Leseprobe. Biegung. Kirbs TECHNISCHE MECHANIK. Studienbrief HDL HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING. 3. Auflage 2008

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1 Leseprobe Kirbs Biegung TECHNISCHE MECHANIK Studienbrief Auflage 8 HDL HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING

2 Verfasser: Prof. Dr.-Ing. Jörg Kirbs Professor für Technische Mechanik / Festigkeitslehre und FEM-Anwendung im Fachbereich Maschinenbau an der Hochschule Merseburg Der Studienbrief wurde auf der Grundlage des Curriculums für das Studienfach Technische Mechanik verfasst. Die Bestätigung des Curriculums erfolgte durch den Fachausschuss Grundständiges Fernstudium Wirtschaftsingenieurwesen, dem Professoren der folgenden Fachhochschulen angehörten: HS Anhalt, FHTW Berlin, TFH Berlin, HTWK Leipzig, HS Magdeburg-Stendal, HS Merseburg, HTW Mittweida, FH Schmalkalden, FH Stralsund, TFH Wildau und WH Zwickau. Redaktionsschluss: Januar 8 3. Auflage 8 8 by Service-Agentur des Hochschulverbundes Distance Learning mit Sitz an der FH Brandenburg. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung und des Nachdrucks, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form ohne schriftliche Genehmigung der Service-Agentur des HDL reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Service-Agentur des HDL (Hochschulverbund Distance Learning) Leiter: Dr. Reinhard Wulfert in der Agentur für wissenschaftliche Weiterbildung und Wissenstransfer e. V. Magdeburger Straße 5, 477 Brandenburg Tel.: kontakt-hdl@aww-brandenburg.de Fax: Internet:

3 Technische Mechanik Biegung Inhaltsverzeichnis Formelzeichen... 4 Randsymbole... 4 Einleitung und Literaturempfehlung... 5 Ermittlung der Biegespannungen Theoretische Grundlagen der Biegetheorie Vorbemerkungen Verformungsbetrachtungen Biegespannungen bei gerader Biegung Ermittlung des Biegespannungsverlaufs Randspannungen Anwendungsbeispiel....3 Biegespannungen bei schiefer Biegung Biegespannungen in (doppelt-)symmetrischen Querschnitten Übungsaufgaben... 8 Die Ermittlung der Durchbiegung die Differenzialgleichung zweiter Ordnung der Biegelinie.... Allgemeines.... Die Differenzialgleichung zweiter Ordnung der Biegelinie..... Herleitung der Differenzialgleichung..... Lösung der Differenzialgleichung für statisch bestimmte Systeme Anwendungsbeispiel... 4 Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben... 8 Literaturverzeichnis... 3

4 Biegung Technische Mechanik Formelzeichen Bedeutung Formelzeichen Einheitenzeichen Physikalische Einheit Querschnittsabmessungen b, h mm Millimeter Integrationskonstanten c, c, c 3, c 4 Flächenelement da Elastizitätsmodul E N/mm Newton/Quadratmillimeter Biegesteifigkeit (Produkt aus Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment) EI N/mm Einzelkraft F N Newton Lagerkräfte F AV, F AH, F B N Flächenträgheitsmoment um die y- bzw. z-achse I yy, I zz mm 4 Krümmung K Länge, mm resultierendes Biegemoment M bres Nm Newtonmeter Biegemoment um die y- bzw. z-achse M by, M bz Nm Querkraft in y- bzw. z-richtung Q y, Q z N Linienlast q N/mm Newton/Millimeter Krümmungsradius r mm Temperaturdifferenz T K Kelvin Durchbiegung v mm Widerstandsmomente W b, W yo, W yu mm 3 Kubikmillimeter Dehnung Normalspannungen in x-, y- bzw. z-richtung ε x σ x, σ y, σ z N/mm Randnormalspannungen σ R, σ xo, σ xu N/mm zulässige Normalspannung σ zul N/mm Biegewinkel (in Bogenmaß oder Grad) ϕ rad oder Randsymbole B S Ü Beispiel Studienziele Übungsaufgaben 4

5 Biegung Technische Mechanik q A B Bild.3 Abgesetzte Welle mit Linienlast Zu bestimmen sind die maximalen Biegespannungen in jedem Wellenabschnitt, wenn die Intensität der Linienlast q = 4 N/mm beträgt! Die Ermittlung der Durchbiegung die Differenzialgleichung zweiter Ordnung der Biegelinie. Allgemeines Für viele praktische Anwendungen ist es notwendig, die Biegeverformung bzw. Durchbiegung eines Trägers zu kennen; beispielsweise um den ungestörten ruhigen Lauf einer Motorwelle zu gewährleisten oder den balligen Schliff einer Walze zu berechnen. Die Durchbiegung des Trägers oder Balkens wird dabei immer als Durchbiegung der Träger- oder Balkenachse ermittelt. Die deformierte Gestalt der ursprünglich geraden Balkenachse wird als Biegelinie oder elastische Linie bezeichnet. Diese Biegelinie repräsentiert die Durchbiegung der Balkenachse (und damit auch des Balkens) an jeder Stelle in Längsrichtung des Balkens. Der folgende Abschnitt beschäftigt sich mit der Ermittlung der Biegelinie nach der Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Auf die Differenzialgleichung vierter Ordnung wird hier nur kurz verwiesen; diese wird ausführlich in KUNOW (996) behandelt.

6 Technische Mechanik Biegung. Die Differenzialgleichung zweiter Ordnung der Biegelinie.. Herleitung der Differenzialgleichung Den Ausgangspunkt der Betrachtungen in diesem Abschnitt bilden die Gleichungen (.6) und (.) des Abschnittes.: σ x ( z,x) = E z, (.6) r ( x) Mby σ x ( z,x) = z. (.) I yy Aus der Zusammenfassung beider Gleichungen folgt: M M by by ( x) = EI r = E I r yy yy oder kürzer. (.) Durch Umstellung von Gleichung (.) nach der örtlichen Krümmung (siehe Gleichung (.), Abschnitt.) ergibt sich: K M = = r E I by yy. (.) Die Krümmung soll nun durch die Durchbiegung ersetzt werden. q(x) unverformte Balkenachse x dx z,v v(x) A B ϕ(x) elastische Linie Tangente an die elastische Linie im Punkt A Bild. Durchbiegung eines belasteten Balkens Bild. zeigt die Durchbiegung eines belasteten Balkens. Hierbei sind v(x) die Durchbiegung an der Stelle x und ϕ(x) der Biegewinkel an der gleichen Stelle.

7 Biegung Technische Mechanik r dα φ dx ds B dv φ + dφ Bild. Differenzielles Element dx an der Balkenachse Betrachtet man ein differenzielles Element der Balkenachse dx genauer (vgl. Bild.), so liefert dies: ds = r dα und nach dem Lehrsatz der Geometrie: Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind gleich groß, dα = ϕ (ϕ + dϕ ) = dϕ. Daraus folgt: K d = = ϕ. (.3) r ds Für die meisten praktischen Anwendungsfälle ist der Biegewinkel sehr klein, so dass generell ϕ(x)<< vorausgesetzt werden kann. Mit dieser Voraussetzung kann näherungsweise ds dx gesetzt werden und für kleine Winkel ϕ(x) gilt ebenfalls mit guter Näherung: ϕ ( x) ϕ( x) ( ) dv x tan = = v'. dx Unter den beschriebenen Voraussetzungen folgt aus Gleichung (.3): dϕ dϕ d v = = = v''. (.4) r ds dx dx Durch Einsetzen der Gleichung (.3) in die Gleichung (.) ergibt sich die Differenzialgleichung zweiter Ordnung der Biegelinie: yy ( ) ( ) ( ) E I x v'' x = M x. (.5) by Unter Beachtung der Definition der positiven Richtung des Biegemomentes M b (vgl. Bilder.3 und.4) ergibt sich für ein positives Biegemoment eine negative Durchbiegung (entgegengesetzt zu z gerichtet) und für ein negatives Biegemoment eine positive, in z-richtung wirkende Durchbiegung.

8 Technische Mechanik Biegung Mit den aus der Statik bekannten differenziellen Beziehungen z Q dm b dq d Mb = und q = = dx dx dx ergibt sich die Differenzialgleichung vierter Ordnung der Biegelinie: d ( EI v'' ( x) ) = q( x) (.6) dx oder für eine konstante Biegesteifigkeit EI: EI v'''' x = q x, (.7) ( ) ( ) auf deren Lösung in diesem Studienbrief jedoch nicht weiter eingegangen wird (siehe z. B. GÖLDNER / HOLZWEIßIG, 996, und BERGER, 994)... Lösung der Differenzialgleichung für statisch bestimmte Systeme Zur Lösung der DGL wird mit Hilfe der Methoden der Statik ebener Systeme abschnittsweise das Biegemoment ermittelt und in die Gleichung (.5) eingesetzt. Durch zweimalige Integration wird die Differenzialgleichung gelöst. Die Integration erfolgt abschnittsweise. Es gilt die gleiche Einteilung der Abschnitte (Bereiche) wie bei der Ermittlung der (ebenen) Schnittgrößen. Mit der Integration ergeben sich bei n Bereichen n Integrationskonstanten. Diese werden mit Hilfe von Rand- und Übergangsbedingungen an den Bereichsgrenzen ermittelt. Beispiele für wichtige Rand- und Übergangsbedingungen sind in den Bildern.3 und.4 zusammengestellt: (feste) Einspannung. v(x = ) = v(x = ). v (x = ) = v (x = ) Festlager Loslager x oder v(x = ) = x z, v z, v Bild.3 Beispiele für Randbedingungen 3

9 Biegung Technische Mechanik Bereichsgrenze ohne Lagerung x x. v (x =, ) = v (x = ). v (x =, ) = v (x = ) z, v z, v, Bereichsgrenze mit Fest- oder Loslager oder x x. v (x =, ) =. v (x = ) = 3. v (x =, ) = v (x = ) z, v z, v, Bild.4 Beispiele für Übergangsbedingungen..3 Anwendungsbeispiel Aufgabenstellung: Für den in Bild.5 skizzierten Träger sind die Biegelinie und die Durchbiegung in der Mitte des Abschnittes a gesucht! EI EI q A B x x z, v z, v a b Geg.: a =,8 m; b =. m; q = N/mm EI = EI = 3 Nmm Bild.5 Durch Linienlast belasteter Träger 4

10 Technische Mechanik Biegung Lösung: Aus Gleichgewichtsbetrachtungen lassen sich die Lagerkräfte wie folgt ermitteln (Die Pfeile in Klammern geben hierbei die positive Richtung der Lagerkräfte an.): F Ah = F Av ( ) = 3.6 N F B ( ) = 8.4 N. q F Av M b F Av M b x x z, v a z, v Bild.6 Schnittskizzen zur Aufgabe (siehe auch Bild.5) Entsprechend den Schnittskizzen in Bild.6 ergibt sich für die Biegemomente: qx Mb = FAv x Mb = FAv ( a+ x ). Damit ergeben sich folgende Differenzialgleichungen: Für den Bereich : EIv '' = FAVx qx und für den Bereich : EIv '' = FAv( a + x ) +. Beide Gleichungen werden nun zweimal integriert. Bereich : EI v = F x + c Av sowie Bereich : EI v F x c x c 6 3 = Av + + EI v = F ( a + x ) + qx + c 6 3 Av EIv = FAv( a + x) + qx + c3x + c

11 Biegung Technische Mechanik Zur Ermittlung der vier Integrationskonstanten c bis c 4 werden vier Rand- bzw. Übergangsbedingungen benötigt:. v (x = ) =. v (x = a) = v (x = ) 3. v (x = a) = v (x = ) 4. v (x = b) = Ermittlung der Integrationskonstanten Aus der ersten Randbedingung ergibt sich sofort: c =. Die Bedingungen. bis 4. führen auf das folgende Gleichungssystem: 3 3 FAva + ca = FAv a + c4 EI 6 EI 6 FAva + c = FAv a + c3 EI EI (I) (II) 3 4 = F ( ) 6 Av a+ b + qb + c 4 3b+ c4. (III) Unter Berücksichtigung, dass EI = EI ergeben sich aus (I) und (II): c a = c 4 und c = c 3. Setzt man dies in Gleichung (III) ein, so erhält man eine Gleichung für c : 3 4 = F ( a+ b) + qb + cb+ ca 6 4 Av. Die Lösung lautet dann: 3 4 FAv( a+ b) qb c 6 4 =. a + b Mit den gegebenen Zahlenwerten lauten die Konstanten: c =.968 Nm c 3 =.986 Nm c 4 =.574,4 Nm 3 Damit lassen sich die Gleichungen der Biegelinien wie folgt formulieren: 3 v = FAvx Nm x EI v = FAv( a + x) + qx Nm x +.574,4 Nm EI 6 4 Mir Hilfe dieser Gleichungen lässt sich die Durchbiegung an jeder Stelle des Trägers berechnen. 6

12 Technische Mechanik Biegung Die gesuchte Durchbiegung in der Mitte des Bereiches a ist damit: v (x =,4m) =,4 m = 4 mm. Zum Üben weiterer Aufgaben sei hier auf RITTINGHAUS / MOTZ (997) und HAHN (99) verwiesen. Für viele Standardbeispiele gibt es in der Literatur fertige Lösungen für die Biegelinie, so dass darauf zurückgegriffen werden kann. Übersichten von fertigen Lösungen befinden sich zum Beispiel in KUNOW (996) sowie in WINKLER / AURICH (6) und WALTHER (99). 7