Mathematik Teil 2: Differentialgleichungen

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1 Mathematik Teil 2: Differentialgleichungen M. Gutting Fakultät IV, Department Mathematik 19. Juni 2017

2 Natürliches Wachstum/Zerfall Wachstum/Zerfall (Zinsen, Population / Radioaktiver Zerfall) verhält sich proportional zum aktuellen Bestand: ẋ = ax. Für a > 0 spricht man von natürlichem Wachstum, für a < 0 von natürlichem Zerfall. Bei Bevölkerungsmodellen ist a = b d (b die Geburtenrate, d die Sterberate). Die allgemeine Lösung ist gegeben durch x(t) = ce at, wobei c eine beliebige Konstante ist. Zusammen mit der Anfangssituation x(t 0 ) = x 0 ergibt sich die Lösung x(t) = x 0 e a(t t 0). M. Gutting (Uni Siegen) Mathematik: Differentialgleichungen 19. Juni / 8

3 Logistisches Wachstum Das natürliche Wachstum aus Beispiel zuvor ist nur realistisch, wenn es keine äußeren Einflüsse gibt. Realistischer setzt man die Wachstumsrate a als mit x(t) linear fallend an: Es ergibt sich die Lösung: x(t) = ẋ = λx(k x), x(t 0 ) = x 0. Kx 0 x 0 +(K x 0 )e λk(t t 0 ). Man nennt dies logistisches Wachstum. Bild: Logistisches Wachstum mit K = 2, t 0 = 0, x 0 = 0.2, λ = M. Gutting (Uni Siegen) Mathematik: Differentialgleichungen 19. Juni / 8

4 Feder-Masse-Dämpfer Bei einem Feder-Masse-Dämpfer-System wird die Auslenkung einer Masse m in x 1 -Richtung betrachtet. Hierbei ist Kraft = Masse Beschleunigung (2. Newtonsches Gesetz), in Formeln F = m g = m ẍ. Die Kraft der Feder verhält sich proportional zur Auslenkung x (F 1 = k x) und die Kraft des Massedämpfers proportional zur Geschwindigkeit ẋ (F 2 = c v = b ẋ). Hieraus ergibt sich die DGL: mẍ = kx bẋ. M. Gutting (Uni Siegen) Mathematik: Differentialgleichungen 19. Juni / 8

5 Betrachte einen masselosen Stab der Länge L, der an einem Ende aufgehängt ist und am anderen Ende eine Masse m trägt. ϕ bezeichnet den Auslenkungswinkel des Pendels aus der Vertikalen. Die Beschleunigung in tangentialer Richtung ist gegeben durch (Reibung vernachlässigt) Schwingendes Pendel ϕ L L ϕ = sin ϕ g Mit einem zusätzlichen Reibungsterm erhalten wir L ϕ = sin ϕ g c ϕ. m m g ϕ Linearisiert (ϕ klein, also sin ϕ ϕ): sin ϕ m g L ϕ = gϕ c ϕ M. Gutting (Uni Siegen) Mathematik: Differentialgleichungen 19. Juni / 8

6 Gekoppelte Pendel Betrachte gleiche Länge l 1 = l 2 = l und Masse m 1 = m 2 = M und setze θ 1 = x, θ 2 = y. Abbildung: Zwei gekoppelte Pendel. Resultierendes System von DGLen (linearisierte Pendel): mẍ = mg x k(x y), l mÿ = mg y k(y x). l M. Gutting (Uni Siegen) Mathematik: Differentialgleichungen 19. Juni / 8

7 Biegeline eines Balkens Bestimmung der Durchbiegung von Balken im Bereich des linear-elastischen Materialverhaltens Annahme, dass die eintretenden Verformungen so klein sind, dass die biegebedingte Veränderung der Balkengeometrie bei der Aufstellung der Gleichung vernachlässigt werden kann. Aus der Definition einer Kurvenkrümmung folgt die Differentialgleichung: w (x) (1 + (w (x)) 2 ) 3/2 = M y (x), EI y wobei w die Balkendurchbiegung, E der Elastizitätsmodul, M y das Biegemoment und I y das axiale Flächenträgheitsmoment sind. Durchbiegung w so klein, dass w 2 1, dann genügt die Näherung w (x) = M y (x) EI y. (1) M. Gutting (Uni Siegen) Mathematik: Differentialgleichungen 19. Juni / 8

8 Balken gestützt am Rand bei x = A und x = C. Randwerte zur DGL (1): w(a) = w(c) = 0. Abbildung: Biegelinie Verlauf eines Biegemoments an einem Balken mit mittiger Kraft F (hier als Punktlast P), mit dem maximalen Biegemoment M bei L/2 inklusive des Querkraftverlauf Q und der Biegeline w. Bildquelle: Bbanerje (Own work) via Wikimedia Commons M. Gutting (Uni Siegen) Mathematik: Differentialgleichungen 19. Juni / 8