Statisch unbestimmtes System

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David Fischer
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1 HT-Kapfenberg Statisch unbestimmtes System Seite von 8 Franz Hubert Kainz franz.kainz@htl-kapfenberg.ac.at Statisch unbestimmtes System Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Grundlagen der Mechanik, Arbeitssatz (Castigliano, Menabrea), Integralrechnung Kurzzusammenfassung Im Rahmen dieser Aufgabe sind das axiale Flächenmoment. Grades und daher auch das axiale Widerstandsmoment im Abschnitt I (B => C) als Funktionen der änge "x" zu definieren. Diese Funktionalität hat zur Folge, dass der Biegespannungsverlauf nicht linear ist, sondern entlang des geraden Balkenabschnittes I ein Maximum aufweist. Die ösung der "Statischen Unbestimmtheit" (-fach - Einspannung und oslager) erfolgt aufgrund der Theorien von Castigliano und Menabrea. Die Verformungen (Durchbiegung und Biegewinkel an der Stelle C) werden nach den Arbeitssätzen von Castigliano ermittelt. Die Balkenkrümmung im Abschnitt II (A => B) wird vernachlässigt ehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang): Mechanik, Betriebslabor, Mathematik-Fachtheorie / 5. Jahrgang Maschinenbau Mathcad-Version: Mathcad iteraturangaben: Steger Bd. (, ) - Teubner-Verlag Anmerkungen bzw. Sonstiges: Diese Aufgabe wurde bereits als ME-Übung (Berechnung, Messung mit DMS, Berechnung mit FEM) im Betriebslabor und im Rahmen der Mathematik- Fachtheorie - Klausurarbeit, behandelt.

2 HT-Kapfenberg Statisch unbestimmtes System Seite von 8 Für den vorliegenden Balken (-fach statisch unbestimmt) sind zu ermitteln : - die axialen Flächenmomente. Grades in den Abschnitten I (B=>C) und II (A=>B) - die axialen Widerstandsmomente in den Abschnitten I und II - der Verlauf des axialen FM..Gr. im Abschnitt I (Graphik) - die Auflagerkraft F B (F BH ) (Castigliano, Menabrea) - die Biegespannungen an den Stellen bis 4 (an den Stellen, und befinden sich am Modell DMS (Dehnmeßstreifen) - Vernachlässigung der Krümmung an den Stellen und ) - die maximale Biegespannung im Abschnitt I - der Biegespannungsverlauf im Abschnitt I entlang des Balkens (Graphik) - der Biegespannungsverlauf im Abschnitt II entlang der Balkenkrümmung (Graphik) - die Verformung in y-richtung an der Stelle C (Castigliano) - der Biegewinkel an der Stelle C Farbencode : Eingabe - Zahlenwerte Definitionen Formeln Ergebnisse := Grad F := h := mm h := mm b := 5 mm := := mm 4 mm R := 7 mm α := R F h α := 7. E :=. 5 A h B C

3 HT-Kapfenberg Statisch unbestimmtes System Seite von 8 Berechnungsdurchführung : ug := mm sw := mm og := aufvariable x := ug, sw.. og α :=,.. Abschnitt I (B => C) : Axiales Flächenmoment. Grades : I z ( x) := b h h h + x Änderung der Balkenhöhe von h auf h =. I z mm 4 Stelle I z ( ) = 4 mm 4 Stelle B. 8 Iz(x) entlang des Abschnittes I I z ( x) 5. 9 Axiales Widerstandsmoment : x W z ( x) := b 6 h h h + x W z ( ) = mm Stelle W z ( ) = mm Stelle B

4 HT-Kapfenberg Statisch unbestimmtes System Seite 4 von 8 Biegespannung, Biegespannungsverlauf im Abschnitt I : σ b ( x) F x := σ b ( ) = 4 W z ( x) Stelle σ b = 54. Stelle B 8. 7 Biegespannungsverlauf im Feld I 6. 7 σ b ( x) x Maximale Biegespannung im Abschnitt I : x start := 6 mm null( x) := wurzel x max := null x start x max = 5.94 mm d x σ b( x), x d Aufgrund der veränderlichen Steghöhe entlang des Balkens ist das axiale Widerstandsmoment nicht konstant und somit tritt das Maximum der Biegespannung auch nicht an der Stelle des maximalen Biegemomentes auf, sondern an der Stelle x max = 5. mm von der Stelle C entfernt. = 78.4 σ b x max

5 HT-Kapfenberg Statisch unbestimmtes System Seite 5 von 8 Berechnung der Auflagerkraft F B (nach Castigliano und Menabrea) : M bx = F ( + R R cos( α) ) + F B ( R R cos( α) ) d M bx = M bx df B d M bx = df B F ( + R R cos( α) ) + F B ( R R cos( α) ) Biegemomentenfunktion - nur Abschnitt II - im Abschnitt I => ull Ableitung der Biegemomentenfunktion nach der gesuchten Auflagerkraft M bx = R R cos( α) ges y b = M bx M bx dx E s I z Arbeitssatz von Castigliano y b = E I z y b = R F ( + R R cos( α) ) + F B ( R R cos( α) ) ( R R cos( α) ) R dα ( F R + F F B R) E I z y b ist an der Stelle B gleich ull ; daher wird y b =.gesetzt und F B ermittelt - nach Menabrea F B = F B := ( F R + F ) R ( F R + F ) R F B = Berechnung der Hilfsauflagerkraft F BH : F H := F BH := F H R + F H R F BH =.95

6 HT-Kapfenberg Statisch unbestimmtes System Seite 6 von 8 Biegespannungen im Abschnitt II : (Balkenkrümmung an den Stelle und vernachlässigt) I z := W z := I z ( ) W z ( ) A := R R cos α M b := F + A + F B A I z = 4 mm 4 W z = mm A = mm Hilfsgröße σ b := M b W z σ b = 7.4 Meßstelle A := R R cos α + 9 M b := F + A + F B A A =.997 mm Hilfsgröße σ b := M b W z σ b =.44 Meßstelle A 4 := R R cos( 8 ) M b4 := F + A 4 + F B A 4 A 4 = 4 mm Hilfsgröße σ b4 := M b4 W z σ b4 =. Einspannstelle

7 HT-Kapfenberg Statisch unbestimmtes System Seite 7 von 8 Biegespannungsverlauf im Abschnitt II : x := R, R sw.. R S b ( x) mm := σ b ( x) x := mm, mm.. Hilfswerte für das Zeichnen des Balkens (blau) und des Biegemomentenverlaufes (rot) k := mm, mm.. S b ( ) y( x) := R x σ b ( α) := W z mm F [ + R ( cos( α) ) ] + F B R ( cos( α) ) cos α xx( α) := R σ b ( α) ( R σ b ( α) ) cos α yy( α) := R σ b ( α). Biegespannungsverlauf entl. d. Trägers.8 y( x) yy( α) k S b ( x) mm x, xx( α), R, R+ x Biegemomentenwechsel : α := α o := wurzel σ b ( α), α σ b ( α o ) =.549 mm α o = Aufgrund der statischen Unbestimmtheit kommt es zu einem Wechsel des Biegemomentenverlaufes im Bereich der Meßstelle

8 HT-Kapfenberg Statisch unbestimmtes System Seite 8 von 8 Verformungen an der Stelle C : Durchbiegung (nach Castigliano) : A( α) := + R R cos( α) B( α) := R R cos( α) I := F x I z ( x) dx Hilfsfunktion Hilfsfunktion Hilfswert I := ( F A( α) + F B B( α) ) A( α) + F BH B( α) R dα Hilfswert y c := E I + I I z y c =. mm Durchbiegung an der Stelle C Biegewinkel : β c := E F x I z ( x) dx + F A( α) + I z F B B( α) R dα Biegewinkel nach Castigliano β c =.648 Biegewinkel

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