Kompendium der Maschinendynamik. Dieter Kraft Fachbereich Maschinenbau Fachhochschule München

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1 Kompendium der Maschinendynamik Dieter Kraft Fachbereich Maschinenbau Fachhochschule München

2 ii c Dieter Kraft. 5. Auflage, WS 999/2.

3 Inhaltsverzeichnis Vorwort viii Einführung. Modellbildung Newton-Euler Lagrange HarmonischeBewegung Begriffe Beschreibung Definitionen Zeitbereich Frequenzbereich PhysikalischeErsatzsysteme Federkonstanten Addition Balken und Stäbe Ein-Freiheitsgrad-Systeme 2. Ungedämpfte Eigenbewegung Lösung der Bewegungsgleichung Bewegungsformen Anfangsbedingungen Winkeladdition Phasenportrait Beispiele Manometer-Schwingung Strukturschwingung Torsionsschwingung GedämpfteEigenbewegung Lösung der Bewegungsgleichung Bewegungsformen UngedämpfteSchwingung Kritische Dämpfung UnterdämpftesSystem Überdämpftes System

4 iv INHALTSVERZEICHNIS Charakteristika Stabilität Logarithmisches Dekrement Energieverluste Alternative Dämpfungsmodelle Trockene Reibung Harmonische Anregung Harmonische Anregung des ungedämpften Systems Resonanz Schwebung Harmonische Anregung des gedämpftensytems Lösung der Bewegungsgleichung Diskussion der Lösung VergrößerungsfunktionI PhasenwinkelI KraftübertragungI Bandbreite KomplexeErregerfunktion Lösung der Bewegungsgleichung Frequenzgang Frequenzgang und Übertragungsfunktion Geometrische Darstellung AlternativeharmonischeAnregungen Harmonische Anregung der Basis VergrößerungsfunktionII Relativbewegung Kraftübertragung II Rotatorische Unwucht Alternative DämpfungsmodelleII Coulomb-Dämpfung Hysterese-Dämpfung Luft-Dämpfung Kombinierte Dämpfungen Strömungs-induzierte Schwingungen Beispiele und Übungen Nicht-harmonischeAnregungsfunktionen Sprung-Funktion Sprungfunktion im Zeitbereich Sprungfunktion im Frequenzbereich Anwendung Impuls-Funktion Impulsfunktion im Zeitbereich Impulsfunktion im Frequenzbereich Anwendung AllgemeineAnregung Impulsantwort

5 INHALTSVERZEICHNIS v Lösung der Bewegungsgleichung Numerische Lösung ApproximationderAnregung Numerische Lösung Zwei-Freiheitsgrad-Systeme 8 3. Eigenbewegung Ungedämpfte Eigenbewegung Modellbildung Lösung der Matrix-Differentialgleichung Lösungsansatz Eigenfrequenzen Eigenformen Allgemeine Lösung Modal-Analyse Eigenwerte und Eigenvektoren Transformation auf Diagonalform Entkopplung der Systemgleichungen Beispiele Werkzeugmaschine Doppelpendel GedämpfteEigenbewegung Modell-Gleichungen Modal-Analyse Erzwungene Bewegung Bewegungsgleichungen Modal-Analyse DreiIntegrale Harmonische Anregung des gedämpften Systems Sprungförmige Anregung des gedämpften Systems Harmonische Anregung des ungedämpften Systems Lösungen der Integrale Beispiele KFZ-Aufhängung KFZ-Nickbewegung Viel-Freiheitsgrad-Systeme 5 Kontinuierliche Systeme 3 5. Systeme zweiter Ordnung DieSchwingendeSaite MathematischesModell Lösung der Wellengleichung CharakteristischeGleichung Längsschwingung von Stäben

6 vi INHALTSVERZEICHNIS Mathematisches Modell Lösung der Modellgleichung AlternativeRandwerte Torsionsschwingungen von Stäben Mathematisches Modell SystemevierterOrdnung Biegeschwingung von Balken Mathematisches Modell Euler-Theorie schlanker Balken Randwerte und Anfangswerte Lösung der Modellgleichung Ortskomponente Zeitkomponente Timoshenko-Theorie dicker Balken Technische Anwendungen Schwingungsdämpfung Schwingungstilgung Ungedämpfte Schwingungstilgung Eigenwerte der isolierten Maschine Gedämpfte Schwingungstilgung Optimierung ExperimentelleModalanalyse StochastischeSignale ErmittlungderSystem-Parameter Eigenfrequenz und Dämpfung Eigenvektoren Betrag der Eigenvektorelemente Vorzeichen der Eigenvektorelemente Beispiel Eigenfrequenz und Dämpfung Eigenvektoren... 5 Anhang 54 A Integral-Transformationen 55 A. Fourier-Transformation A.. Fourier-Reihen A..2 Diskrete Fourier-Transformation A..3 Fenster-Funktionen A..4 Eigenschaften und Berechnung A..5 Beispiel A.2 Laplace-Transformation A.2. Definition A.2.2 Eigenschaften A.3 Partialbruchzerlegung... 65

7 INHALTSVERZEICHNIS vii A.3. Reelle Nullstellen A.3.. EinfacheNullstellen...65 A.3..2 Mehrfache Nullstellen A.3.2 KomplexeNullstellen...66 A.3.3 Beispiele und Übungen A.4 Algebraisierung linearer Differentialgleichungen B Matrixalgebra 7 B. Definitionen B.2 Algebraische Operationen B.3 IterativeOperationen...73 C Linearisierung 79 C. Taylor-Entwicklung C.2 Standard-Form...8 C.3 Beispiele und Übungen D Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen 85 D. Analytische Lösung D.. Lösung im Frequenzbereich D... Übertragungsfunktion der Zustandsgleichung.. 86 D..2 LösungimZeitbereich...87 D..2. Homogene Lösung...87 D..2.2 Partikuläre Lösung D..2.3 Gesamtlösung...89 D..2.4 Methode der unbestimmten Koeffizienten D.2 Numerische Lösung D.2. Diskretisierung D.2.. Lösungsalgorithmus D.2..2 Berechnung von Φ und Γ...95 D.2.2 Taylor-Entwicklung D.2.2. Lösungsalgorithmus D Euler-Verfahren...98 D Heun-Verfahren D Runge-Kutta-Verfahren D Computer-Prozedur D.3 Beispiel: Balancierter Stab D.3. Diskretisierung D.3.2 Reihen-Entwicklung...22 E Charakterisierung partieller Differentialgleichungen 25 Bibliographie 29

8 viii INHALTSVERZEICHNIS

9 Vorwort Das Vorwort muß noch geschrieben werden. Hier nur soviel:. Der Stoff des Sommersemestersbeinhaltet ausführlich Schwingungen linearer Systeme mit einem Freiheitsgrad (Kapitel 2). Systeme mit mehreren Freiheitsgraden und kontinuierliche Systeme werden im Wintersemester und weitergehend im Studienschwerpunkt Entwicklung und Versuch behandelt. 2. Das Schreiben dieses Manuskripts hat mir sehr viel Freude gemacht, 2 3. Das Manuskript enthält wahrscheinlich viele Fehler. Helfen Sie mir durch Meine Sprechstunde: Rückkopplung: Nennen Sie Fehler, machen Sie Verbesserungsvorschläge, Di 3 4 Uhr, fragen Sie bei Unklarheiten, etc. 3 Raum W-.7, Tel Der jeweils letzte Stand des Manuskripts ist als Postscript-File unter dkraft verfügbar. 5. Dank sei gesagt den Vielen, die nach den Grundsätzen der Free Software Foundation das Gnu-Projekt vorantreiben, das Betriebssystem Linux promovieren, das geniale Textsatzsystem TEX geschrieben haben, das einfache CAD-System Xfig managen, u.v.a.m. Stellvertretend für viele hier nur einige Namen: Richard Stallman, Linus Torvalds, Donald Knuth, Brian Smith,TomasRokicki,KarlBerry,ThomasEsser. 6. Ein dringender Hinweis:Vollziehen Sie die Beispiele nach; fragen Sie, wenn ich Zwischenschritte zu eilig ausgelassen habe, rechnen Sie die Aufgaben mit Papier und Bleistift durch, 4 reines Durchlesen ist überflüssige Zeitverschwendung.! 7. Arbeiten Sie sich in ein Computer-Algebra-System ein und überprüfen Sie damit Ihre Ergebnisse. In spätestens fünf Jahren machen Sie die Prüfung unter Zu-Hilfe-Nahme eines Notebooks. 5 c Dieter Kraft. 5. Auflage, ss Ich hoffe, daß das Gleiche für Sie beim Lesen und Üben gilt. 3 Prof. Casper, der Präsident der renomierten Stanford University, behauptet, daß Professoren von Studenten mindestens ebensoviel lernen wie umgekehrt! 4 Die Lernpsychologie hat gefunden, daß motorische (Hand-)Bewegungen dem Gehirn sehr hilfreich zur Seite stehen. 5 Ein Reutlinger Gymnasium macht heuer einen Probeversuch beim Abitur.

10 x INHALTSVERZEICHNIS Das Manuskript gliedert sich in Kapitel, Abschnitte, Unterabschnitte, Paragraphen u.s.w. Die Gleichungen sind abschnittsweise durchnummeriert. Das Zeichen! weist auf wichtige Resultate hin, das Zeichen schließt jeweils eine Aufgabe, ein Beispiel, eine Übung, etc. ab. Kleingedrucktes kann beim ersten Lesen übergangen werden; es zählt nicht zum Prüfungsstoff. Wer einen Index 6 für dieses Manuskript für den Hungerlohn einer Hilfskraft erstellen will, der komme bitte in meine Sprechstunde oder vereinbare einen anderen Termin mit mir. Das gleiche gilt für die Verschönerung der Abbildungen. Diese wurden folgendermaßen erzeugt: Falls Funktionsgraphen Teil einer Abbildung sind, wurden diese mit Matlab oder MuPAD gebildet, von dort als PostScript-Files exportiert, als solche nach Xfig importiert und dort weiter bearbeitet, Alle anderen Abbildungen wurden mit Xfig erzeugt, als PostScript-Dateien exportiert und nach L A TEX importiert. Neben den im Text zitierten Referenzen seien noch folgende deutschsprachige 7 Quellen erwähnt: [49], [6]. 6 Mit dem Programm makeindex [7]. 7 Im Zeichen der Europäischen Union, der ökonomischen Globalisierung und der Multikulturen ist die Lektüre englischer Fachtexte für jeden Studenten unabdingbar.

11 Kapitel Einführung Die Schwingungslehre beschreibt die oszillierende Bewegung von Körpern unter dem Einfluß von systemimmanenten und äußeren Kräften und Momenten. Alle Systeme, die mit Masse und Elastizität ausgestattet sind, sind grundsätzlich schwingungsfähig. Dies trifft auf den Großteil (elektro-)mechanischer Maschinen, Anlagen und Strukturen zu. Die schwingungstechnische, d.h. maschinendynamische Analyse und Synthese dieser Systeme ist deshalb für den angehenden Maschinenbau-Ingenieur von außerordentlicher Bedeutung. Die Anzahl der unabhängigen Koordinaten, die zur Beschreibung eines Systems genügt, wird als der Freiheitsgrad des Systems bezeichnet. So ist ein inertial aufgehängtes, ebenes Pendel ein System mit einem Freiheitsgrad, da der momentane Pendelwinkel relativ zu einer Referenzlage die Pendelbewegung eindeutig beschreibt. Ein analog geartetes Doppelpendel ist ein System mit zwei Freiheitsgraden, eine schwingende Saite ein solches mit unendlich vielen Freiheitsgraden. Ein räumlich ausgedehnter starrer Körper hat sechs Freiheitsgrade, drei der Translation und drei der Rotation.! Diese Einführung beschränkt sich auf lineare oder abschnittsweise lineare Bewegung, bei denen das Superpositionsprinzip gilt, und für die die abgeschlossene Theorie linearer Differentialgleichungen zur Verfügung steht. Grundsätzlich wird (für Systeme mit beliebiger Anzahl von Freiheitsgraden) zwischen freier und erzwungener Schwingung unterschieden. Freie Schwingung findet statt, wenn das System nur unter dem Einfluß systemimmanenter Kräfte und Momente schwingt, z.b. unter dem der Rückstellkraft einer elastischen Feder. Dann schwingt das System in einer oder mehrerer seiner Eigenfrequenzen. Erzwungene Schwingung ist die Schwingung unter dem Einfluß äußerer Kräfte und Momente, z.b. eines elektrischen Antriebs. Ist diese Anregung ihrerseits eine oszillierende, dann schwingt das System mit der Anregungsfrequenz. Fällt diese mit einer Eigenfrequenz des Systems zusammen, dann kommt es zu gefährlichen! Systeme mit Colomb-Dämpfung, s.a. Abschnitt , sind Beispiele für abschnittsweise lineare Systeme.

12 2 Einführung! Resonanzerscheinungen. Solche schon im Entwurf einer Maschine oder Struktur zu vermeiden gehört zu den wichtigen Aufgaben des Ingenieurs. Wird in dem schwingenden System Energie dissipiert, z.b. durch Reibung, dann führt es eine gedämpfte Bewegung aus. Ist die Dämpfung klein, dann kann man sie meist vernachlässigen. Andererseits hat ihre Existenz einen beträchtlichen (mindernden) Einfluß auf die Resonanzamplitude.. Modellbildung.. Newton-Euler Die Modellbildung mechanischer Systeme beruht auf dem zweiten Newtonschen 2 Gesetz für translatorische Systeme: und dem Eulerschen 3 Satz für rotatorische Systeme: 4 mẍ(t) = f(t) (..) J θ(t) = m(t). (..2) Zu diesen Fundamentalgesetzen kommen weitere mechanische, elektromechanische etc. Kraft- und Momentenbeziehungen, z.b. das Hooksche Gesetz aus der Elastizitätstheorie.! m = m(t) O In Gl. (..) und Gl. (..2) wird zweimal der Buchstabe m für unterschiedliche Begriffe verwendet: Einmal für die (konstante) Masse m und einmal für das (variable) Moment m(t). Letzteres führt immer das Argument t mit sich! Es sollten deshalb keine Verwechslungen vorkommen. Der Grund für die Verwendung kleiner Buchstaben für Kraft f(t) und Moment m(t) liegt in der Laplace- Transformation dieser Größen, s.a. Anh. A.2, nach deren Durchführung F(s) und M(s) mit Großbuchstaben belegt sind. θ l m Beispiel Eine Masse m sei an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt und vollführe um den Aufhängungspunkt O eine Pendelbewegung in einer vertikalen Ebene. Der Ausschlagwinkel gegenüber der vertikalen Ruhelage sei θ. Wie lautet die Bewegungsgleichung? Die Anordnung werde am Aufhängepunkt freigeschnittten, dann ist die Änderung des Drehimpulses um O ml 2 θ(t), während das äußere Moment m(t) (bedingt durch die Schwerkraft der Masse) mgl sin θ(t) beträgt. Damit ist die 2 Sir Isaac Newton ( ), englischer Mathematiker und Physiker, entwickelte (unabhängig von Gottfried Wilhem Leibniz (646 76)) die Differential- und Integralrechnung. Bahnbrechende Beiträge zur Entwicklung der klassischen Mechanik. 3 Leonhard Euler (77 783), schweizer Mathematiker, der in St. Petersburg und Berlin wirkte. Beiträge auf fast allen Gebieten der Mathematik und Physik: Differential- und Differenzengleichungen, komplexe Analysis, spezielle Funktionen, Reihen, Variationsrechnung, Mechanik, Fluidmechanik. 4 In Gl. (..) bedeutet m die Masse des Systems, und in Gl. (..2) ein von außen auf das System wirkende Moment.

13 . Modellbildung 3 Modell(Differential)gleichung ml 2 θ(t)+mgl sin θ(t) =. Sie wird noch durch Anfangs- und/oder Randwerte, z.b. x() =x und ẋ() =ẋ festgelegt. Die Differentialgleichung ist homogen, aber nichtlinear. Eine Entwicklung der Sinus-Funktion sin θ = θ θ 3 /3 + und Abbruch der Entwicklung nach dem ersten Term führt auf folgende lineare Differentialgleichung, s.a. Anhang C, θ(t)+ g θ(t) =. l..2 Lagrange Die Modellbildung nach Newton und Euler hat den Nachteil, daß Sie bei Systemen mit mehreren Freiheitsgraden die Teilsysteme freischneiden und ihre Reaktionskräfte bestimmen müssen, die als innere Kräfte und Momente dann in den Bewegungsgleichungen garnicht explizit auftreten. Dieser Umstand haftet der Methode nach Lagrange 5 nicht an. Es wird die kinetische Energie T = T(ẋ, x) und die potentielle Energie U = U(x) und die Lagrange-Funktion L = L(ẋ, x)als deren Differenz gebildet: L(ẋ, x) =T(ẋ, x) U(x), und dann erhält man die Bewegungsgleichungenaus den Gleichungen 2. Art von Lagrange: d L dt ẋ i (t) L = f(t), x i (t) i =,...,n, (..3) mit n der Anzahl der beteiligten Teilsysteme. Beispiel 2 Für das in Abb.. dargestellte mechanische System mit den beiden Freiheitsgraden x, der Position der Masse m, undx 2, der Winkelauslenkung des Schwungrades, seien die Bewegungsgleichungen nach der Methode von Lagrange herzuleiten. Die kinetische Energie des Systems ist die potentielle Energie T = 2 mẋ2 + 2 Jẋ2 2, U = 2 kx2 + 2 k(rx 2 x ) 2, 5 Joseph Louis Lagrange (736 83), lebte und wirkte in Turin, Berlin und Paris. Bedeutende Beiträge zur Mechanik, Himmelsmechanik, Differentialgleichungen und Variationsrechnung.

14 4 Einführung x x2 k m k J r m(t) Abbildung.: Mechanisches System und daraus folgt unter Anwendung von Gl. (..3) mit n = 2 mẍ + 2kx krx 2 =, Jẍ 2 krx + kr 2 x 2 = m(t). Aufgabe Verifizieren Sie das Ergebnis mit Bleistift auf Papier. Enthält das betrachtete System eine zeitinvariante Dissipationsfunktion F(ẋ), dann wird diese in Gl. (..3) durch den Term F/ ẋ berücksichtigt: d L dt ẋ i (t) L x i (t) + F = f(t), i =,...,n. (..4) ẋ i (t) Beispiel 3 In Beispiel 2 werde zwischen Masse m und Schwungrad J ein Dämpfer mit dem Dämpfungsbeiwert c eingefügt. Unter der Voraussetzung viskoser Dämpfung (s.a. Abschnitt 2.2 auf S. 7) läßt sich eine Dissipationsfunktion F = c(rẋ 2 ẋ ) 2 /2 formulieren. Aufgabe 2 Stellen Sie für dieses Beispiel die Bewegungsgleichungen auf..2 Harmonische Bewegung Die Lösungen der Bewegungsgleichungen in Abschnitt. führen regelmäßig auf harmonische Schwingungen, die deshalb im folgenden kurz charakterisiert werden sollen. Grundlegend für die Beschreibung der Bewegung mechanischer Systeme ist die harmonische Bewegung, wie sie entsteht, wenn sich ein Punkt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis mit Radius A bewegt und die Ordinate x(t) =A sin ωt des Punktes über der Abszisse ωt aufgetragen wird,s.a.abb..2.

15 .2 Harmonische Bewegung 5 x(t) A ω t A A sin ω t ω t 2 π Abbildung.2: Harmonische Bewegung In Abb..3 ist eine abklingende (gedämpfte) harmonische Bewegung einer Masse m, die über eine elastische Feder und einen viskosen Dämpfer inertial fest aufgehängt ist und die eine Lichtquelle trägt, auf ein lichtempfindliches Papier projiziert, das an der Anordung mit konstanter Geschwindigkeit vorbeiläuft[48]. x(t) A k c m t T Abbildung.3: Gedämpfte harmonische Bewegung Viele dynamische Bewegungen laufen nicht harmonisch, aber doch periodisch, d.h. gleichmäßig sich mit einer Periode T wiederholend, ab. Solche periodischen Vorgänge lassen sich über die Entwicklung in Fourier-Reihen durch harmonische approximieren, siehe dazu Anhang A...2. Begriffe Die harmonische Bewegung wird nach Abb..3 durch die Auslenkung x(t) x(t) =A sin ωt (.2.) der Masse beschrieben, wobei A die Amplitude und ω die Kreisfrequenz, gemessen in rad/s, ist. Die Dauer einer Schwingungsperiode ist T, und der Zusam-

16 6 Einführung menhang zwischen Kreisfrequenz, Frequenz f und Schwingungsdauer ist ω = 2πf = 2π T. (.2.2) Die Frequenz ist definiert durch f = /T und wird in Hz=/s gemessen..2.2 Beschreibung Wir sind nicht nur an der Auslenkung x sondern auch an der Geschwindigkeit ẋ und der Beschleunigung ẍ ẋ(t) =ωa cos ωt = ωa sin(ωt + π/2) (.2.3) ẍ(t) = ω 2 A sin ωt = ω 2 A sin(ωt + π) (.2.4) der Masse interessiert, und wir beobachten jeweils eine Phasenverschiebung von π/2 zwischen diesen Größen. Zwischen Auslenkung und Beschleunigung besteht folgender Zusammenhang: 6 ẍ = ω 2 x, (.2.5) die Beschleunigung ist der Auslenkung proportional und zeigt in Richtung auf den Ursprung der Bewegung, die Gleichgewichtslage. Mit Hilfe der Euler-Identität e jφ = cos φ + j sin φ (.2.6) kann die harmonische Bewegung in der komplexen Größe z ausgedrückt werden. z(t) = Ae jωt = A cos ωt + ja sin ωt (.2.7) = x + jy Aufgabe 3 Zeigen Sie, daß die Beziehung (.2.7) die Differentialgleichung (.2.5) erfüllt. Die zu z konjugiert komplexe Größe ist und der Realteil von z ist z = Ae jωt, R(z) = z + z 2 = A cos ωt. Zur Wiederholung des Rechnens mit komplexen Zahlen hilft folgende 6 Gl. (.2.5) ist die erste, eine Bewegung beschreibende, Differentialgleichung in diesem Kompendium.

17 .3 Definitionen 7 Regel Für z = A e jφ, z 2 = A 2 e jφ2 und z = x + jy gilt die Multiplikation: z z 2 = A A 2 e j(φ+φ2), (.2.8) Division: z = A e j(φ φ2), z 2 A 2 (.2.9) Potenzbildung: z n = A n e jnφ z /n = A /n e jφ/n, (.2.) Betrag A und Winkel φ: A = Ô x 2 + y 2, φ = arctan y x. (.2.).3 Definitionen Die wichtigsten schwingungstechnischen Definitionen sind hier zusammengestellt:.3. Zeitbereich Der stationäre Mittelwert x einer Schwingung x(t) ist T x = lim x(t)dt, (.3.) T T der Mittelwert einer Halb-Periode einer Sinus-Schwingung ist π x = A sin tdt = 2 A π π. Der quadratische Mittelwert x 2 ist x 2 T = lim x 2 (t)dt, (.3.2) T T beispielsweise ist für x(t) =A sinωt der quadratische Mittelwert x 2 A 2 T = lim sin 2 ωtdt = T T 2 A2. Aufgabe 4 Überprüfen Sie dieses Ergebnis a) mit Bleistift und Papier, b) mit einem CAS-System, z.b. Maple oder MuPAD. Mittelwert: Von Bedeutung ist ebenfalls die Quadratwurzel des quadratischen Mittelwerts 7 rms = Ô x 2. (.3.3) Im vorangegangenen Beispiel rms = A/ Ô 2. 7 Englisch: root mean square (rms).

18 8 Einführung.3.2 Frequenzbereich Dezibel: Das Dezibel 8 ist ein logarithmisches Maß des Verhältnisses zweier Leistungen: db = log P P 2 oder mit einem Ergebnis aus Beispiel 6, das besagt, daß die Leistung proportional der Amplitude ist, db = log x 2 x 2 2 = 2 log x x 2. (.3.4) Beispielsweise ist eine Amplitudenvergrößerung von x /x 2 = 6 gemessen in Dezibel db = Oktave: Die Oktave ist eine Bezeichnung für die Bandbreite einer Schwingung. Wenn die obere Grenzfrequenz doppelt so groß ist wie die untere, dann deckt das Frequenzspektrum eine Oktave ab. Beispiel: Der Frequenzbereich erstrecke sich von 25 Hz bis 5 Hz, dann ist die Bandbreite 5 25 = 25 Hz oder eine Oktave. Zwei Frequenzen f und f 2 sind n Oktaven voneinander getrennt, wenn gilt. f f 2 = 2 n oder n = log 2 f f 2 (.3.5).4 Physikalische Ersatzsysteme Physikalische Ersatzsysteme sind äquivalente Massen, Federkonstanten, Dämpfer, etc Federkonstanten.4.. Addition Zwei oder mehrere (n) parallel geschaltete Federn mit den Steifigkeiten k i haben als äquivalente Federkonstante k die Summe der ki: k = n k i, (.4.) i= 8 Das Dezibel ist nach G. A. Bell, dem Gründer der Bell Company, später AT& T, benannt. 9 Dieser Abschnitt wird im Laufe des Semesters ergänzt. Einige Formeln sind schon im Text verwendet, ohne hier zu erscheinen, s.z.b. Gl. (2..2).

19 .4 Physikalische Ersatzsysteme 9 bei n hintereinandergeschalteten Federn berechnet sich die äquivalente Federkonstante aus den Kehrwerten: n k =, (.4.2) k i i= oder n i= k = k i n i= k. (.4.3) i.4..2 Balken und Stäbe Zugstab mit Länge l, Querschnitt A und Elastizitätsmodul E: k = EA l (.4.4) Torsionsstab mit Länge l, Querschnitt A und Elastizitätsmodul E: Balken, eingespannt-frei gelagert, Länge l, Flächenträgheitsmoment I, Elastizitätsmodul E, Last am freien Ende: k = 3EI l 3 (.4.5)

20 Einführung

21 Kapitel 2 Ein-Freiheitsgrad-Systeme 2. Ungedämpfte Eigenbewegung Die Bewegungsgleichung eines dynamischen ungedämpften Feder-Masse-Systems mit einem longitudinalen Freiheitsgrad ohne äußere Anregung lautet (Hookesches Gesetz: f k = kx(t)): mẍ(t)+kx(t) =, x() =x, ẋ() =ẋ, (2..) mit gegebenen Anfangswerten 2 x und ẋ. Die detaillierte Herleitung soll anhand Abb. 2. erfolgen. In der statischen Gleichgewichtsposition hält die Federkraft k dem Gewicht W = mg das Gleichgewicht. k = W = mg. Newtons zweites Gesetz auf die Konfiguration angewandt ergibt und daraus folgt Gl. (2..). mẍ(t) = f(t) =W k[ + x(t)], 2.. Lösung der Bewegungsgleichung Die Lösung der Bewegungsgleichung 3 wird über den Ansatz 4 x(t) =Ce st (2..2) Die folgenden Überlegungen gelten ganz analog für Systeme mit einem rotatorischen Freiheitsgrad: J θ + k tθ =. 2 Anstelle von ẋ kann auch ein Funktionswert x(t = t ) = x vorgeschrieben sein. Gl. (2..) beschreibt dann nicht mehr ein Anfangswertproblem, sondern ein Randwertproblem. Randwertprobleme sind i.a. viel schwieriger zu lösen als Anfangswertprobleme[28]. 3 Differentialgleichungen, in denen die Zeit nur implizit vorkommt, heißen autonom. 4 In Gl. (2..) wird die Summe einer Funktion und ihrer zweiten Ableitung gebildet, d.h. der Ansatz muß in Funktion und Ableitungen gleiche Funktionsanteile enthalten; genau das tut die Exponentialfunktion. Merke:Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, in denen die Zeit t nicht explizit erscheint, haben immer Exponentialfunktionen als alleinige Lösungskomponenten.

22 2 Ein-Freiheitsgrad-Systeme k entspannte Feder m k m W x k( +x) stat. Gleichgew. m... x x W Abbildung 2.: Feder-Masse-System mit freigeschnittener Masse gewonnen, in dem C und s aus den Anfangswerten zu bestimmende Parameter darstellen. Der Ansatz wird zweimal differenziert und in die Bewegungsgleichung eingesetzt: Ce st (ms 2 + k) =, und da dies für alle t und beliebige C gelten muß, ist 5 die sogenannte charakteristische Gleichung, aus der s,2 = ms 2 + k =, (2..3) Ö k m = j Ö k m (2..4) Experiment! folgt. Der Ausdruck Ö 6 k ωn = (2..5) m wird als die natürliche (ungedämpfte) Frequenz des Systems bezeichnet. Diese wird experimentell wie folgt ermittelt: Aus der statischen Auslenkung der Feder, s.a. Abb. 2., und der Masse m wird zunächst die Federkonstante k bestimmt: k = mg und diese dann in Gl. (2..5) eingesetzt: ω n =Ö g. Damit erhält man auch die Periode T n = /f n der Eigenschwingung: T n = 2π g. 5 Die Lösung für C = wird triviale Lösung genannt und interessiert uns nicht. 6 Oft findet man in der Literatur auch ω statt ω n.

23 2. Ungedämpfte Eigenbewegung 3 Die beiden Lösungen (2..4) der charakteristischen Gleichung (2..3) heißen charakteristische oder Eigenwerte des Systems. Mit ihnen ist die allgemeine Lösung der Dgl. (2..) x(t) =C e jωnt + C 2 e jωnt, (2..6) mit aus den Anfangswerten zu bestimmenden konjugiert komplexen Konstanten C und C 2, oder unter Verwendung der Euler-Identität e jα = cos α j sin α x(t) =A cos ω n t + A 2 sin ω n t, (2..7) wobei A und A 2 wiederum aus den Anfangswerten wie folgt zu bestimmen sind: x() =A = x, ẋ() =ω n A 2 = ẋ und damit A = x, In die Lösung (2..7) eingesetzt wird A 2 = ẋ ω n. x(t) =x cos ω n t + ẋ sin ω n t (2..8) ω n als allgemeine Lösung erhalten. Zwischen den Konstanten A i und C i besteht folgende Beziehung: A = C + C 2, und A 2 = j(c C 2 ). Aufgabe 5 Leiten Sie diese Beziehung her; und schreiben Sie sich C i = f(a i ) in den Margin Bewegungsformen Die allgemeine Lösung (2..8) stellt eine harmonische Schwingung dar, deswegen ist das durch Gl. (2..) beschriebene System ein harmonischer Oszillator Anfangsbedingungen Gl. (2..8) beschreibt die Bewegung der Masse m um ihre statische Gleichgewichtslage. Eine (Eigen-)Bewegung kommt nur zustande, wenn mindestens eine der beiden Anfangsbedingungen von Null verschieden sind. Für ẋ = ergibt sich x(t) =x cos ω n t und für x = x(t) = ẋ sin ω n t. ω n Der Einfluß der Anfangswerte auf die Lösung x(t) ist in Abb. 2.3 für ω n = dargestellt. Sie erkennen deutlich die unterschiedlichen Amplituden der Schwingungen.

24 4 Ein-Freiheitsgrad-Systeme.5.5 x =,xp =/2 x =,xp = x(t).5 x = /2,xp = t[s] Abbildung 2.2: Einfluß der Anfangswerte Winkeladdition Unter Verwendung der Additionstheoreme für Winkelfunktionen kann die Lösung (2..7) in der Form x(t) =A cos (ω n t φ) (2..9) dargestellt werden, wobei mit A = A cos φ und A 2 = A sin φ der Ausdruck A die Amplitude A = ÕA x 2 + A22 = 2 +(ẋ ) ω 2 n und φ der Phasenwinkel sind. Analog zu Gl. (2..9) ist φ = arctan A 2 A = arctan ẋ x ω n x(t) =A sin (ω n t + ψ), (2..)

25 2. Ungedämpfte Eigenbewegung 5 mit der Amplitude A wie oben und ψ = arctan x ω n ẋ Phasenportrait Ein- bzw. zweimalige Differentiation der Lösung (2..9) ergeben die Geschwindigkeit ẋ(t) = ω n A sin (ω n t φ) =ω n A cos (ω n t φ + π/2) und die Beschleunigung ẍ(t) = ω 2 na cos (ω n t φ) =ω 2 na cos (ω n t φ + π), woraus zu entnehmen ist, daß die Geschwindigkeit ẋ der Auslenkung x um den Winkel π/2 und die Beschleunigung ẍ um den Winkel π vorauseilt. Die Darstellung von ẋ als Funktion von x wird als Phasendiagramm bezeichnet. Aus der Beziehung cos 2 (ω n t φ)+sin 2 (ω n t φ) = erhält man mit und mit das Phasendiagramm einer Ellipse cos (ω n t φ) = x(t) A sin (ω n t φ) = ẋ(t) Aω n x 2 A 2 + ẋ 2 (Aω n ) 2 = Beispiele Manometer-Schwingung In einem Manometer nach dem Prinzip geneigter kommunizierender Röhren schwingt eine Flüssigkeitssäule ungedämpft. Die Länge der Flüssigkeitssäule sei L, der Querschnitt A. Wie groß ist die natürliche Frequenz ω n der Flüssigkeitsschwingung? Lösung: Die Bewegungsgleichung lautet[4] mẍ = f x, d.h. oder vereinfacht LAρẍ = 2Axρg ẍ + 2g L x =

26 6 Ein-Freiheitsgrad-Systeme und daraus ergibt sich ω n =Ö 2g L Strukturschwingung Ein (masselos) angenommener einseitig eingespannter Balken der Länge l trägt auf seinem freien Ende eine Masse m, die eine statische Durchbiegung x des freien Endes bewirkt. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz der Anordnung? Lösung: Die Auslenkung eines Kragbalkens unter einer Punktlast am Ende ist x = mg k mit der Balkensteifigkeit k = 3EI l 3 mit E dem Elastizitätsmodul und I dem Flächenträgheitsmoment des Balkens. Damit ist ω n =Ö 3EI ml 3 = Õ g x. (2..) Torsionsschwingung Ein Rad hängt an einer eingespannten Welle mit Durchmesser d und Länge l. Das Rad wird aus seiner statischen Gleichgewichtslage ausgelenkt und vollführt in t Sekunden n Schwingungen. Bestimmen Sie das polare Trägheitsmoment J des Rades. Lösung: Die Bewegungsgleichung ist J θ + k tθ =. Die Eigenkreisfrequenz ω n gegebenen Zeit: berechnet sich aus der Anzahl der Schwingungen in der ω n = 2π n t. Die Torsionssteifigkeit der Welle ist k t = Gπd4 32l mit G dem Schermodul des Wellenmaterials. (2..2) Aus der Bewegungsgleichung folgt J = kt ω 2 n = Gd4 t 2 28πln 2.

27 2.2 Gedämpfte Eigenbewegung 7 Aufgabe 6 ) Überprüfen Sie die Dimensionen des Resultats! 2) Warum hat die Amplitude der Auslenkung keinen Einfluß? 3) Rechnen Sie ein Beispiel mit realistischen Zahlenwerten! 2.2 Gedämpfte Eigenbewegung Zunächst soll der einfache Fall der viskosen (geschwindigkeitsproportionalen) Dämpfung untersucht werden. Zusätzlich zur Federkraft tritt hier die Dämpfungskraft f c = cẋ(t), so daß die Bewegungsgleichung lautet. mẍ(t)+cẋ(t)+kx(t) =, x() =x, ẋ() =ẋ (2.2.) 2.2. Lösung der Bewegungsgleichung Zur Lösung der Bewegungsgleichung (2.2.) wird wieder der Ansatz (2..2) x(t) =Ce st herangezogen. Die charakteristische Gleichung ergibt sich hier nach (ms 2 + cs + k)ce st = zu und deren Lösungen sind: ms 2 + cs + k =, (2.2.2) s,2 Ö = c c 2 2m k 2m m. (2.2.3) und damit ist die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung (2.2.)! x(t) =C e c 2m +Ô ( c 2m )2 k m t + C 2 e c 2m Ô ( c 2m )2 k m t, (2.2.4) worin die C i wieder aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Der Lösungsgraph (2.2.4) hängt entscheidend vom Radikanden in Gl. (2.2.3) ab. Wird dieser Null, (c k /2m) 2 k/m =, dannwirdc k c k = 2 Ô km = 2mω n die kritische Dämpfungskonstante genannt. Das Verhältnis einer beliebigen Dämpfungskonstanten c zur kritischen c k wird als Dämpfungsverhältnis ζ = c (2.2.5) c k bezeichnet. Dämpfungsverhältnis ζ Mit ω n und ζ kann Gl. (2.2.) nach Division durch m auch in der Form ẍ(t)+2ζω n ẋ(t)+ω 2 nx(t) = (2.2.6)

28 8 Ein-Freiheitsgrad-Systeme geschrieben werden, wobei nun die drei Parameter m, c, k durch nur zwei, ω n,ζ, ersetzt sind. Das Dämpfungsverhältnis wird in die Beziehung (2.2.3) eingesetzt: s,2 = ζ Ô ζ 2 ω n, (2.2.7) und damit wird als Lösung (2.2.4) x(t) =C e ζ+ Ô ζ 2 ω nt + C 2 e ζ Ôζ 2 ω nt (2.2.8) erhalten. Setzt man das Dämpfungsverhältnis ζ und die Eigenkreisfrequenz ω n in die Systemgleichung (2.2.) ein, dann erhält man die häufig verwendete Darstellung ẍ(t)+2ζω n ẋ(t)+ω 2 nx(t) = (2.2.9) und entsprechende Anfangsbedingungen Bewegungsformen In Abhängigkeit von ζ werden nun die unterschiedlichen Lösungsformen dieser Gleichung diskutiert:. ζ = : Ungedämpfte Schwingung, 2. ζ = : Kritisch gedämpfte Schwingung, 3. <ζ<:unterdämpfte Schwingung, 4. ζ>: Überdämpfte Schwingung Ungedämpfte Schwingung Der Fall ζ = führt auf ungedämpfte Schwingungen des Abschnitts (2.). Hier soll die Lösung (2..8) durch Anwendung der Laplace-Transformation[36], s.a. Anhang A.2, gewonnen werden. Die Laplace-Transformation der homogenen Differentialgleichung mẍ(t)+kx(t) = oder, nach Division durch m, ẍ(t)+ω 2 nx(t) = Merke: x(t) X(s) lautet s 2 X(s) sx ẋ + ω 2 nx(s) =, und nach X aufgelöst: s X(s) = s 2 + ω 2 x + n s 2 + ω 2 ẋ. n Die inverse Laplace-Transformation dieses Ausdrucks ergibt mit Zeile 23 und 24 der Tab. A. x(t) =x cos ω n t + ẋ sin ω n t, ω n wie nach Ergebnis (2..8) zu erwarten war.

29 2.2 Gedämpfte Eigenbewegung Kritische Dämpfung Im Falle von ζ =, der kritischen Dämpfung, fallen die beiden Wurzeln der charakteristischen Gleichung (2.2.2) zusammen: s,2 = c k 2m = ω n, dementsprechend lautet die Systemgleichung ẍ(t)+2ω n ẋ(t)+ω 2 nx(t) =. Deren Lösung soll wieder durch Anwendung der Laplace-Transformation berechnet werden: und nach X aufgelöst: s 2 X(s) sx ẋ + 2ω n sx(s) 2ω n x + ω 2 nx(s) =, X(s) = ẋ + sx + 2ω n x s 2 + 2ω n s + ω 2 n s = (s + ω n ) 2 x + (s + ω n ) 2 (ẋ + 2ω n x ). Die inverse Laplace-Transformation führt zu x(t) =(x +(ẋ + ω n x )t)e ωnt. (2.2.) Aufgabe 7 Vollziehen Sie die inverse Laplace-Transformation im einzelnen mit Bleistift auf Papier mit Hilfe der Tab. A. nach! Unterdämpftes System Im Falldes unterdämpften Systems <ζ<wird die Diskriminante der Lösung der charakteristischen Gleichung (2.2.7) negativ, deshalb kann diese Lösung auch als s,2 = ζ j Ô ζ 2 ω n (2.2.) geschrieben werden. Damit wird die Lösung (2.2.8) der Systemgleichung Ô x(t) = C e ζ+j ζ 2 ω Ô ζ nt + C 2 e ζ j 2 ω = e ζωntc Ô Ô e j ζ 2 ω nt + C 2 e j ζ 2 ω nt = e ζωnt(c + C Ô Ô 2 ) cos ζ 2 ω n t + j(c C 2 ) sin Ô ζ 2 ω n t Ô = e ζωnta cos ζ 2 ω n t + A 2 sin ζ 2 ω n t Ô = Ae ζωnt cos ( ζ 2 ω n t φ) (2.2.2) = Ae ζωnt sin ( ζ 2 ω n t + ψ) (2.2.3)

30 2 Ein-Freiheitsgrad-Systeme wobei A und A 2 oder A und φ oder ψ aus den Anfangsbedingungen zu bestimmende Konstanten sind. Ersteres Paar ist und wobei, mit A = x A 2 = ẋ + ζω n x Ô = ẋ + ζω n x, ζ2 ω n ω d ω d = Ô ζ 2 ω n (2.2.4) der Frequenz der gedämpften Schwingung, die allgemeine Lösung x(t) =e ζωntx cos ω d t + ẋ + ζω n x sin ω d t ω d ist. Analog zu Abschnitt 2..2 sind die Amplitude A als A = und der Phasenwinkel φ als 2 ẋ ÕA x 2 + A22 = ζω n x ω d φ = arctan A 2 A = arctan ẋ + ζω n x x ω d (2.2.5) und ψ als ermittelbar. ψ = arctan A A 2 = arctan x ω d ẋ + ζω n x In Abb. 2.3 ist der Einfluß der Anfangsbedingungen auf die Lösung x(t) für ω n = und ζ = /5 dargestellt. Der Eingabe-File für Matlab[47] ist nachfolgend eingerückt. Gedämpfte freie Schwingung Gl. (2.2.5), Einfluß der Anfangsbedingungen: wn=; z=/5; wd=sqrt(-z^2)*wn; t=linspace(,2,2); x=; xp=; A=x; A2=(xp+z*wn*x)/wd; x=exp(-z*wn.*t).*(a.*cos(wd.*t)+a2.*sin(wd.*t)); x=; xp=; A=x; A2=(xp+z*wn*x)/wd; x2=exp(-z*wn.*t).*(a.*cos(wd.*t)+a2.*sin(wd.*t));

31 2.2 Gedämpfte Eigenbewegung 2.8 x =,xp =.6 x =,xp =.4 x(t).2 x = /2,xp = t[s] Abbildung 2.3: Einfluß der Anfangsbedingungen x=-/2; xp=; A=x; A2=(xp+z*wn*x)/wd; x3=exp(-z*wn.*t).*(a.*cos(wd.*t)+a2.*sin(wd.*t)); plot(t,x, k-,t,x2, k--,t,x3, k-. ) grid xlabel( t[s] ) ylabel( x(t) ) gtext( \leftarrowx_=,xp_= ) gtext( \leftarrowx_=,xp_= ) gtext( \leftarrowx_=-/2,xp_= ) Abb. 2.4 zeigt den Einfluß der Dämpfung, ζ ¾ {/5, /3, /2}, auf das Systemverhalten. Aufgabe 8 Untersuchen Sie anhand der Abb. 2.4 den Einfluß der Dämpfung auf die Schwingungsdauer T. Begründen Sie Ihre Erfahrung durch die Theorie.

32 22 Ein-Freiheitsgrad-Systeme x(t).2 ζ=/5 ζ=/2.2 ζ=/ t[s] Abbildung 2.4: Einfluß der Dämpfung Überdämpftes System Im Falle des überdämpften Systems, ζ>,ist Ô ζ 2 >und damit sind die Wurzeln (2.2.7) der charakteristischen Gleichung s,2 = ζ Ô ζ 2 ω n reel und unterschiedlich, und es gilt s 2 <s <.DieLösung der Bewegungsgleichung ist Ô Ô x(t) =C e ζ+ ζ 2 ω nt + C 2 e ζ ζ 2 ω nt, (2.2.6) eine exponentiell abnehmende, aperiodische Bewegung, wobei die Konstanten C = x ω n (+ζ + Ô ζ 2 )+ẋ 2ω n Ô ζ2 und C 2 = x ω n ( ζ + Ô ζ 2 ) ẋ Ô 2ω n ζ2 wieder aus den Anfangsbedingungen x und ẋ berechnet werden.

33 2.2 Gedämpfte Eigenbewegung 23 Beispiel 4 Die Anfangsbedingungen können sehr einfach mit einem CAS-System symbolisch ermittelt werden; hier z.b. mit Maple[35]. Gelöst wird folgendes lineare Gleichungssystem: C ( ζ + Ô ζ 2 )ω n ( ζ Ô ζ 2 )ω n Diese Gleichung wird in folgender Maple-Sitzung gelöst: 7 > with(linalg): > assume(zeta>); > assume(w>); > A:=matrix([[,],[( ζ + Ô ζ 2 )*w,( ζ Ô ζ 2 )*w]]); C 2 = x ẋ A := ζ +Ôζ 2 w ζ Ôζ 2 w > b:=vector([x,xp]); > C:=linsolve(A,b); b := [ x xp ] C := xp + w ζ x + w Ôζ 2 x 2 w Ôζ 2 w ζ x w Ôζ 2 x + xp Ô 2 ζ 2 w Aufgabe 9 Überprüfen Sie, ob Maple richtig gerechnet hat! Charakteristika Stabilität Wichtiges Merkmal eines dynamischen Systems ist seine Stabilität. Allgemeine Stabilitätsbedingungen werden im Anhang B angegeben. Für ein mechanisches System 2. Ordnung ist notwendig und hinreichend, daß alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung (hier m, c und k) gleiches Vorzeichen (hier ist physikalisch sinnvoll nur das positive) haben. Gleichbedeutend damit ist, daß gilt! 7 Die assume-anweisung legt die Bedingungen ζ>und ω n >fest, die im Zusammenhang dieses Abschnitts gefordert sind.

34 24 Ein-Freiheitsgrad-Systeme s < ζ < j ω ζ= ωn ζ 2 ωn ω n ζ> ζ= ζ> ζω n s 2 s 2 s σ Abbildung 2.5: Lage der Pole R(s i ) <, wobei R(s) der Realteil der komplexen Größe s ist. D.h. die Nullstellen der charakteristischen Gleichung 8 müssen negativen Realteil haben. Dieser Sachverhalt ist in Abbildung 2.5 dargestellt für zwei Polpaare s,2, von denen eines auf dem Halbkreis mit Radius ω n liegt und eines auf der negativen reellen Achse. i, Logarithmisches Dekrement Aus der Kreisfrequenz ω d der gedämpften Schwingung wird deren Schwingungsdauer T d zu T d = 2π ω d berechnet. Die periodische Amplitudenreduktion während einer Schwingungsdauer wird der Lösung (2.2.2) zu den Zeitpunkten t und t 2 = t + T d entnommen: x(t ) x(t 2 ) = Ae ζωnt cos(ω d t φ) Ae ζωnt2 cos(ω d t 2 φ) = e ζωnt e = ζωn(t+td) eζωntd. 8 Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung werden auch als Pole des Systems bezeichnet.

35 2.2 Gedämpfte Eigenbewegung 25 Das Verhältnis δ = ln x(t ) x(t 2 ) = ζω ζ nt d = 2π Ô (2.2.7) ζ 2 wird als logarithmisches Dekrement bezeichnet. Für kleine ζ gilt approximativ δ 2πζ. Wenn durch Gleichung (2.2.7) das logarithmische Dekrement gegeben ist, dann kann daraus das Dämpfungsverhältnis berechnet werden: ζ = δ Ô 4π2 + δ 2,! wobei für kleine δ wieder die approximative Linearisierung ζ δ 2π gilt. Mit diesen Beziehungen kann aus dem Graphen x(t) der Lösung das Dämpfungsverhältnis ζ experimentell durch Auslesen zweier konsekutiver Werte x(t ) und x(t 2 ) gewonnen werden. Experiment Energieverluste Die zeitliche Änderung der Energie W ist das Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit d dt tw(t) =fv = cẋ2 (t), (2.2.8) und die dissipierte Energie W während einer Periode T d ist Td d W = tw(t)dt. (2.2.9) dt Für eine gedämpfte harmonische Bewegung sei x(t) =X sin ω d t wird das Integral (2.2.9) zu W = = Td 2π = πcω d X 2. cx 2 ω 2 d cos2 ω d tdt cx 2 ω d cos 2 ω d td(ω d t) Der Energieverlust ist proportional zum Quadrat der Bewegungsamplitude X; weiterhin ist er abhängig von sämtlichen Systemparametern (ω n, ζ) Alternative Dämpfungsmodelle Das breite Spektrum alternativer Dämpfungsmodelle[] wird in einem Seminar im Studienschwerpunkt Entwicklung und Versuch ausführlich behandelt. Hier soll zunächst nur auf den Einfluß trockener Reibung, der sog. Coulomb- Dämpfung, eingegangen werden.

36 26 Ein-Freiheitsgrad-Systeme Trockene Reibung Die bisherige Modellbildung der Dämfungskraft geht aus von der Vorstellung der Geschwindigkeitsproportionalität f c (t) =cẋ(t). Der Vorteil dieses Ansatzes liegt in der Tatsache, daß die Bewegungsgleichung linear ist, der Nachteil ist die geringere Realitätsnähe. Herrscht trockene Reibung vor mit einem Reibungskoeffizienten µ, dannistdiedämpfungskraft auch richtungsabhängig: µn ẋ<, f c = ẋ =, µn ẋ>, dieser Dämpfungsansatz heißt Coulomb-Dämpfung, und mit ihm wird die Bewegungsgleichung (..) nichtlinear. Unter Einführung der Signum-Funktion für x>, sign(x) = für x =, für x<, und mit N = mg wird die Bewegungsgleichung mẍ + µmgsign(ẋ)+kx =. (2.2.2) Diese Gleichung ist inhomogen, die Nichtlinearität ist einfach: die Gleichung ist abschnittsweise linear: und mẍ + kx = µmg für ẋ>, mẍ + kx = für ẋ = mẍ + kx = µmg für ẋ<. DamitwirdauchdieLösung in Anlehnung an Gleichung (2..7) einfach x(t) =A cos ω n t + A 2 sin ω n t µmg für ẋ>, (2.2.2) k und x(t) =A 3 cos ω n t + A 4 sin ω n t + µmg für ẋ<, (2.2.22) k was durch Einsetzen in Gl. (2.2.2) nachprüfbar ist. Die Konstanten A i, i =,...,4 werden wieder aus Anfangsbedingungen gewonnen. Diese seien zum Zeitpunkt t = x() =x >, und ẋ() =, d.h. die Bewegung startet von rechts nach links und damit muß Gleichung (2.2.22) verwendet werden, aus der A 3 = x µmg k

37 2.2 Gedämpfte Eigenbewegung 27 und A 4 = erhalten werden, und x(t) in der ersten Halbperiode wird x(t) =x µmg k cos ω n t + µmg k. (2.2.23) Bei t = T/2 = π/ω n findet Richtungsumkehr der Masse m statt; jetzt gilt Gl. (2.2.2) mit Anfangsbedingungen aus Gl. (2.2.23) und t = π/ω n x = x( π )= x + 2 µmg ω n k und ẋ( π )=, ω n da bei Richtungsumkehr die Geschwindigkeit der Masse gerade Null ist. Damit werden in der zweiten Halbperiode für π/ω n t 2π/ω n A = x 3 µmg k und A 2 = und x(t) =x 3 µmg cos ω n t µmg k k. (2.2.24) Am Ende der zweiten Halbperiode ist x 2 = x(2π/ω n )=x 4 µmg k und ẋ(2π/ω n ) wiederum Null. Dies sind die Anfangsbedingungen für den dritten Halbzyklus, für den wieder Gl. (2.2.22) zu wählen ist. Und so fort, bis die Bewegung zum Stillstand kommt, was dann geschieht, wenn x n µmg/k ist, da dann die Rückstellkraft der Feder nicht mehr ausreicht, um die Reibungskraft µmg zu überwinden, d.h. oder nach Halbperioden. x n 2µmg k n = µmg k x µmg k 2µmg k In jeder Halbperiode reduziert sich die Amplitude X der Schwingung um 2µmg/k, d.h. X i+ = X i 4µmg, k d.h. sie reduziert sich linear mit der Zeit, im Gegensatz zur viskosen Dämpfung, bei der die Amplitude exponentiell abfällt, s.a. Gl. (2.2.5).

38 28 Ein-Freiheitsgrad-Systeme Aufgabe Berechnen Sie die Steigung der Amplituden-Einhüllenden. Eine Bewegung eines Massepunktes mit Coulomb-Dämpfung ist in Abb. 2.6 dargestellt x(t) t[s] Abbildung 2.6: Einfluß der Coulomb-Dämpfung 2.3 Harmonische Anregung Im vorangegangenen Kapitel wurden die freien Schwingungen eines mechanischen Systems untersucht. Das System wird dabei durch entsprechende Anfang- 9 Diese Abbildung wurde durch numerische Lösung der Differentialgleichung (2.2.2) im CAE-System Matlab[47] gewonnen. Dabei wurde der Differential-Equation-Editor dee benutzt, in dem die Dgl. zweiter Ordnung als System zweier Dgln. erster Ordnung eingegeben werden ẋ = x 2, ẋ 2 = k/mx sgn(x 2 )µg. Aufgabe Verifizieren Sie dieses System unter Verwendung der Hilfsmittel des Anhangs D.

39 2.3 Harmonische Anregung 29 sbedingungen aus seiner statischen Gleichgewichtslage gebracht und dann sich selbst überlassen. Es führt seine Eigenbewegung aus. Nun soll dem System fortwährend Energie zugeführt werden; dann führt es angeregte oder erzwungene Schwingungen aus. Zunächst beschränken wir uns auf den Fall der harmonischen Anregung, die allgemein als oder f(t) =F e j(ωt+φ) f(t) =F cos(ωt + φ) (2.3.) formuliert wird, mit F der Amplitude, ω der Frequenz und φ dem Phasenwinkel. Wenn zum Zeitpunkt t = auch f(t) = ist, dann ist auch φ =. Wir werden nachweisen, daß harmonische Anregung immer eine harmonische Bewegung x(t) bewirkt, die sich jedoch i.a. in Amplitude und Phase von der Anregung unterscheidet. Wenn die anregende Frequenz ω mit der Eigenfrequenz ω n des angeregten Systems zusammenfällt, dann überhöht sich die Amplitude X sehr stark, und es kann zu schweren Schäden am System führen. Man spricht von Resonanz. Die Bewegungsgleichung des fremd-erregten Systems lautet: mẍ(t)+cẋ(t)+kx(t) =f(t). (2.3.2) Deren allgemeine Lösung wird superponiert aus der Lösung x h (t) des homogenen Systems mẍ h (t)+cẋ h (t)+kx h (t) = und der partikulären Lösung x p (t) des angeregten Systems (2.3.2): x(t) =x h (t)+x p (t). Darin ist x h für den transienten Teil der Lösung und x p für deren stationären Anteil verantwortlich Harmonische Anregung des ungedämpften Systems Für das ungedämpfte System wird die Bewegungsgleichung (2.3.2) mit der Anregung (2.3.) oder wobei mẍ(t)+kx(t) =F cos ωt, x() =x, ẋ() =ẋ, (2.3.3) ẍ(t) ω 2 n Resonanz von resonare (lat.) widerhallen. + x(t) =f cos ωt, f = F k = (2.3.4)

40 3 Ein-Freiheitsgrad-Systeme die statische Auslenkung der Masse m durch die Kraft F ist. Die homogene Lösung dieser Gleichung wurde in Abschnitt 2. ermittelt: x h (t) =A cos ω n t + A 2 sin ω n t. Die partikuläre Lösung genügt dem Ansatz x p (t) =A cos ωt, was man durch (zweimaliges) Differenzieren und Einsetzen in Gleichung (2.3.3) sofort sieht. Aus diesem Vorgang ergibt sich auch die Amplitude A = F k mω 2 und damit gleich die gesamte Lösung der Bewegungsgleichung x(t) =A cos ω n t + A 2 sin ω n t + F cos ωt. (2.3.5) k mω2 Die Amplituden, A i, i =, 2, werden aus den Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t =, nämlich x und ẋ, bestimmt: und A = x A 2 = ẋ ω n F k mω 2 und damit wird Gleichung (2.3.5) schließlich zu x(t) = x F k mω 2 cos ω n t + ẋ ω n sin ω n t + F cos ωt. (2.3.6) k mω2 Es ist leicht nachzuvollziehen, daß mit dem Verhältnis von Erreger- und Eigenkreisfrequenz η = ω/ω n für das Amplitudenverhältnis A /f V(η) = A f = ω ω n 2 = η 2 (2.3.7) gilt; in Abb. 2.7 ist V über η abgebildet. Das Amplitudenverhältnis V wird auch als Vergrößerungsfunktion bezeichnet. Die Abbildung zeigt zwei Bereiche, die durch einen Pol bei ω = ω n getrennt sind.

41 2.3 Harmonische Anregung V(η) ω=ω n η Abbildung 2.7: Vergrößerungsfunktion der ungedämpften Schwingung ω<ω n Resonanz Mit dem Amplitudenverhältnis (2.3.7) wird Gleichung (2.3.6) x(t) = x F k mω 2 cos ω n t + ẋ sin ω n t + f cos ωt; (2.3.8) ω n η2 es gilt η<, und x(t) berechnet sich nach (2.3.8) und V ist im linken Ast der Abb. 2.7 gezeichnet. Der Systemausgang x(t) ist in Phase mit dem Systemeingang f(t). Jetzt ist η>, und die partikuläre Lösung wird x p (t) = A cos ωt, hier mit ω n <ω< A = f η 2 Das Amplitudenverhältnis ist im rechten Ast abgebildet. Für sehr große ω tendiert A gegen Null. A ist negativ, d.h. für eine positive statische Amplitude f ist die dynamische Amplitude A negativ; man sagt, Eingang und Ausgang sind (8 Æ ) phasenverschoben. In diesem Fall kann der Ansatz x p (t) =A cos ωt nicht zum Ziel führen, da er ω n = ω

42 32 Ein-Freiheitsgrad-Systeme auch die homogene Gleichung löst. Die modifizierte Ansatzfunktion lautet nun [28] x p (t) =A t sin ωt, und damit die Lösungsfunktion x(t) =x h (t)+x p (t) x(t) =A cos ωt + A 2 sin ωt + A t sin ωt. A wird durch Einsetzen des Ansatzes x p in die Gleichung (2.3.3) gewonnen: Damit wird die Lösung für ω = ω n A = f 2ω. x(t) =A cos ωt + A 2 sin ωt + f t sin ωt, (2.3.9) 2ω wobei die Amplituden A und A 2 wieder aus den beiden Anfangsbedingungen x und ẋ gewonnen werden, die in Gleichung (2.3.9) und deren Ableitung für t = eingesetzt werden. Damit erhält man schließlich x(t) =x cos ωt + ẋ ω sin ωt + f t sin ωt (2.3.) 2ω als Lösung. In ihr kommt ω n nur scheinbar nicht vor, da es gleich der anregenden Kreisfrequenz ω ist. Man erkennt leicht, warum Resonanz im ungedämpften Fall katastrophale Auswirkungen hat: Der dritte Summand in der Lösung (2.3.) wächst für t über alle Schranken, s.a. Abb Schwebung Wir kehren zurück zur Gleichung (2.3.6) und setzen dort die Anfangsbedingungen zur Vereinfachung aber ohne Beschränkung der Allgemeinheit zu Null. Dann erhalten wir nach kurzer Umrechnung x(t) = F m(ω 2 n ω 2 ) (cos ωt cos ω nt), was unter Verwendung eines Theorems der Winkelfunktionen als Produkt darstellbar ist: x(t) = 2F m(ω 2 n ω 2 ) sin ωn + ω t 2 sin ωn ω t 2. (2.3.) Nun sei die erregende Frequenz ω nur wenig kleiner als die Eigenfrequenz ω n : ω n ω = 2ɛ mit ɛ einer kleinen positiven Größe. Außerdem gilt ω n + ω 2ω

43 2.3 Harmonische Anregung x(ω t) ω t Abbildung 2.8: Resonanzkatastrophe und nach Multiplikation dieser beiden Relationen ω 2 n ω 2 4ɛω. Mit den eben beschriebenen Beziehungen wird Gleichung (2.3.) zu x(t) = F sin ɛt sin ωt. 2mɛω Dies ist eine Schwingung mit der Frequenz ω, Schwingungsperiode T = 2π/ω, und einer zeitvariablen, harmonischen Amplitude A(t) = F sin ɛt. 2mɛω Die Periode der Amplitude ist T A 2π/ɛ. Diese Schwingungsform ist Ihnen aus dem Physikunterricht als Schwebung bekannt. Eine typische Schwebung ist in Abb. 2.9 dargestellt.