= 13, cm 4. = 3, cm 4. 3, cm 4 y. cm 3 y

Transkript

1 Aufgabe : ) Biegespannungsverlauf: σ b, ) M M I I bh h b cm cm) cm cm), 8 cm, 56 cm σ b, ) N cm, 8 cm N cm, 56 cm 7, N cm 89, N cm ) Gleichung der neutralen Achse : σ b, ) : M M I 7, N cm 89, N cm P Die Gleichung der neutralen Achse ist also: ) 89, 7, neutrale Achse P ) Bestimmung der maximalen Biegespannungen: Punkte, die am weitesten entfernt von der neutralen Achse liegen: ) b P, h P b, h ) Damit ergeben sich die maximale Zug- und Druckspannung u: maximale Zugspannung P ): σ b b, h ) 7, N h cm 89, N b ) 6 N cm cm maximale Druckspannung P ): σ b b, h ) 7, N h ) 89, N b cm cm 6 N cm

2 ) Grafische Darstellung des Biegespannungsverlaufs: Es werden die Spannungen in allen Profilecken benötigt: ) b σ b, h 6 N cm σ b b, h ) σ b b ), h ) σ b b, h 6 N cm 868 N cm 868 N cm 868 N/cm 6 N/cm P x P 868 N/cm neutrale Achse 6 N/cm

3 Aufgabe : ) Verlauf der Biegespannung: Für die Biegespannung bei der schiefen Biegung gilt: σ b, ) M M wobei hier: M konst, M konst I Geometrie und Lage der Teilflächenschwerpunkte für den doppeltsmmetrischen, usammengesetten Querschnitt: h h h A A A S b b 5 b Zahlenwerte: h h h b b b M b cm 6 cm cm 8 cm cm 8 cm, 5 Nm M b und: A A h b 6 cm A h b cm Außerdem werden die Abstände der Teilschwerpunkte vom Gesamtschwerpunkt S, S für die Bestimmung der Steiner-Anteile benötigt, wobei der Teilflächenschwerpunkt der Fläche A gerade identisch mit dem Gesamtschwerpunkt ist Weiterhin liegen alle drei Teilflächenschwerpunkte auf der -Achse : S h + h cm S S cm η, η η S S S S S S, ζ ζ ζ

4 Bestimmung der Flächenmomente Grades: h h h I η + I η h b + h b 5 cm M M M b b b b I [I ζ + S A ] + I ζ [ ] b h + S A + b h 676 cm und sind Smmetrieachsen Das Biegemoment M b ist auf die Hauptachsen u erlegen: M M b sin 5 M b M +M b cos 5 M b Die Flächenmomente und die Biegemomente M und M eingesett in σ b σ b, ) M M I M b + I ) σ b, ) N cm 6 N cm ) Bestimmung der neutralen Achse: σ b, )! 6 ), Diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die durch den Schwerpunkt verläuft und die folgende Steigung hat: tanα, α 7,

5 ) Ort und Größe der maximalen Normalspannungen: Die maximalen Normalspannungen treten in den Punkten Zug Druck P 7 neutrale Achse M P M h P + h ; b ) und P h h ; b ) auf, die den maximalen Abstand u der neutralen Achse haben, also P 5 cm ; cm) P 5 cm ; cm) Einseten der Koordinaten von P und P in σ b, ) ergibt die gesuchten maximalen Biegespannungen: Maximale Druckspannung im Punkt P : σ b, 56 N cm Maximale Zugspannung im Punkt P : σ b, 56 N cm ) Grafische Darstellung des Biegespannungsverlaufs P neutrale Achse P

6 Aufgabe : ȳ O ) Bestimmung des Schwerpunktes: ȳda ȳda ȳ s s A A ρdϕ ϕ ρ dρ A da π ρdϕdρ ρ π ) dρ π π r ρ dϕdρ ρ dρ π ρ r πr ρ ϕ π dρ ȳda π ρ cosϕρdϕdρ ρ [ ] dρ π ρ ρ dρ cos ϕ dϕdρ ρ r ρ [sin ϕ] r r π dρ da π ρ sin ϕρdϕdρ ρ [ + ] dρ π ρ ρ dρ sin ϕ dϕdρ ρ r r r ρ [ cos ϕ] π dρ ȳ s r π, 76 r s r π, 77 r ) Axiale und biaxiale Flächenmomente Grades beogen auf den Punkt O Iȳ A da r ρ dρ π ϕ π ρ sin ϕ) ρdϕdρ sin ϕ) dϕ ρ sin ϕ ) π r 8 r π π + π ρ sin ϕ) dϕdρ π sin ϕdϕ r ), 59 r cos ϕ dϕ I A ȳ da r ρ dρ π ϕ + π ρ cosϕ) ρdϕdρ cosϕ) dϕ ρ sin ϕ ) π r 8 r π π π ρ cosϕ) dϕdρ π cos ϕdϕ r ), 77 r + cos ϕ dϕ

7 Iȳ A ȳ da ρ r π o sin ϕ π ρ cosϕ ρ sin ϕρdϕdρ dϕ r [ cos ϕ ] π o π ρ dρ cosϕsin ϕ dϕ r 8 r, 975 r Axiale und biaxiale Flächenmomente Grades beogen auf den Schwerpunkt S Iȳ A s, 776 r I I Aȳ s, 79 r β S Iȳ Aȳ s s, r Hauptachse aus dem Mohr schen Trägheitskreis Mittelpunkt : x M + I )/, 7 r Radius R I ) / + I, 59 r R β, I x M R, 57 r I I I x M + R, 55 r sin β) R, r, 866, 59 r β arcsin, β )Das maximale Biegemoment und die Spannungsverteilung an der Stelle, wo das maximale Biegemoment entsteht Allgemein : σx,, ) Lx) A + M x) M x) Lx), M, M?) I Keine äußere Belastung in x Richtung Lx) Um M und M u berechnen, müssen M und M uerst gesucht werden Aber die gegebene Streckenlast in Richtung verursacht nur das Biegemoment um -Achse M ) Das Biegemoment um Achse M ) ist nicht hervorgerufen werden M x)

8 Das Biegemoment im x-kos : M? Aus der Streckenlast lassen sich die Querkraft und das Biegemoment berechnen : Qx) qx)dx q sin πx l πx dx q cos l π l + C M x) Qx)dx q l ) ) πx l cos π l + C dx q sin πx π l + C x + C Mit den Randbedingungen M x ) M x l) können die beiden Konstanten bestimmt werden: M ) C ) ) l π M l) q sin + C l π ) l C q, 7 ql π l Dann ergibt sich das Moment : ) l M x) q sin πx π l q l π ) l x Das maximale Biegemoment Das maximale Moment entsteht an der Stelle M Q Daraus folgt : ) l π l Qx) q l πx cos π l q M,max M x max ) q x Mmax l π arccos ) [ l sin arccos π π, 78 ql, 68 ql, ql ), 57 l π )] ) ) l q π π arccos π Als nächster Schritt muss man das Biegemoment in Richtung der Hauptachsen erlegen β M M Die Biegemomente im x -KOS M M M cosβ und M M sin β

9 Die Spannungsverteilung σx max,, ) Lx max) A }{{} + M x max) M x max) I M x max ) cosβ M x max ) sin β I cosβ M x max ) sin β ) I, ql cosβ sin β ) I ) Neutrale Achse findet an der Stelle σx,, ) statt: cosβ sin β tanβ I I, 96 5) maximale Zug- und Druckspannung entstehen an den Stellen, die maximal von der neutralen Achse entfernt sind : P : max Drucksp β neutrale Achse Q : max Zugsp +

10 cosβ Die Spannung σ, ql sin β ) I, cos, 57, 5, , 57, 6 )[kn/m ] ) sin [kn/m ], 55, 5 σ P m ;, 76 m) 55, 6 [kn/m ] σ Q, 9 m ;, 97 m) 6, 5 [kn/m ]

11 Aufgabe : ) Bestimmung des Schwerpunktes: Ai i S t a a )) t +, 7 cm Ai t a + a t) t Ai i S t a t) ) a t + t ) +, 7 cm t a + a t) t Ai ) Biaxiales und axiale Flächenmomente Grades: a t + a t t a t) S + + t a t) 8, cm a t + t S ) I t ) a a t + a t a t) t + S + + t a t) S I 8, cm a t S ) 6, 6 cm a t ) a t + S + t a t) S + t ) S Der Mohr sche Trägheitskreis: [cm ] I ;I ) ϕ I,I [cm ] ϕ 5 I ; I ) I 7, cm I 86, 6 cm

12 ) Die Spannungsverteilung: M σx,, ) Lx) A + M x) M x) I mit: M M cos 5 M M M sin 5 M σx,, ) F M M A + I σx,, ) N cm 96 N cm 6, 7 N cm I 5 M 5 M ) Neutrale Achse: σx,, )!, cm, 56 Steigung: m, 56 α, 7 5) maximale Zug- und Druckspannung: Punkte aus der Zeichnung entnehmen Den maximalen Abstand der Punkte von der neutralen Achse auf der jeweiligen Seite abtragen: Punkt P: ;, 6 cm σ P 97 N cm Punkt Q: 6, 5 cm ;, 9 cm σ Q 98 N cm P Zug) neutrale Achse Q Druck)