4. Balken. Brücken Tragflügel KFZ-Karosserie: A-Säule, B-Säule Rahmen: Fahrrad, Motorrad. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.
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- Bella Schmid
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1 4. Balken Balken sind eindimensionale Idealisierungen für Bauteile, die Längskräfte, Querkräfte und Momente übertragen können. Die Querschnittsabmessungen sind klein gegenüber der Länge. Beispiele: Brücken Tragflügel KFZ-Karosserie: -Säule, B-Säule Rahmen: Fahrrad, Motorrad Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-1
2 4. Balken Koordinatensystem: Die -chse zeigt in Richtung der Balkenachse. Die z-chse zeigt nach unten. h L, b L L y h z b Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-2
3 4. Balken 4.1 Schnittlasten 4.2 Spannungen 4.3 Flächenträgheitsmomente 4.4 Biegelinie Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-3
4 4.1 Schnittlasten Lagerreaktionen: Lagerreaktionen sind äußere Lasten, die im Gleichgewicht mit den eingeprägten Lasten sind. Sie können aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Beispiel: Kragbalken F 1 F 2 z L 1 L α Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-4
5 4.1 Schnittlasten F 1 F 2 z z M L 1 F =0: F 1 cos =0 =F 1 cos F z =0 : z F 1 sin F 2 =0 z =F 1 sin F 2 L M =0 : M L 1 F 1 sin L F 2 =0 M =L 1 F 1 sin L F 2 α Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-5
6 4.1 Schnittlasten Schnittlasten: Schnittlasten sind innere Kräfte und Momente, die die innere Beanspruchung des Balkens beschreiben. Sie werden durch Schnitte senkrecht zur Balkenachse freigelegt. z M b Q N N Q M b Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-6
7 4.1 Schnittlasten Bezeichnungen: Normalkraft N: Kraft in Richtung der Balkenachse, Zug/Druck Querkraft Q: Kraft senkrecht zu N, Schub Biegemoment M b : Moment um y-chse Schnittlasten hängen von der Koordinate ab, an der der Balken geschnitten wird: N(), Q(), M b () Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-7
8 4.1 Schnittlasten Vereinbarungen: Positives Schnittufer: Negatives Schnittufer: links vom Schnitt rechts vom Schnitt -chse zeigt aus Schnittfläche heraus -chse zeigt in Schnittfläche hinein Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-8
9 4.1 Schnittlasten z M b Q N N Q M b positives Schnittufer negatives Schnittufer Positive Schnittlasten zeigen am positiven Schnittufer in positive Koordinatenrichtungen. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.4-9
10 4.1 Schnittlasten Ermittlung der Schnittlasten: Bei der Ermittlung innerer Lasten kommt es auf den ngriffspunkt der äußeren Lasten an. Längskräfte dürfen nicht entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Momente müssen am tatsächlichen ngriffspunkt angesetzt werden. M M F F Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
11 4.1 Schnittlasten Die Schnittlasten können aus den Gleichgewichtsbedingungen des linken oder rechten Teilbalkens ermittelt werden. z Linker Teilbalken Rechter Teilbalken Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
12 Linker Teilbalken: 4.1 Schnittlasten M b N z Q N F =0 Q F z =0 M b M=0 N = F Q = F z M b = M Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
13 Rechter Teilbalken: 4.1 Schnittlasten M b z N Q N F =0 Q F z =0 M b M =0 N = F Q = F z M b = M Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
14 4.1 Schnittlasten Vorzeichen der äußeren Lasten: Kräfte sind positiv in Richtung positiver Koordinatenrichtung. M F Momente sind positiv im Gegenuhrzeigersinn. z F z Äußere Lasten F, F z, M Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
15 4.1 Schnittlasten Beispiel: Kragbalken F 1 F 2 M α z z L 1 L Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
16 4.1 Schnittlasten Gegeben: Kräfte F 1 = 5kN, α = 60, F 2 = 10kN bmessungen L 1 = 2m, L = 3m Gesucht: Verlauf von Normalkraft, Querkraft und Biegemoment Lagerreaktionen: =F 1 cos =2,5 kn z =F 1 sin F 2 =14,33 kn M =L 1 F 1 sin L F 2 =38,66 knm Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
17 4.1 Schnittlasten Normalkraft: Bereich 1: 0 L 1 : Linker Teilbalken: N = = 2500 N (Druck) Rechter Teilbalken: N = F 1 cos = 2500 N Bereich 2: L 1 L: Linker Teilbalken: Rechter Teilbalken: N = F 1 cos =0 N N =0 N Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
18 4.1 Schnittlasten Querkraft: Bereich 1: 0 L 1 : Linker Teilbalken: Rechter Teilbalken: Q = z =14,33 kn Q =F 1 sin F 2 =14,33 kn Bereich 2: L 1 L: Linker Teilbalken: Rechter Teilbalken: Q = z F 1 sin =10 kn Q =F 2 =10kN Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
19 4.1 Schnittlasten Biegemoment: Bereich 1: 0 L 1 : Linker Teilbalken: M b = M z = 38,66 knm 14,33 kn M b =0 = 38,66 knm M b =L 1 = 10 knm Rechter Teilbalken: M b = L 1 F 1 sin L F 2 = L 1 F 1 sin L F 2 F 1 sin F 2 = 38,66 knm 14,33 kn Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
20 Bereich 2: L 1 L: 4.1 Schnittlasten Linker Teilbalken: M b = M z L 1 F 1 sin = M L 1 F 1 sin z F 1 sin = 30 knm 10 kn M b =L 1 = 10 knm M b L =0 knm Rechter Teilbalken: M b = L F 2 = L F 2 F 2 = 30 knm 10 kn Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
21 4.1 Schnittlasten Normalkraft: 2,5kN 38,66kNm 5kN 10kN 14,33kN N -2,5kN Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
22 4.1 Schnittlasten Querkraft und Biegemoment: 2,5kN 38,66kNm 5kN 10kN 14,33kN Q 14,33kN 10kN M b -10kNm -38,66kNm Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
23 4.1 Schnittlasten Zusammenhang zwischen Querkraft und Biegemoment: M Q Q M + ΔM M =0 : M M M Q =0 M =Q 0: z +Δ dm d =Q Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
24 4.2 Spannungen Normalkraft, Querkraft und Biegemoment sind Resultierende der am Querschnitt wirkenden Spannungen. Normalspannungen erzeugen eine resultierende Normalkraft und ein resultierendes Biegemoment. Schubspannungen erzeugen eine resultierende Querkraft. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
25 4.2.1 Normalspannung Die Normalspannung muss folgende Bedingungen erfüllen: Normalkraft: N = z d Biegemoment: M by = z z d z σ(z) Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
26 4.2.1 Normalspannung nsatz für die Normalspannung: Die Normalspannung muss zwei Bedingungen erfüllen. Daher wird ein nsatz mit zwei freien Parametern gewählt. Der einfachste nsatz ist ein linearer nsatz: Dieser nsatz führt auf die beiden Gleichungen: N = a M by = a z =a b z d b z d b z d z 2 d Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
27 4.2.1 Normalspannung Integrale: Fläche: Statisches Moment: Flächenträgheitsmoment: Wird der Ursprung des Koordinatensystems in den Flächenschwerpunkt gelegt, so gilt: S y =0 Dann folgt: = S y = I y = a= N, b= M by I y d z d z 2 d Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
28 4.2.1 Normalspannung Ergebnis:, z = N M by I y z Reine Biegung: Bei reiner Biegung ist die Normalkraft Null. Dann gilt für die Normalspannung:, z = M by I y z Die durch den Flächenschwerpunkt verlaufende y-chse wird daher als Nulllinie des Querschnitts bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
29 4.2.1 Normalspannung Die Verbindungslinie der Flächenschwerpunkte wird als neutrale Faser bezeichnet. Die größte Normalspannung in einem Querschnitt tritt in dem Punkt mit dem größten bstand z ma ein: ma = M by I y z ma= M by W y S Dabei ist W y = I y z ma das Widerstandsmoment des Querschnitts. y z z ma Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
30 4.2.1 Normalspannung Moment um die z-chse: Die Spannung z = M by z I y führt in der Regel auch zu einem Moment um die z-chse. Dieses Moment berechnet sich zu y d σd M bz = y y, z d= M by I y y z d z Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
31 4.2.1 Normalspannung Das Flächenträgheitsmoment I yz = y z d wird als Deviationsmoment bezeichnet. Für Querschnitte, deren Deviationsmoment Null ist, resultiert eine nur linear von z abhängige Normalspannungsverteilung zu einem Biegemoment um die y- chse. Das Deviationsmoment ist Null bei allen Querschnitten, die zur z-chse symmetrisch sind. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
32 4.2.2 Schubspannung Schubspannung: Die Resultierende der Schubspannung ist die Querkraft: Q= z d z τ z Die Schubspannung muss am oberen und unteren Ende des Querschnitts verschwinden. τ z Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
33 Definition: Die Integrale 4.3 Flächenträgheitsmomente I y = z 2 d, I z = y 2 d, I yz = y z d werden als Flächenträgheitsmomente oder Flächenmomente zweiter Ordnung bezeichnet. Sie hängen von der Geometrie des Querschnitts und vom gewählten Koordinatensystem ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
34 4.3 Flächenträgheitsmomente Beispiel: Rechteckquerschnitt d=b dz b I y = =b[ z3 z 2 d= h/ 2 3 ] h/2 h/2 h/ 2 z 2 b dz =b h3 24 h3 24 = 1 12 b h3 y d dz h z Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
35 4.3 Flächenträgheitsmomente Zusammengesetzte Querschnitte: I y = z 2 d= 1 = I yi z 2 d 2 z 2 d S 3 3 Für elementare Flächen sind die Flächenträgheitsmomente tabelliert. Die tabellierten Werte beziehen sich auf chsen durch die Schwerpunkte der einzelnen Flächen. y S 2 S 1 S z 2 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
36 4.3 Flächenträgheitsmomente Parallelverschiebung des Koordinatensystems: y=y y S, z=z z S I y = = = z 2 d= Z z S 2 d Z 2 2 Z z S z 2 S d Z 2 d 2 z S =I Y z S 2 Z ds z S 2 d y Y y S Z S z B z S Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
37 4.3 Flächenträgheitsmomente Entsprechend folgt: I z = I yz = y 2 d= y z d= Y y S 2 d=i Z y S 2 Ergebnis: (Satz von Steiner) Y y S Z z S d=i YZ y S z S I y = I Y z S 2 I z = I Z y 2 S I yz = I YZ y S z S Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
38 4.3 Flächenträgheitsmomente Beispiel: Doppel-T-Träger b t y S d h t z Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
39 4.3 Flächenträgheitsmomente Oberer Gurt: 1 =b t y S1 =0, z S1 = h 2 t 2 I Y1 = 1 12 b t 3, I Z1 = 1 12 b3 t = y 2 S1 1 =0, z 2 S1 h 1 2 t 2 b t 2 I y1 = b t 3 I z1 = b3 t h2 4 h t 2 t2 4 b t= h2 b t 4 h b t2 2 b t 3 3 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
40 4.3 Flächenträgheitsmomente Steg: 2 =h d, y S2 =0, z S2 =0 Unterer Gurt: I Y2 = d h3 12 =I y2, I Z2 = d 3 h 12 =I z2 3 = 1 =b t, = y S3 =0, z h S3 2 t 2 I y3 =I y1 = h2 b t 4 h b t 2 2 b t 3 3 I z3 =I z1 = b3 t 12 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
41 4.3 Flächenträgheitsmomente Gesamt: I y =I y1 I y2 I y3 = h2 b t 12 h b t 2 8 b t 3 d h 3 I z = b3 t d 3 h Vereinfachung für dünnwandigen Querschnitt: I y = h2 b t 2 d h3 12 d,t b,h I z = b3 t 6 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
42 4.3 Flächenträgheitsmomente Drehung des Koordinatensystems: Koordinaten von Punkt P: y=r cos, z=r sin =R cos, =R sin Mit = folgt: =R cos cos sin sin = y cos z sin y η η P y φ β α R z z ζ ζ =R sin cos cos sin =z cos y sin Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
43 4.3 Flächenträgheitsmomente Damit berechnen sich die Produkte der Koordinaten zu 2 = y cos z sin 2 = y 2 cos 2 2 y z sin cos z 2 sin 2 2 = z cos y sin 2 =z 2 cos 2 2 y z sin cos y 2 sin 2 = y cos z sin z cos y sin = z 2 y 2 sin cos cos 2 sin 2 y z Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
44 4.3 Flächenträgheitsmomente Mit den trigonometrischen Beziehungen 2sin cos =sin 2, cos 2 sin 2 =cos 2 sin 2 = cos 2, cos2 = 1 1 cos 2 2 folgt nach Integration über die Fläche: I = 1 2 I y I z 1 2 I y I z cos 2 I yz sin 2 I = 1 2 I y I z 1 2 I y I z cos 2 I yz sin 2 I = 1 2 I y I z sin 2 I yz cos 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
45 Hauptrichtungen: 4.3 Flächenträgheitsmomente Die Transformationsformeln für die Flächenträgheitsmomente haben die gleiche Form wie die Transformationsformeln für die Spannungen. Daher gibt es zwei senkrecht aufeinander stehende Richtungen, für die das Deviationsmoment verschwindet. Diese Richtungen heißen Hauptachsen. Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
46 4.3 Flächenträgheitsmomente Wie bei den Spannungen folgt: I 1/2 = 1 2 I y I z ± I y I z I yz, tan 2 H = 2 I yz I y I z Die Hauptträgheitsmomente werden so nummeriert, dass I 1 > I 2 gilt. Eine Normalspannung, die linear vom bstand von einer Hauptachse abhängt, führt zu einem resultierenden Biegemoment um diese Hauptachse. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
47 4.3 Flächenträgheitsmomente Mohrscher Trägheitskreis: I yz I yz P I z I 2 M 2φ 1 I 1 I y I y, I z Q ½(I 1 + I 2 ) ½(I 1 - I 2 ) Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
48 4.3 Flächenträgheitsmomente Beispiel: a y t a a t << a a z Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
49 4.3 Flächenträgheitsmomente Profil 1 Profil 2 Profil 3 Summe ta 2 ta ta 4ta y S a /2 0 a/2 z S a 0 a 3 I Y 0 2 a 3 t /3 0 2 a 3 t /3 I Z a 3 t /12 0 a 3 t /12 a 3 t /6 y 2 y S 2 a 3 t / 4 0 a 3 t / 4 a 3 t /2 z S 2 a 3 t 0 a 3 t 2 a 3 t y S z S a 3 t /2 0 a 3 t /2 a 3 t 1 z I y a 3 t 2 a 3 t /3 a 3 t 8 a 3 t /3 I z a 3 t /3 0 a 3 t /3 2 a 3 t /3 I yz a 3 t /2 0 a 3 t /2 a 3 t I y = 8 3 a3 t, I z = 2 3 a3 t I yz = a 3 t Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
50 4.3 Flächenträgheitsmomente I yz Mohrscher Trägheitskreis: Q tan 2 1 = 2 8/3 2/3 = =315 1 =157,5 I z 2φ 1 I 2 I 1 I y I y, I z I y I z 2 = 5 3 a3 t, I y I z 2 =a 3 t I yz P I y I z 2 2 I 2 yz = 2a 3 t I 1 =3,081a 3 t, I 2 =0,2525 a 3 t Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
51 4.4 Biegelinie ufgabenstellung: Gesucht wird die Verschiebung w() in z-richtung des Balkens, die sich unter reiner Biegung einstellt. Voraussetzungen: Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass das Deviationsmoment I yz verschwindet. Dann resultiert die Normalspannung z = M by z I y nur in einem Biegemoment M by = M b. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
52 4.4 Biegelinie nnahmen: Die vertikale Verschiebung w() hängt nicht von z ab, d.h. alle Punkte eines Querschnitts erfahren die gleiche vertikale Verschiebung. (Was wird dabei vernachlässigt?) Die Querschnitte bleiben eben, erfahren aber eine Drehung um den kleinen Winkel ψ(). ψ w z Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
53 4.4 Biegelinie Verschiebungen: w, z =w u, z =z sin z P z w ψ z u P' Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
54 4.4 Biegelinie Dehnungen: us den Verschiebungs-Dehnungs-Beziehungen folgt: = u =z d d, z= u z w dw = d Spannungen: us dem Elastizitätsgesetz folgt: =E =E z d d, dw z=g z =G d Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
55 4.4 Biegelinie Die Normalspannung σ hängt linear von z ab. Das stimmt mit dem angenommenen Verlauf der Normalspannung überein. Die Schubspannung τ z ist über den Querschnitt konstant. Das ist im Widerspruch zu der Forderung, dass die Schubspannung am oberen und unteren Ende des Balkens verschwinden muss. Der Widerspruch ist eine Folge der für die Verschiebung getroffenen nnahmen. Es lässt sich zeigen, dass für lange schlanke Balken die Schubspannung klein gegenüber der Normalspannung ist. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
56 4.4 Biegelinie Schnittlasten: Biegemoment: M b = z d=e d d z 2 d=ei y d d Querkraft: Q= z d= G dw d Der Korrekturfaktor κ berücksichtigt den tatsächlich nicht konstanten Verlauf der Schubspannung. Er hängt von der Geometrie des Querschnitts ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
57 4.4 Biegelinie Schubstarre Balken: Bei langen schlanken Balken ist die Verformung infolge der Schubspannung klein gegenüber der Verformung infolge der Normalspannung. Die Gleichungen lassen sich daher vereinfachen, indem der Grenzwert für κg betrachtet wird. Damit die Querkraft endlich bleibt, muss dann gelten: dw d =0 = dw d Die Querschnitte stehen senkrecht auf der deformierten Balkenachse (Bernoullische nnahme). Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
58 4.4 Biegelinie Differentialgleichung der Biegelinie: Mit = dw d gilt folgender Zusammenhang zwischen Biegemoment und vertikaler Verschiebung des Balkens: M b = EI y d 2 w d 2 us dieser Gleichung kann die Biegelinie w() durch zweimalige Integration bestimmt werden. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
59 4.4 Biegelinie Randbedingungen: Loslager und Festlager: Biegemoment M b und Verschiebung w müssen verschwinden. M b =0, w=0 Feste Einspannung: Verschiebung w und Biegewinkel ψ müssen verschwinden. w=0, = dw d =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
60 4.4 Biegelinie Beispiel: Kragbalken EI y F z L B Gegeben: Kraft F, Länge L, Balkensteifigkeit EI y Gesucht: Biegelinie w(), Durchbiegung w B im Punkt B Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
61 4.4 Biegelinie Lagerreaktionen: M F z L B z F z =0 : z F =0 z =F M =0 : M L F =0 M =L F Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
62 4.4 Biegelinie Biegemoment: Biegewinkel: Biegelinie: M b = F L EI y = 0 L w = 0 M b d = F L d = F [ L 2 = F EI y [ 2 ] =0 d = F EI y L ] =0 0 == F L 2 2 L 2 L 0 2 d L = = F EI y 6 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
63 4.4 Biegelinie Durchbiegung im Punkt B: w B =w L = F EI y L3 2 L3 6 = F L3 3 EI y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
64 4.4 Biegelinie Beispiel: Gelenkig gelagerter Balken L/2 F L/2 B EI y Gegeben: z Kraft F, Länge L, Balkensteifigkeit EI y Gesucht: Biegelinie w(), Durchbiegung in der Mitte des Balkens Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
65 4.4 Biegelinie Lagerkräfte: L/2 F L/2 z z EI y B z B M =0 : L B z L 2 F=0 B z= 1 2 F M B =0 : L z L 2 F =0 z= 1 2 F Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
66 4.4 Biegelinie Biegemoment: Bereich 1: 0 L/2: M b = F 2 = F 2 Bereich 2: L/2 L: M b = L F 2 Biegewinkel: Bereich 1: 0 L/2: EI y 0 = 0 d d d = M b d 0 = 0 F d = 0 2 EI y 0 F 2 EI y [ == 2 0 F 2 2 ] =0 4 EI y L F 2 EI y 0 d Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
67 4.4 Biegelinie L 2 = 0 F L2 16 EI y Bereich 2: L/2 L: EI y L/2 d d d = L/2 = 0 F L2 16 EI y F 2 EI y [ M b d L 2 = = 0 F L2 F 16 EI y 2 EI y 2 L = 0 F L2 8 EI y = L 2 2 ] =L/2 L L 1 2 L2 2 L2 F L L d 2 EI y L/2 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
68 4.4 Biegelinie Biegelinie: Bereich 1: 0 L/2: w = 0 d = F EI d = 0 F [ y 4 EI y = 0 F 3 12 EI y = 3 3 ] =0 w L 2 = 0 L 2 F L3 96 EI y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
69 4.4 Biegelinie Bereich 2: L/2 L: w =w L 2 L/2 L w = 0 2 F L EI L y 2 F L2 8 EI y L/2 = 0 F L3 96 EI y F L2 8 EI y [ = 0 F L2 96 EI y F L3 8 EI y F L3 = EI y d L L 1 d 2 3 = L L ] =L/ L L 2 L L 4 L L L L 4 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
70 4.4 Biegelinie Randbedingung am rechten Rand: w L = 0 L 0 = F L2 16 EI y F L3 192 EI y = 0 L F L3 16 EI y =0 Biegelinie: F L w ={ EI 3 y L 4 für 0 L L 2 F L 3 48 EI 4 3 y L L L 1 für L 2 L Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
71 4.4 Biegelinie Durchbiegung in Balkenmitte: w L 2 = F L2 16 EI y L 2 F L3 96 EI y = F L3 48 EI y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
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