Ort der Sonne Ort des Kometen zu irgendeinem Zeitpunkt t 0 Geschwindigkeit des Kometen zum Zeitpunkt t 0 10

11 a Konstruktion der Leitgeraden g und der Symmetrieachse h r, v, t und n seien wie bisher definiert. Eine anaoge Konstruktion wie für die Eipse oder die Hyperbe ist nicht mögich, da der Wert von 2a unendich gross wird. Daher konstruieren wir den Kegeschnitt diesma über die Leitgerade. Und das geht sehr einfach: Q ist das Spiegebid von S bezügich t. Die Leitgerade g ist damit schon durch Q und den Normaenvektor P # Q» definiert. Auch die Symmetrieachse der Parabe (aso die Apsideninie h ist durch S und den Richtungsvektor P # Q» schon festgeegt. Die Punkte SP QR biden die Ecken eines Rhombus. Es ist noch zu beweisen, dass die Lage von g und h nicht von den momentanen Werten von r und v abhängt. Wenn das aber git, dann ist die Bahn des Objekts eine Parabe mit Brennpunkt S und Leitgeraden g, da für jeden Punkt P der Bahn git SP d(p, g. b Beweis der Invarianz von g und h Zuerst einige vorbereitenden Bemerkungen: Aus dem Energieerhatungssatz (1 kriegen wir in diesem Fa v 2 2 G M. r Rechnet man das Skaarprodukt r n aus wie bei (3, so erhät man r n r r φ. Andererseits git r n r n cos(α r v cos(α. Beide Geichungen zusammen ergeben cos(α r v. Nun können wir den Beweis der Invarianz von g und h in 2 Schritten führen: i Wir beweisen, dass die Richtungen von h und g invariant sind, indem wir zeigen, dass die Abeitung des Vektors nu ist. 1 r P # Q» 1 r SR ii Wir zeigen noch, dass der Betrag des Vektors SL konstant ist. 11

12 Beweis von i: 1 SQ 2 ( r n n 2 n 2 1 v 2 n 2 r 2 G M n G M r n SR P # Q» SQ r 1 r SR G M G M r n r ( cos φ ( ṙ + r φ cos φ G M ṙ cos φ + r φ ( cos φ ṙ r φ cos φ + ṙ cos φ r φ Das ist (bis auf konstante Faktoren der Vektor von (4, von wechem im 8. Abschnitt gezeigt wird, dass er invariant ist. Damit ist der erste Tei des Beweises erbracht. 1 r SR ist ein einheitenoser Einheitsvektor, der von S in die Richtung von X, R und L zeigt. Beweis von ii: Nun zeigen wir noch, dass der Abstand SL unabhängig ist von der spezieen Wah des Bahnpunktes P : SL SQ cos(α konstant G M r n r v G M r v Somit ässt sich auch der Vektor SX 1 2 SL berechnen. r v 2 G M c Der Hodograph der Parabebahn Im Unendichen wird die Geschwindigkeit des Kometen in diesem Fa gerade nu, während sie im Punkt X ihren maximaen Wert annimmt. v max g S v α α X L h 12

13 Wir zeigen, dass git v v max cos(α. Dann müssen die Spitzen aer Geschwindigkeitsvektoren auf dem Kreis mit Durchmesser v max iegen. Es werden auch ae Punkte erreicht ausser X seber. Es git SL SQ 2 r cos(α, cos(α aso daraus SL 2 r cos 2 (α 2 2 G M v 2 cos 2 (α, v 4 G M SL cos(α k cos(α. Aus dem Speziafa α 0 erhät man k v max. Da wir für SL schon den Wert G M v max 2 2 G M 2 2 G M. berechnet haben, erhaten wir noch Für den Radius des Hodographen ergibt sich damit wieder der Wert von 1 2 v max G M. 13

14 11 Synopsis Wir haben den Energieerhatungssatz (1 zum Ausgangspunkt unserer Betrachtungen gemacht. In aen drei Fäen (E tot < 0, E tot > 0 und E tot 0 konnten wir die wesentichen Eemente der Bahn aus der Anfangsposition und der Geschwindigkeit in jener Position konstruieren. Die rechnerische Begründung der Konstruktion führte in aen drei Fäen auf dieseben Ausdrücke, weche geometrisch motiviert sind und oft eine geometrische oder physikaische Interpretation erauben. Wir möchten noch die Ergebnisse für ae drei Fäe zusammenfassen. Die Beweise zu den Behauptungen finden sich mehr oder weniger expizit im vorangegangenen Text. 0 Es git r v 0 mit r 2 φ konstant. Das ist das zweite Keper sche Gesetz von der konstanten Fächengeschwindigkeit oder der Erhatungssatz für den Bahndrehimpus. Die Aussage ist äquivaent dazu, dass die wirkende Kraft eine Zentrakraft ist. Die Geschwindigkeit v h G M Radius des Hodographen. r φ ṙ φ ist konstant. Sie ist in jedem Fa geich dem Aus dem Grenzfa der Parabe ergibt sich mit der Perihe-Geschwindigkeit v p : v p > 2 v h v p 2 v h v p < 2 v h die Bahn ist eine Hyperbe die Bahn ist eine Parabe die Bahn ist eine Eipse In aen drei Fäen git v p v h (1 + ε, wo ε für die Exzentrizität steht. Der konstante einheitenose Vektor k mit k G M n 1 r r zeigt vom Kraftzentrum, aso von der Sonne zum Perihe der Bahn. Zudem git in aen drei Fäen k ε. k ist proportiona zum Lapace-Runge-Lenz-Vektor. Hier ist er geometrisch motiviert as Viefaches des Vektors SF. Für die Perihe-Distanz r p git r p v p. Zusammen mit v p v h (1 + ε und v h ergibt sich r p v p v h (1 + ε 2 G M (1 + ε. 14