q = 3 kn/m Abb. 1: Eingespannter, abgeknickter Träger unter Gleichstrecken-und Punktlast.

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Gerhard Geier
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1 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1 1. ür den in bb. 1 dargesteten, mit einer Einzekraft und einer Geichstreckenast beasteten Biegeträger sind ae Schnittgrößen zu bestimmen und über dem Träger zu zeichnen. arkante Punkte sind zahenmäßig anzugeben, kritische Steen sind hervorzuheben. q = kn/m = 1, kn 1, m, m B 1,6 m Lösung bb. 1: Eingespannter, abgeknickter Träger unter Geichstrecken-und Punktast. Um die gesuchten Schnittgrößen mit Hife des eementaren Schnittprinzips berechnen zu können, berechnen wir as Erstes die ufagerkräfte mithife des in bb. dargesteten reischnitts. Um die Geichgewichtsbedingungen für die Kräfte mit dem eingezeichneten Koordinatensystem einfach auswerten zu können, haben wir die Lagerkraft in - und z-richtung zeregt. Die Geichgewichtsbedingungen auten: ( B) = : cos( ),4 m sin( ) 1,6 m 6,6 kn 1,1 m 1, kn 1,6 m = ( 6, 6 11, 1, 16, ) kn = =, 5 kn, (1) cos( ), 4 sin( ) 16, = : sin( ) 1, kn B = B =, 5 kn sin( ) 1, kn =, 44 kn, z = : cos( ) 6, 6 kn B z = =, 5 kn cos 6, 6 kn 4, 5 ( ) kn. B z = sin( ) 6,6 kn = 1, kn 1,1 m 1, m, m cos( ) B 1,6 m z Bz

2 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1 bb. : reischnitt am abgeknickten Träger. Wir berechnen nun die Schnittgrößen mit dem eementaren Schnittprinzip. Das Koordinatensystem wird dazu jeweis so gedreht, dass die -chse in Richtung des Trägers zeigt. m fogenden Bid sind die berechnete Veräufe dargestet. Zahenwerte sind sebständig einzusetzen und die Ergebnisse zu überprüfen.,86 4,5 N [kn],5 [kn] 6,6 4,5,44 [knm],7,8,74 1,81

3 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1

4 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1 ufziehverfahren: Nach Beendigung der Rechnung zeichnen wir den reischnitt neu, um die Vorzeichen entsprechend zu berücksichtigen (was für die Vorzeichen der Schnittgrößen wichtig wird): bb.. q = kn/m i k,86 kn = 1, kn,5 kn s 1,6 m z 4,5 kn,44 kn bb. : Vorzeichenrichtiger reischnitt des Trägers. Um die Normakraft- und uerkraftverteiung zu zeichnen, sind jeweis ae sichtbaren, norma und quer zum Trägerquerschnitt iegenden Kräfte zu berücksichtigen. Die Vorzeichen assen sich mit den in bb. eingezeichneten Pfeirichtungen entscheiden, die für positive Schnittgrößen (je nach inkem oder rechtem Schnittufer) geten. ür die omentenfäche notieren wir noch spezie die fogenden Zahenwerte in den ausgewähten Punkten i und k. Das Vorzeichen entscheiden wir dabei mit der eingezeichneten gestricheten Linie, die von den beteiigten Kräften gestreckt (positiv) oder zusammengedrückt (negativ) wird: =,44 kn 1,6 m =,7 knm (von rechts), k =,5 kn,4 m 6,6 kn 1,1 m =,7 knm (zur Probe von inks), () k i =,5 kn 1, m =,8 knm (von inks). Die Tiefe der zur Geichstreckenast gehörigen Parabe ist gegeben durch: q (,) = knm = 1,81 knm. () 8 8,86 4,5 N [kn],5 [kn] 6,6 4,5,44 [knm],8,74 1,81,7

5 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1 bb. 4: Schnittgrößenverteiungen über dem Träger. Damit werden die in bb. 4 dargesteten Schnittgrößenverteiungen verständich. Um das für einen Spannungsnachweis wichtige aimum zahenmäßig zu bestimmen, ist es nötig, die genaue mathematische orm der omentenverteiung (quadratische unktion in ) im Bereich der Geichstreckenast zu ermitten. Wir schneiden frei (bb. 5) und schreiben: ( ) =,5 kn ( 1, m ) q ( ) d = ( ) kn,5 kn 1, m. (4) m =,86kN kn/m ( ) ( ) N( ) 1, m,5 kn bb. 5: reischnitt zur Ermittung der omentenverteiung über dem Träger. Zur Probe sei notiert, dass für = m fogt: bb. 5: reischnitt zur Ermittung der omentenverteiung über dem Träger. ( = ) =,5 kn 1, m =,8 knm (5) und für =, m :, m ( =, m) =,5 kn,4 m kn =,7 knm, (6) m was mit früheren Ergebnissen übereinstimmt. Die Stee maimaen oments = können wir nun entweder durch Biden der ersten beitung der Geichung (4) nach und anschießendes Nusetzen finden oder aber per Strahensatz aus den uerkräften; da dort, wo die uerkraft verschwindet, sich das aimum der omentenfäche befindet:, m,5 kn 6,6 kn bb. 6: Hifskonstruktion zur Bestimmung der Lage des aimums der omentenverteiung. Es fogt:, m, m,5 kn = =,78 m,5 kn 6,6 kn 6,6 kn =. (7), um das maimae oment an dieser Stee zu bestimmen, ergibt: kn ( ) (,78 m) ma =,5 kn 1, m,78 m =,74 knm. (8) m Einsetzen in die omentengeichung ( )

6 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1. Das gezeigte Tragwerk wird durch eine Geichstrecken- und Einzeast beansprucht. a) Ermitten Sie zunächst die ufagerreaktionen in d en Lagern und B. b) Steen Sie Normakraft-, uerkraft- und omentenfäche graphisch über den Träger dar. Verwenden Sie die strichierte zur Vorzeichenfestegung und geben Sie markante Punkte in den ächen an. nsbesondere die Schnittmomente an den Übergangssteen i und müssen bestimmt werden. c) Berechnen Sie den Ort sowie die Größe des maimaen Biegemoments im Träger. j Geg.: α =,, q, = q Lösung it einem reischnitt werden die ufagerkräfte aufgeöst und mit Geichgewichtsbedingungen berechnet. ( B) 5 ( ) ( ) = : sin α cos α q q = q 4 = (1) q q = 1,55q 5 = = : BX sin ( α ) = BX = 1 q q = =, 677q

7 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1 ( ) y = : cos α By q q = q By = q cos( α ) = q () 5 4 = q 1 1,87q 5 4 Nach Bestimmung der ufagerasten, können mit der ufziehmethode die Normakraft-,uerkraft- und omentenveräufe gezeichnet werden, s. bb. 1. N() BX,677q = BX 1,17q BY 1,87 q BX,677q V q, 87q BX,677q 1,17 q () q,9q () ma,5q,178q bbidung 1 Schnittasten sin( ) α N cos( ) ür die ethode beginnen wir am ufager. Die Lagerkraft muss in ihre nteie in Stabängs- und uerrichtung zeregt werden. Das Vorzeichen der Schnittgrößen N und ergibt sich aus Vergeich mit der ufagerrektion (zur Erinnerung = ). Sowoh N as auch weisen in entgegengesetzte Richtung zur ufagerreaktion, d.h. negatives Vorzeichen. 1 N( 1 ) =, ( 1 ) = Das oment im Bereich ergibt sich aus der Suche der Stammfunkt. zur uerkraft, somit eine ineare unktion mit negativer Steigung. Wert am Knoten: = =, BX Knoten i: us einem reischnitt direkt am Knoten ergibt sich: i N N N = = N = Da keine Last in Normakraftrichtung voriegt, konstanter Verauf ( ) =, q N 677

8 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1 Wegen der konstanten Streckenast muss die uerkraft mit steigendem inear abnehmen (zur Erinnerung: d ( ) = q( ) ). Den Wert am Knoten j kann man demzufoge auch berechnen zu d ( = ) = q, q 87 Um den Betrag des maimaen Biegemoments, bzw. am Knoten j bestimmen zu können, muss zunächst die Nustee der uerkraftfunktion bestimmt werden: ( ) = q Knoten i = = q 1 ma = q,5q 1 16 q 1 ( ) q = = ma, 178q q m biegesteifen Knoten j ka nn der Verauf der Schnittgrößen überprüft werden, denn die Größen in den Bereichen und V können eicht durch Betrachtung der ufagerreaktionen des freien Randes bestimmt werden. BY 1,87q B BX,667q N Genau die geiche Betrachtung wird auch am Knoten B gemacht. N weist in die geiche Richtung wie BX, d.h. positiv. weist in die geiche Richtung wie BX, aerdings hatten wir hier einen negativen Wert ausgerechnet. Da keine Lasten im Bereich V eingeeitet werden, beiben die Veräufe auch konstant. = q N k Weiter geht es bei dem freien Ende. Keine Kraft in Stabrichtung N =. Das Biegemoment ist wiederum eine ineare unktion mit positiver Steigung, d.h. der unktionswert muss am Knoten j

9 ateriatheorie - LK, Sekr. S Einsteinufer 5, 1587 Berin 6. Übungsbatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 11/1 ( = ) = q = q betragen. Das Biegemoment im Bereich V ermittet sich geichermaßen zu: V ( = ) =, q 4 BX 677 Eine zusätziche Kontroe ergibt V N V V N j N V V V = = q q = q = BY = N N = BX =,178q,5q =,678q BX

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