1. Klausur Kontinuumsmechanik WS 2010/11. 1 (15 Punkte)

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1 Univ. Prof. Dr. rer. nat. Wofgang H. Müer Technische Universität Berin Fakutät V Lehrstuh für Kontinuumsmechanik und Materiatheorie - LKM, Sekr. MS 2 Einsteinufer 5, Berin 1. Kausur Kontinuumsmechanik WS 2010/11 Name, Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Bitte deutich in DRUCKSCHRIFT schreiben! Studienbegeitende Prüfung Bitte ankreuzen! Übungsscheinkausur T 1 (15 Punkte) Zwischen zwei panparaeen, unendich ausgedehnten Patten (Tiefe der Patten t, Abstand D)strömt ein inkompressibes Navier-Stokes- Fuid (die Viskositäten soen bekannt sein) der Dichte ρ. Die obere Patte bewegt sich dabei mit der Geschwindigkeit v 0. Weiterhin ist in Strömungsrichtung ein konstantes Druckgefäe p vorhanden. Es so von einem stationären, aminaren Strömungszustand ausgegangen werden. Zusätzich so angenommen werden, dass das Geschwindigkeitsprofi nicht von der Tiefe abhängt. 2 D v g v 0 1 (a) Steen Sie die okae Impusbianz agemein auf und vereinfachen Sie so weit wie mögich. Gehen Sie dazu von einer stationären Strömung aus. (b) Speziaisieren Sie die Impusbianz für ein Navier-Stokes-Fuid. (c) Formuieren Sie für die Geschwindigkeit einen semiinversen Ansatz und begründen Sie diesen. Benutzen Sie diesen, um die Impusbianz weiter zu vereinfachen. (d) Bestimmen Sie nun den Geschwindigkeitsverauf und geben Sie diesen ausschiessich in Abhängigkeit der gegebenen Größen an. (e) An wecher Stee 2 verschwindet die Schubspannung σ 21? (f) Berechnen Sie den Voumenstrom Q des Fuids. Geg.: t, D, g, v 0, p, µ

2 Univ. Prof. Dr. rer. nat. Wofgang H. Müer Technische Universität Berin Fakutät V Lehrstuh für Kontinuumsmechanik und Materiatheorie - LKM, Sekr. MS 2 Einsteinufer 5, Berin 2 (14 Punkte) Betrachtet wird eine eingespannte Kaviersaite der Länge, Weenausbreitungsgeschwindigkeit c. Die Saite werde an der Stee ξ vom Hammer der Breite d getroffen. Die Saite werde dabei initia nicht ausgeenkt (AB 1) und genüge zum Anfangszeitpunkt der skizzierten Geschwindigkeitsverteiung (AB 2): w(,t = 0) = 0 (AB 1) w { v0 sin 2π( ξ) für ξ = d ξ+ d d 2 2 t,t=0 0 sonst. (AB 2) w(, t) ξ d v 0 S (a) Wie autet die das Probem beschreibende Differentiageichung und von wechen Größen hängt die Weenausbreitungsgeschwindigkeit c ab? (b) Zeige mit dem Produktansatz nach Bernoui, daß die Lösung des Randwertprobems durch fogende Geichung beschrieben wird: w(,t) = ( A k sin k π c t k=1 + B k cos k π c t ) sin k π. Verdeutiche dabei insbesondere, wie die Konstanten A k und B k zustande kommen. (c) Werte nun auch die Anfangsbedingungen aus, und zeige unter Ausnutzung der Orthogonaitätsreationen der Eigenfunktionen, dass die Funktion w(,t) = 2v 0 d π 2 c k=1 1 cos k π ξ k 1 ( kd 2 sin k π d 2 die Lösung des gegebenen Anfangsrandwertprobems ist. Hinweis zur Lösung: ξ+ d 2 ξ d 2 sin 2π( ξ) d Die Orthogonaitätsreation besagt, dass sin kπ d = ) 2 sin k π sin k π c t 4d 2 kπd sin cos kπξ π(4 2 d 2 k 2 ) 2 0 sin kπ sin jπ { 0, für k j d =, für k = j 2 (1)

3 Univ. Prof. Dr. rer. nat. Wofgang H. Müer Technische Universität Berin Fakutät V Lehrstuh für Kontinuumsmechanik und Materiatheorie - LKM, Sekr. MS 2 Einsteinufer 5, Berin 3 (11 Punkte) Eine starre Patte der Fäche A wird bei Windstie aus dem Fenster eines mit konstanter Geschwindigkeit v fahrenden Autos gehaten. Berechnen Sie die Kraft, die aufgebracht werden muß, um die Patte im Geichgewicht zu haten. Schubspannungen dürfen vernachässigt werden. Hinweis zur Lösung: Gravitation so hier vernachässigt werden. (a) Steen Sie die okae Impusbianz auf und vereinfachen Sie so weit wie mögich. Gehen Sie dazu von einer stationären Strömung aus. F p 0 p A A M A M p 0 A r v (b) Integrieren Sie nun über das in der Aufgabensteung eingezeichnete Kontrovoumen. Verwenden Sie den Satz von Gauß, um von dem Voumenintegra auf ein Fächenintegra überzugehen. Für den Spannungstensor so ein reiner Druckzustand angenommen werden. (c) Berechnen Sie nun den Druck an der angeströmten Seite der Patte. Gehen Sie dazu von einer paraeen Anströmung über A r und einer rein parae zur Patte veraufenden Strömung in A aus. An der oberen und unteren Seite des Kontrovoumens soen auch parae zur Patte veraufende Strömungsverhätnisse angenommen werden. Geben Sie sämtiche Zwischenschritte an, insbesondere die auftretenden Normaenvektoren der Fächen. Zeigen Sie auch, dass die Auswertung der Impusbianz in 2 - und 3 -Richtung nur triviae Geichungen iefert. (d) Berechnen Sie nun durch ein Kräftegeichgewicht an der Patte die Kraft F, die aufgebracht werden muß, um die Patte im Geichgewicht zu haten. Geg.:, v, p 0, A

4 Univ. Prof. Dr. rer. nat. Wofgang H. Müer Technische Universität Berin Fakutät V Lehrstuh für Kontinuumsmechanik und Materiatheorie - LKM, Sekr. MS 2 Einsteinufer 5, Berin Theorieaufgaben 1. Geben Sie die Maßeinheiten fogender Größen ausschießich in den Einheiten 1, kg, m, s und N an: Druckgradient p Dehnrate ǫ Massenbeegung einer Saite µ Impus p (2 Punkte) 2. Erinnern Sie sich an das Hookesche Gesetz für den 3-dimensionaen Fa. Dieses autet σ ij = λε kk δ ij + 2µε ij. Berechnen Sie für den gegebenen Verzerrungstensor die Normaspannung σ 11. Geg.: λ, µ, ε = ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε Formuieren Sie die Massenbianz für ein geschossenes System. dm dt = 4. Wie autet die Kontinuitätsgeichung für Anfangs- und Endquerschnitt der skizzierten Stromröhre? (konstante Dichte ρ) ρ A 2 A 1 v 2 v 1 p 1 p 2

5 Univ. Prof. Dr. rer. nat. Wofgang H. Müer Technische Universität Berin Fakutät V Lehrstuh für Kontinuumsmechanik und Materiatheorie - LKM, Sekr. MS 2 Einsteinufer 5, Berin 5. e 3 e 2 I I Hinweis: t = n σ e 1 Gegeben ist der 3-dimensionae Spannungszustand eines Würfes. Berechnen Sie den Spannungsvektor am Schnitt I-I gemäß der Cauchyschen-Tetraedergeichung. Geg.:, σ = σ 11 σ 12 σ 31 σ 12 σ 22 σ 23 σ 31 σ 23 σ Eine Longitudinawee äuft in einem Stab auf die feste Einspannung am Stabende zu. Was für eine Spannung tritt am eingespannten Ende des Stabes auf? Kreuzen Sie das richtige Ergebniss an.,u E,A F(t) ( ) An der Einspannung muss u( = 0,t) = 0, t geten, d.h. keine Spannung. ( ) Einspannung ermögicht keine aiae Bewegung, d.h. maimae Spannung. ( ) Die Spannung ist t konstant. ( ) Keine der obigen Antworten ist richtig.

6 Univ. Prof. Dr. rer. nat. Wofgang H. Müer Technische Universität Berin Fakutät V Lehrstuh für Kontinuumsmechanik und Materiatheorie - LKM, Sekr. MS 2 Einsteinufer 5, Berin 7. Eine Longitudinawee äuft in einem Dehnstab auf die feste Einspannung bei = 0 zu. Ihr Maimum befindet sich zur Zeit t 0 = 0 bei =. Weches der Diagramme bekennzeichnet die Verschiebung u(,t = t 1 ) zur Zeit t 1 = 2 c? u(,t = t c 0 ) u(,t = t 1 ) c u(,t = t 1 ) c u(,t = t 1 ) c 8. Ein Würfe mit der Dichte ρ und der Kantenänge a ist auf der Spitze stehend voständig in Wasser (Dichte ρ w, Voumen V w ) untergetaucht. Wie groß ist die Auftriebskraft des Würfes? g ρ w F A ρ a 9. Die zwei skizzierten Gefäße sind mit Wasser gefüt. Mit den Meßdosen wird die resutierende Kraft auf den Gefäßboden gemessen. Beide Gefäßböden haben die geiche Grundfäche A. Berechnen Sie die von den Meßdosen angezeigten Kräfte F 1 und F 2! Geg.: A, g, p 0, H, Wasserdichte ρ, Wasseroberfächen A 1 bzw. A 2 (Ohne Wasser zeigen beide Meßdosen Nu an.) F 1 = F 2 = N g A H p 0 A 1 A 2 Dichtung A N F 1 F

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