E > 0. V eff (r) r. V eff,min < E < 0. r min. V (r)

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1 II.2 Zwei-Körper-Systeme µr 2 r min E > 0 r V eff (r) r max r min V eff,min < E < 0 V (r) E < V eff,min Abbidung II.4 Effektives Potentia V eff (r) für das Keper-Probem. Mit dem newtonschen Gravitationspotentia V (r) = α/r mit α = G N m 1 m 2 > 0 ist das resutierende effektive Potentia eine nicht-monotone Funktion von r, erstma abnehmend dann wachsend. Je nach den reativen Werten von der Gesamtenergie E und dem minimaen Wert V eff,min < 0 des effektiven Potentias kommen drei verschiedene Mögichkeiten vor, die in Abb. II.4 graphisch gezeigt werden: Für E < V eff,min ist die rechte Seite von G. (II.48) immer negativ, so dass keine Lösung der Geichung mit reeer Radiageschwindigkeit existieren kann: diesen mathematischen Werten von E und entspricht keine physikaisch eraubte Lösung des Keper-Probems. Für V eff,min < E < 0 kann die rechte Seite von G. (II.48) nicht-negativ sein, und zwar für Werte r min r r max, wobei r min, r max die zwei Lösungen der Geichung V eff (r) = E sind. Da r max endich ist, beibt das fiktive Teichen immer in endichem Abstand vom Kraftzentrum, und ist somit daran gebunden. Bei den Abständen r min und r max verschwindet die Radiageschwindigkeit ṙ die eigentich ihr Vorzeichen ändern wird: dabei handet es sich um Umkehrpunkte der Radiabewegung. Im Speziafa E = V eff,min ist V (r) = E für einen einzigen Wert von r. Dazu gibt G. (II.48) ṙ(t) = 0, d.h. r beibt konstant: die entsprechende Bahnkurve ist ein Kreis. Für E 0 hat die Geichung V eff (r) = E eine einzige Lösung r min, und die rechte Seite von G. (II.48) beibt positiv für r > r min. Somit geht die Bahnkurve des fiktiven Teichens unendich weit weg vom Kraftzentrum: das Teichen ist ungebunden. Bemerkung: Für keine Abstände r vom Kraftzentrum dominiert der Beitrag 2 /2µr 2 im effektiven Potentia gegenüber dem Gravitationspotentia. Da dieser Term positiv ist, führt er zu einer Abstoßung vom Kraftzentrum weg. Dementsprechend wird der Term 2 /2µr 2 oft as Zentrifugapotentia bezeichnet. Für die obige Faunterscheidung war die genaue Form des effektiven Potentias, und daher von V (r), nicht nötig, um die Existenz oder nicht-existenz von Lösungen festzusteen. Die exakten Bahnkurven entsprechend den verschiedenen Fäen hängen aber natürich von V (r) ab.

2 44 Newtonsche Mechanik: Anwendungen Ausgehend aus G. (II.48) kann man den Verauf der Bahnkurve bestimmen. (18) Einerseits git unter Verwendung der Kettenrege dr(t) dt = dr(θ) dθ(t) dθ dt = dr(θ) dθ µr 2, wobei G. (II.43) benutzt wurde. Andererseits ist ṙ(t) auch durch G. (II.48) gegeben. Betrachtet man eine Lösung mit positiver Radiageschwindigkeit, so kann man schreiben Das heißt, dθ = dr(θ) dθ = µr2 dr r 2 2µ[E V eff (r)] = ṙ(t) = r2 2µ[E Veff (r)]. dr r 2 2µ[E V (r)] /r 2 und nach formeer Integration beider Seiten dieser Geichung r dr θ = r 2 2µ[E V (r )] 2 /r, 2 (II.49) (II.50) wobei r min < r < r max geten muss. Im Fa des newtonschen Potentias V (r) = α/r mit α = G N m 1 m 2 kann die Integration expizit durchgeführt werden. Dabei ist r dr θ = r 2 2µ(E + α/r ) 2 /r. 2 Eine erste Substitution u = 1/r, d.h. du = dr /r 2, gibt zunächst du θ = 2µ(E + αu ) 2 u = du 2 2µE/ 2 + (2µα/ 2 )u u. 2 Der Term unter der Wurze im Nenner ist der Form a + bu u 2 = a + b 2 /4 (u b/2) 2, mit a = 2µE/ 2 und b = 2µα/ 2. Eine weitere Substitution v = (u b/2)/ a + b 2 /4 iefert dann du v a + b 2 /4 (u b/2) = dv ( ) u b/2 = arccos(v) = arccos. 2 1 v 2 a + b 2 /4 Somit erhät man ( 1/r µα/ 2 ) θ = arccos + Konstante (II.51) 2µE/ 2 + µ 2 α 2 / 4 Die Wah der Integrationskonstante ist äquivaent zur Wah der Bezugsrichtung θ = 0, so dass die Konstante probemos geich Nu genommen werden kann. Damit ergibt sich Mit den Definitionen cos θ = 1/r µα/ 2 2µE/ 2 + µ 2 α 2 / = 1/r µα/ 2 4 (µα/ 2 ) 2E 2 /µα ɛ wird die θ-r-abhängigkeit zu ɛ cos θ = p/r 1, d.h E2 µα 2 und p 2 µα r = (II.52a) p 1 + ɛ cos θ. (II.52b) Das ist die Geichung in Poarkoordinaten eines Kegeschnitts mit Exzentrizität ɛ und Parameter p. (18) Eine aternative Hereitung wird im Anhang II.A zu diesem Kapite vorgestet.

3 II.2 Zwei-Körper-Systeme 45 Bemerkung: Man prüft einfach, dass die Wah einer Lösung (genauer, eines Zweigs der Lösung) mit negativer ṙ(t), entsprechend der negativen Wurze der G. (II.48), führt zur geichen Bahnkurve: dr(θ)/dθ > 0 bzw. dr(θ)/dθ < 0 entspricht dem Tei der Kurve mit 0 < θ < π bzw. π < θ < 2π. Genau wie in der Diskussion der Abb. II.4 gibt es unterschiediche Fäe je nach dem Wert der Energie E. Dafür kann man schon bemerken, dass das effektive Potentia α/r + 2 /2µr 2 minima für r 0 = 2 /µα ist, wo V eff den Wert µα 2 /2 2 V eff,min annimmt. Für V eff,min E < 0 git aut G. (II.52a) 0 ɛ < 1; d.h., die Bahnkurve ist eine Eipse ein Kreis fas ɛ = 0, entsprechend E = V eff,min. Dies bidet das erste Kepersche Gesetz: Die Paneten bewegen sich auf eiptischen Bahnen (mit der Sonne in einem gemeinsamen Brennpunkt). (II.53) In einem Doppesternsystem beschreibt jeder Stern eine eiptische Bahnkurve mit dem anderen Stern in einem Brennpunkt, während die Position ihres Schwerpunkts unverändert beibt. b a θ Abbidung II.5 Eipse mit Exzentrizität ɛ = 0, 6; die Punkte sind die Brennpunkte. Die große Habachse der Eipse ist a = p/(1 ɛ 2 ), die keine Habachse b = p/ 1 ɛ 2. Die durch die Eipse abgeschossene Oberfäche ist S = πab. Andererseits ist diese Fäche über den Fächensatz (II.44) mit der Umaufzeit T verknüpft: S = (/2µ)T. Somit git T 2 = 4µ2 2 S2 = 4π2 µ 2 2 a 2 b 2 = 4π2 µ 2 p 2 a 3 = 4π2 µ α a3. Mit den Ausdrücken der reduzierten Masse und der Konstante α = G N m 1 m 2 ergibt sich schießich T 2 4π 2 = G N (m 1 +m 2 ) a3. Dies entspricht dem dritten Keper-Gesetz: Die Quadrate der Umaufbahnen der Paneten sind proportiona zur dritten Potenz der großen Bahnhabachse. (II.54) Auf der Parametrisierung (II.52b) kann man sofort den bei θ = 0 bzw. θ = π stattfindenden minimaen bzw. maximaen Abstand r min = p/(1+ɛ) bzw. r max = p/(1 ɛ) zwischen Paneten und Stern esen. Für E = 0 ist die Exzentrizität der Bahnkurve geich 1, so dass diese eine Parabe ist.

4 46 Newtonsche Mechanik: Anwendungen Für E > 0 ist gemäß G. (II.52a) die Exzentrizität größer as 1, ɛ > 1, d.h. die Bahnkurve ist eine Hyperbe (Abb. II.6). Wie aus der Diskussion des effektiven Potentias erwartet war, ist die Bewegung räumich unbegrenzt, und r(θ) wächst unendich groß wenn cos θ von oben gegen 1/ɛ geht. Dagegen wird für θ = 0 der minimae Abstand zum Brennpunkt r min = p/(1 + ɛ) erreicht. θ Abbidung II.6 Hyperbe mit Exzentrizität ɛ = 1, 6 für ein anziehendes Potentia. Bisher wurde nur das anziehende newtonsche Potentia (II.37b) betrachtet, entsprechend einem positiven Wert von α = G N m 1 m 2. Man kann auch die Bahnkurven für das abstoßende Potentia V (r) = α/r mit α < 0 betrachten, was insbesondere dem eektrostatischen Couomb-Potentia zwischen zwei positiven oder zwei negativen Punktadungen entspricht. Wiederhot man die Hereitung zwischen G. (II.50) und (II.52) für den Fa α < 0, so findet man, dass die mögichen Bahnkurven wieder Kegeschnitte sind. Dabei treten die abgeschossenen Trajektorien (Eipse, Kreis) aber nicht mehr auf, da es keine gebundenen Zustände des Zwei-Körper- Systems gibt das effektive Potentia V eff (r) ist immer positiv und nimmt monoton mit r ab, sondern nur ungebundene. Da V eff (r) > 0 für ae Abstände r, gibt es auch keine Bahnkurve mit E = 0, d.h. keine Parabe. Dagegen gibt es Hyperben (ɛ > 1), wobei man aufpassen so, das der Parameter p jetzt negativ ist. Der minimae Abstand ist somit r min = p /(ɛ 1) und wird für θ = π erreicht (Abb. II.7). Wiederum wird r unendich groß, wenn cos θ ( 1/ɛ) von unten geht.

5 II.2 Zwei-Körper-Systeme 47 θ Abbidung II.7 Hyperbe mit Exzentrizität ɛ = 1, 6 für ein abstoßendes Potentia.