Gekoppelte Fadenpendel

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1 Gekoppete adenpende Water endt 8. August 2007 Von gekoppeten Schwingungen spricht man, wenn sich mehrere schwingungsfähige Objekte gegenseitig beeinfussen. Ein bekanntes Beispie wird im ogenden näher beschrieben. Versuchsanordnung: Zwei geichartige adenpende sind durch eine Schraubenfeder geringer ederhärte verbunden. Der Abstand der Aufhängungen ist so gewäht, dass die eder bei senkrechtem Verauf der beiden äden keine Kraft ausübt. Außerdem wird vorausgesetzt, dass die beiden Pende gegenüber ihrer Geichgewichtsage nur wenig ausgeenkt werden. Reibungskräfte soen vernachässigt werden. α α s s Die Masse eines Pendekörpers sei mit m bezeichnet, die adenänge mit. Die ederkonstante sei D. Das Gesamtsystem hat zwei reiheitsgrade, da der momentane Zustand durch zwei Koordinaten beschrieben werden kann, beispiesweise durch die Ausenkungswinke α und α oder auch durch die entsprechenden Kreisbögen s = α und s = α. Grundagen: Kreisfrequenz einer harmonischen Schwingung Bei einer harmonischen Schwingung einer punktförmigen Masse ist die rücktreibende Kraft proportiona und entgegengesetzt zur Eongation (Ausenkung) s. Diese Tatsache wird durch = D s 1

2 ausgedrückt, wobei bzw. s nicht as Absoutbeträge, sondern as vorzeichenbehaftete Größen aufgefasst werden. Positives Vorzeichen entspricht der rechten Seite, negatives der inken. Der Proportionaitätsfaktor D = s (1) ist zeitich konstant und wird as Richtgröße bezeichnet. Aus der Richtgröße ässt sich die Kreisfrequenz ω einer harmonischen Schwingung berechnen. ω = D m (2) Eigenschwingungen des Systems Wenn man das Verhaten eines schwingenden Systems durchschauen wi, empfieht es sich, die so genannten Eigenschwingungen zu untersuchen. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass die Teie des Systems entweder geichphasig oder gegenphasig schwingen. Das voriegende System hat zwei reiheitsgrade und dementsprechend auch zwei Eigenschwingungen. Diese sind verhätnismäßig eicht zu finden. 1. Eigenschwingung (geichphasig) Bei der ersten Eigenschwingung git für die beiden Ausenkungswinke stets α = α. Die Pendekörper der beiden adenpende sind aso zu jedem Zeitpunkt gegenüber ihrer Ruheage geich weit ausgeenkt, wobei sich entweder beide Pendekörper auf der inken Seite befinden oder beide auf der rechten. α α α = α 1. Eigenschwingung: Ausenkungswinke der beiden Pendekörper α = Acos(ω 1 t + ϕ 1 ) (3) α = Acos(ω 1 t + ϕ 1 ) (4) 2

3 Da der Abstand der beiden Pendekörper konstant beibt, wird die eder weder gedehnt noch gestaucht. Sie hat daher keinen Einfuss auf die Bewegung. Die Richtgröße berechnet sich aso wie bei einem einzigen adenpende. D 1 = s = mg sin α α mgα α = mg Hier wurde für die Komponente der Gewichtskraft ( G = mg) in Bewegungsrichtung, aso die Hangabtriebskraft mg sin α eingesetzt. Die Tatsache, dass diese Kraft nicht genau waagrecht gerichtet ist, kann bei keinen Ausenkungen vernachässigt werden. Unter dieser Voraussetzung ist auch die Näherungsforme sin α α für keine Winke berechtigt. ür die zugehörige Kreisfrequenz erhät man ω 1 = D1 m = mg/ g m =. 1. Eigenschwingung: Kreisfrequenz ω 1 = g (5) 2. Eigenschwingung (gegenphasig) Auch bei der zweiten Eigenschwingung sind die beiden Pendekörper immer betragsmäßig geich weit ausgeenkt. Aerdings befindet sich jeweis ein Pendekörper inks von seiner Ruheage und einer rechts davon. Es git aso zu jedem Zeitpunkt α = α. α α α = α 2. Eigenschwingung: Ausenkungswinke der beiden Pendekörper α = B cos(ω 2 t + ϕ 2 ) (6) α = B cos(ω 2 t + ϕ 2 ) (7) 3

4 Die Position des inken Pendekörpers sei gegeben durch den Winke α, so dass die momentane Ausenkung geich α ist. Auf den Körper wirkt einerseits die Hangabtriebskraft mg sin α mgs, andererseits nach dem hookeschen Gesetz die ederkraft D 2s. Der aktor 2 kommt dadurch zustande, dass die eder auf beiden Seiten jeweis um s gedehnt oder zusammengedrückt ist. Es ist zu beachten, dass die Hangabtriebskraft und die ederkraft nicht genau diesebe Richtung haben. Da jedoch keine Ausenkungen vorausgesetzt wurden, kann die Gesamtkraft as Summe angesetzt werden. ür die Richtgröße ergibt sich somit D 2 = = mgs 2Ds s = mg 2D = mg + 2D. As Kreisfrequenz der Eigenschwingung erhät man aso ω 2 = D2 m = g + 2D m. 2. Eigenschwingung: Kreisfrequenz ω 2 = g + 2D m (8) Aufsteung des Differentiageichungssystems Obwoh es nach der Bestimmung der Eigenschwingungen eigentich nicht mehr nötig wäre, so hier das zugehörige ineare Differentiageichungssystem für die Winke α und α aufgestet werden. Auf den inken Pendekörper wirken zwei Kräfte, nämich die Hangabtriebskraft mg sin α mgα und die ederkraft, für die sich nach dem hookeschen Gesetz D(α α) = D(α α) ergibt. Da die Bescheunigung dieses Pendekörpers geich α ist, erhät man aus dem newtonschen Kraftgesetz näherungsweise: m α = mgα + D(α α) = (mg + D)α + Dα Entsprechendes git für den rechten Pendekörper: m α = mgα + D(α α ) = Dα (mg + D)α 4

5 Differentiageichungssystem für α und α m α = (mg + D)α + Dα (9) m α = Dα (mg + D)α (10) Man rechnet eicht nach, dass die in den vorausgegangenen Abschnitten aufgeführten Eigenschwingungen Lösungen dieses Systems sind. Agemeine Lösung In der Theorie der inearen Differentiageichungssysteme wird bewiesen, dass die Lösungen eines sochen Systems einen Vektorraum biden. Beim hier betrachteten Probem hat dieser Vektorraum die Dimension 4. Jede der zuvor angegebenen Lösungen für die Eigenschwingungen entspricht einem Vektorraum der Dimension 2, was an den jeweis zwei vorkommenden Konstanten erkennbar ist. Aus dieser Überegung ergibt sich, dass man jede mögiche Bewegung der gekoppeten Pende as Summe dieser beiden spezieen Lösungen, aso durch Überagerung der genannten Eigenschwingungen beschreiben kann. α = Acos(ω 1 t + ϕ 1 ) + B cos(ω 2 t + ϕ 2 ) (11) α = Acos(ω 1 t + ϕ 1 ) B cos(ω 2 t + ϕ 2 ) (12) Dabei sind A, B, ϕ 1 und ϕ 2 beiebige reee Konstanten. ür die Abeitungen nach der Zeit ergibt sich: α = Aω 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) Bω 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) (13) α = Aω 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) + Bω 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) (14) Lösung des Anfangswertprobems Bei einem konkreten Anfangswertprobem sind die Konstanten A, B, ϕ 1 und ϕ 2 so zu wähen, dass die gegebenen Anfangsbedingungen erfüt sind. Anfangsbedingungen: Es wird vorausgesetzt, dass die beiden Pendekörper um die Winke α 0 bzw. α 0 ausgeenkt sind und zur Zeit t = 0 (geichzeitig) osgeassen werden. Einsetzen von t = 0 in die Geichungen (11) und (12) für α und α muss aso die Werte α 0 und α 0 ergeben. Außerdem muss beim Einsetzen von t = 0 in die Geichungen (13) und (14) für α und α jeweis 0 herauskommen. Unter Berücksichtigung von cos 0 = 1 und sin 0 = 0 erkennt man, dass die geforderten Bedingungen für A = 1 2 (α 0 + α 0 ), B = 1 2 (α 0 α 0 ), ϕ 1 = 0 und ϕ 2 = 0 erfüt sind. 5

6 Ausenkungswinke der beiden Pendekörper α = 1 2 (α 0 + α 0 )cos(ω 1t) (α 0 α 0 )cos(ω 2t) (15) α = 1 2 (α 0 + α 0 )cos(ω 1t) 1 2 (α 0 α 0 )cos(ω 2t) (16) Beispie Das fogende Diagramm zeigt, wie sich bei gekoppeten Penden die Ausenkungswinke der beiden Pendekörper zeitich ändern. Beim Losassen, aso zur Zeit t = 0, befand sich einer der beiden Pendekörper in der Mitteage (baue Kurve), der andere war um 2 ausgeenkt (rote Kurve). Typisch ist, dass die Ampitude (und damit auch die Energie) stets für ein Pende zu- und für das andere abnimmt. Es findet ein periodischer Energieaustausch statt. 6

7 Anhang: Verwendete Bezeichnungen m Masse eines (punktförmigen) Pendekörpers adenänge D ederkonstante (-härte) t Zeit α Ausenkungswinke des inken adenpendes α Ausenkungswinke des rechten adenpendes s Ausenkung (Eongation) des inken adenpendes (mit Vorzeichen) s Ausenkung (Eongation) des rechten adenpendes (mit Vorzeichen) rücktreibende Kraft (agemein bzw. auf einen der beiden Pendekörper, mit Vorzeichen) D Richtgröße (agemein) ω Kreisfrequenz (agemein) D1 Richtgröße der ersten Eigenschwingung ω 1 Kreisfrequenz der ersten Eigenschwingung A, ϕ 1 Konstanten für erste Eigenschwingung D2 Richtgröße der zweiten Eigenschwingung ω 2 Kreisfrequenz der zweiten Eigenschwingung B, ϕ 2 Konstanten für zweite Eigenschwingung G Gewichtskraft g abescheunigung (Ortsfaktor) α 0 Ausenkungswinke des inken ederpendes zur Zeit t = 0 α 0 Ausenkungswinke des rechten ederpendes zur Zeit t = 0 c Water endt, 7