Herbst 2010 Seite 1/14. Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik II für Maschinenbau. Musterlösungen (ohne Gewähr)

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1 Seite 1/14 rage 1 ( 2 Punkte) Ein Stab mit kreisförmiger Querschnittsfläche wird mit der Druckspannung σ 0 belastet. Der Radius des Stabes ist veränderlich und wird durch r() beschrieben. 0 r () Draufsicht: r 0 a) Wie groß ist die durch die Druckspannung σ 0 hervorgerufene Normalkraft im Stab? b) Geben Sie den Verlauf der Normalspannung σ() als unktion von an! ( ) Gegeben: σ 0, l, r 0, r() = r l 2 N = σ() = Normalkraft im Stab: N = σa = σ 0 πr 2 0 Spannungsverlauf: σ() = N A() = σ 0πr 2 0 πr() 2 = σ 0 ( l 2 ) 2 = σ 0 ( ) l 2 l

2 Seite 2/14 rage 2 ( 2 Punkte) Geben Sie die lächenträgheitsmomente für das dargestellte Blech beüglich der y- und -Achse an! Das Koordinatensystem liegt im Schwerpunkt des Blechs. Gegeben: a. y a a a a a a I yy = I = lächenträgheitsmoment beüglich der y-achse: ( ) 3a a3 a 4 I yy = a2 a 2 = a4. lächenträgheitsmoment beüglich der -Achse: I = a ( ) (3a)3 a a2 a 2 = a

3 Seite 3/14 rage 3 ( 3 Punkte) Zwei Rundstäbe 1 und 2, mit den Querschnitten A 1 und A 2 = 2A 1 aus verschiedenen Materialien (E 1, E 2 ), sind miteinander verbunden und an den Enden unächst spannungsfrei eingespannt. An der ügestelle der Stäbe greift nun die Kraft an. a) Geben Sie die Kräfte N 1 und N 2 in der linken und rechten Einspannung an! b) Wie groß muss das Verhältnis der E-Moduli gewählt werden, damit in beiden Stäben die Spannung betragsgleich ist? Gegeben:, E 1, E 2, l, A 1, A 2 = 2A N 1 = N 2 = E 1 /E 2 = N 1 N 2 a) N 1 + N 2 + = 0 l 1 + l 2 = 0 l 1 = N 2 = E 1 2E N 1 = 2 E 2 E b) σ 1 = σ 2 E 1 E 2 = 1 N 1 l ; l 2 = N 2 l E 1 A 1 E 2 2A 1 N 1 = N 2 A 2A

4 Seite 4/14 rage 4 ( 2 Punkte) Der dargestellte Kragbalken (Biegesteifigkeit EI, Länge l) ist an der Stelle = l/2 mit dem Moment M 0 belastet. a) Bestimmen Sie die Absenkung w des Balkens am freien Ende! /2 M 0 w b) Bestimmen Sie den Verdrehwinkel ϕ am freien Ende des Balkens! Gegeben: M 0, l, E, I. w = ϕ = Prinip der virtuellen Kräfte: Momentenverlauf reales System M() = { M0, für 0 l/2 0, für l/2 l a) Virtuelle Kraft am rechten Ende M() = ( l) l l/2 MM Absenkung w: w = EI d = M 0 ( l) d = M 0 EI EI 0 0 ( l 2 2 l2 8 ) w = 3M 0l 2 8EI b) Virtuelles Moment M am rechten Ende M() = M l l/2 MM Verdrehwinkel ϕ: M ϕ = EI d = M 0 M EI d = M 0Ml EI2 Alternative : Biegefall 2: tan(ϕ) = ϕ = M 0 l 2EI ( ) ( ) 2 l l M 0 w = 2 2 2EI ( ) l w (l) = w + tan(ϕ) l2 2 = 3M 0l 2 8EI 0 0 ϕ = M 0l 2EI

5 Seite 5/14 rage 5 ( 2 Punkte) Ein Biegebalken ist wie skiiert gelagert und nicht verspannt. An den Enden wird der Balken jeweils M 0 M 0 mit einem Moment M 0 belastet. M 0 M 0 a) Skiieren Sie qualitativ den Verlauf der Biegelinie des dargestellten belasteten Balkens! b) Wie groß ist die Kraft B, die im Auflager B wirkt? Gegeben: M 0, l. A B C A M 0 B C M 0 A B C Biegelinie: B = Biegelinie: B = Biegelinie: B = 6 M 0 Statisch unbestimmt! Teilsystem 1 ohne Lager B: Biegefall 6 - Durchsenkung in der Mitte: f 1 = M 0l 2 Teilsystem 2 ohne Momente: Biegefall 4 - Durchsenkung in der Mitte: f 2 = Bl 3 Durchsenkung muss verschwinden: f 1 + f 2 = 0 M 0l 2 8EI = Bl 3 48EI 8EI 48EI B = 6 M 0 l

6 Seite 6/14 rage 6 ( 2 Punkte) Ein als starr anunehmender masseloser Träger (Länge 2a) wird durch wei masselose schlanke Balken (Biegesteifigkeit EI, Länge jeweils a) gestütt und durch die Kraft belastet. b a) Bestimmen Sie den Abstand b so, dass eine möglichst hohe Knickfestigkeit erreicht wird! b) Welchen Wert = ma darf die Kraft bei einer Knicksicherheit von S k maimal annehmen? a A 2a B a Gegeben: a,, E, I, S k = 3. b = ma = Balken links: Knickfall 2 Kraft aus Belastung: links = (1 b 2a ) Balken rechts: Knickfall 1 Kritische Kraft: krit,links = EIπ2 a 2 Kraft aus Belastung: rechts = ( b 2a ) Kritische Kraft: krit,rechts = 1 EIπ 2 4 a 2 Balken links vierfach belastbarer als Balken rechts b so wählen, dass Kräfte aus Belastung im Verhältnis 1 4 wirken! krit,links krit,rechts = links rechts b = 2 5 a Maimale Kraft führt u links S k = krit,links ma (1 b 2a ) = EIπ2 S k a 2 ma = 5EIπ2 12a

7 Seite 7/14 rage 7 ( 2 Punkte) Ordnen Sie die gegebenen Spannungsustände den Mohr schen Kreisen u! Tragen Sie die ugehörige Nummer in das dafür vorgesehenene Kästchen ein! Gegeben: σ 0,τ = σ

8 Seite 8/14 Aufgabe 8 ( 7 Punkte) Das dargestellte dünnwandige Profil (Schubmodul G) wird sowohl durch die Kraft, als auch durch das Torsionsmoment M T belastet. a) Bestimmen Sie die auftretende Normalspannung σ! b) Bestimmen Sie die auftretende Schubspannung τ y aufgrund Torsion! c) Skiieren Sie den Spannungsustand, der sich in der Rohrwandung einstellt! d) Berechnen Sie die Hauptspannungsrichtung ϕ! e) Berechnen Sie den Verdrehwinkel ϕ, der sich wischen den Rohrenden einstellt! Gegeben:, M T, G, l, t, r, t r

9 Seite 9/14 a) Normalspannung: σ = A mit A = 2rt πrt = rt(2 + π) σ = rt(2 + π) b) Torsionsspannung: τ y = M T W T mit W T = 2A m t = πr2 t = πr 2 t τ y = M T πr 2 t c) Spannungsustand: d) Winkel ϕ u Hauptspannungen: tan 2ϕ = 2τ y = 2 MT σ σ yy ϕ = 1 ( ) 2 arctan 2MT (2 + π) rπ πr 2 t rt(2+π) mit σ yy = 0 e) Verdrehwinkel an Rohrenden: ϕ = I T = 4A2 m 2 i=1 = s i b i π 2 r 3 t (2 + π) ϑ = M T (2 + π) Gπ 2 r 3 t ϕ = M T GI T l ϕ = M T (2 + π) l Gπ 2 r 3 t l 0 ϑd mit ϑ = M T GI T

10 Seite 10/14 Aufgabe 9 ( 8 Punkte) Der dargestellte Balken (Elastiitätsmodul E) ist einseitig fest eingespannt und wird am freien Ende mit einer Kraft belastet. a) Ermitteln Sie die Verschiebung des freien Endes in y und Richtung! b) Wie groß ist die Normalspannung im A Punkt A? y Gegeben:, E, l, b, h = 2b, α. y A Querschnitt: b h Querschnitt: b y y h Querschnitt: b h Querschnitt: b h Hauptachsen: Symmetrieachsen des Querschnitts, α um -Achse gedreht Kraft erlegen: η = sin α ; ζ = cos α Biegung in η-richtung - Biegefall 1: w η (l) = ηl 3 mit I ζ = hb3 12 = 1 6 b4 3EI ζ η und I ζ einseten: w η (l) = 2 sin αl3 Eb 4 Biegung in ζ-richtung - Biegefall 1: w ζ (l) = ζl 3 3EI η

11 Seite 11/14 mit I η = bh3 12 = 2 3 b4 ζ und I η einseten: w ζ (l) = cos αl3 2Eb 4 Verschiebung des Balkenendes in -Richtung: w = w ζ (l) cos α w η (l) sin α = l3 Eb 4 ( 1 2 cos2 α + 2 sin 2 α ) Verschiebung des Balkenendes in y-richtung: w y = w ζ (l) sin α + w η (l) cos α = l3 Eb 4 sin α cos α3 2 Normalspannung im Punkt A: σ A = M η I η ζ A M ζ I ζ η A mit M η = ζ l = cos αl ; M ζ = η l = sin αl ; ζ A = b ; η A = b 2 folgt σ A = cos αl 2 3 b4 ( b) sin αl b 1 6 b4 2 = 3 l ( ) 1 cos α + sin α b

12 Seite 12/14 Aufgabe 10 ( 8 Punkte) Der dargestellte masselose Balken (Biegesteifigkeit EI) ist am linken Ende fest eingespannt und wird am rechten Ende vertikal geführt. Auf den Balken wirkt eine konstante Streckenlast q 0. a) Berechnen Sie Verlauf der Biegelinie w() als unktion von! q 0 b) An welcher Stelle = verschwindet das Biegemoment? Gegeben: E, I, q 0, l. System ist statisch unbestimmt! Biegelinie durch vierfache Integration: EIw IV = q 0 EIw = Q() = q 0 + C 1 EIw = M b () = 1 2 q C 1 + C 2 EIw = 1 6 q C C 2 + C 3 EIw = 1 24 q C C C 3 + C 4 Randbedingungen: w(0) = 0 C 4 = 0 w (0) = 0 C 3 = 0 Q(l) = 0 w (l) = 0 q 0 l + C 1 = 0 C 1 = q 0 l w (l) = q 0l ( 1 2 C 1l 2 + C 2 l = 0 C 2 = 2 1 ) q 0 l 2 = q 0l 2 w() = 1 24EI q EI q 0l EI q 0l 2 2 = q EI (2 4l + 4l 2 ) = q 0 2 ( 2l)2 24EI Biegemoment verschwindet bei: EIw = 1 2 q 0 2 q 0 l q 0l 2 = 0 2 2l l2 = 0 P-Q-ormel: 1,2 = l ± l l2 1,2 = l ± l 1 ( Mb =0 = l 1 1 )

13 Seite 13/14 Aufgabe 11 ( 6 Punkte) Das dargestellte achwerk besteht aus Stäben gleicher Dehnsteifigkeit EA. Im Knoten D greift die Kraft an. a) Wie groß ist die Vertikalverschiebung v D des Kraftangriffspunktes D? b) Wie groß ist die Vertikalverschiebung v C des Knotens C aufgrund der Kraft? Gegeben: EA,, l. A B y C D A 1 C B y D

14 Seite 14/14 a) Energiemethode: W e = U el 1 2 v D = i=1 S 2 i EA l i Stabkräfte S i mit Knotenpunktmethode: S 1 = 2 ; S 2 = 2 ; S 3 = 2 ; S 4 = v D = S2 1 EA l + S2 A 2 S 2 2l + 3 S 2 2l + 4 EA EA EA 2l = 2 C 1 2 l EA ( ) v D = 2 l 2 3 EA ( ) D B b) Prinip der virtuellen Kräfte: v C = y 4 i=1 S i S i EA l i Stabkräfte S i mit Knotenpunktmethode: s.o. 4 A 1 C B y D Stabkräfte S i : S 1 = ; S 2 = 2 ; S 3 = 0 ; S 4 = 0 v C = S 1S 1 EA l + S 2S 2 l 2l = EA EA 2(1 + 2) v C = l EA 2(1 + 2)