Aufgaben zur Festigkeit

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1 Aufgaben zur estigkeit : Maimale Länge eines Drahtes l Wie lang darf ein Stahldraht mit R m =40 N/mm maimal sein, damit er nicht abreißt? Dichte von Stahl ρ=7850 kg/m 3 Lösung: = G A R m G = A l g l= G A g Ergebnis Zahlenwerte eingesetzt ergibt: l = 5454 m G =R m A : Zugspannung in Drähten Eine Masse m hängt an zwei gleich langen Drähten mit gleichen Querschnitten. Draht ist aus Kupfer (E = N/mm ) und Draht aus Stahl (E = 0.000N/mm ) a) Welche Zugkraft hat jeder Draht zu übertragen? b) Wie verhalten sich die Spannungen σ / σ =? m =00 kg Lösung: es gilt: m g= + (Kräftegleichgewicht für die Vertikalkomponente) aus geometrischen gründen gilt: l = l d.h. l = l mit l = l und A = A ergibt sich für die Kräfte: E A E A = m g ; = m g (E / E ) Ergebnisse: Teil a) = m g E E E = 366 N; = 65 N Lsg_Afg_est.odt Seite von 4 WS 0/0

2 Teil b) = A A = =,68 3: Passform bei Wärmeausdehnung in Alu und Stahl Ein Wälzlager aus Stahl mit Außendurchmesser D = 50 mm wird in ein Alu-Gehäuse mit Bohrung D = 50 mm eingebaut. Wie verhalten sich Bohrung und Wälzlager bei einer Temperaturerhöhung um 00 K? Wärmeausdehnungskoeffizienten: α St = 0-6 K -, α Al = K -. Lösung: Ergebnis: Der Durchmesser des Stahls dehnt sich aus um: D st = mm = 0,8 mm Der Durchmesser der Alu-Bohrung dehnt sich : D Al = mm = 0,36 mm Das Alu dehnt sich stärker aus als der Stahl, es entsteht ein Spiel von 0,8 mm 4: Ausdehnung und Kräfte in einem Oberleitungsfahrdraht Ein Oberleitungsfahrdraht von km Länge ist an einem Ende fest verankert, am anderen Ende durch ein Gewicht über eine Rolle gespannt. Bei der Montage beträgt die Temperatur T = 5 C. ür den all einer Außentemperatur von T = -0 C ist folgendes zu ermitteln: a) Um welchen Betrag verkürzt sich der Draht? b) Wie groß wird die Zugspannung im ahrdraht durch die Abkühlung, wenn das Gewicht verklemmt ist und so die Verankerungen starr sind? c) Welche zusätzliche Zugkraft tritt hierdurch auf? Daten des Drahtes: A = 00 mm², α T = K -, E = N/mm² Ergebnisse: Zu a) T = T mit T = K; l=l 0 T = = - 0,595 m Zu b) ; = E T σ= Nmm - σ = 74,375 Nmm - Zu c) = σ A = 74,375*00 N = 7437,5 N Lsg_Afg_est.odt Seite von 4 WS 0/0

3 5: Dimensionierung verschiedener Biegeträger bei vorgegebenem Biegemoment Ein Biegeträger ist mit einem maimalen Biegemoment M B = 400 Nm belastet. Die zulässige Biegespanung beträgt σ zul = 00 N/mm². Welche Abmessungen sind vorzusehen, wenn der Träger... a) einen runden b) einen rechteckigen (h/b = ) c) einen rohrförmigen (d i = 0,9 d a)... Querschnitt hat? Lösung: = M W zul mit dem Widerstandsmoment W= I Z und I Z = A ma und ma der Koordinate der maimalen Spannung. da dem lächenmoment a) runder Querschnitt: W= 3 d3 = M d= 3 3 M B zul d = 7,3 mm 3 b) rechteckiger Querschnitt: h/b = W= b b = M B 6 b= 3 M B zul zul b = 8,7 mm h = 36,34 mm oder W= h 0,5 h = M B 6 h= M B zul zul h = 8,84 mm b = 4,4 mm c) rohrförmiger Querschnitt; d i = 0,9 d a I Kr = 64 d 4 a d i 4 = 64 d 4 a 0,3439 W= 0,3439 d 3 3 a = M B d a = 3 3 M B zul 0,3439 zul d a = 38,98 mm; d i = 35,08 mm Lsg_Afg_est.odt Seite 3 von 4 WS 0/0

4 6: lächenmoment. Ordnung und Widerstandsmoment zusammengesetzter lächen Berechnen Sie die lächenmomente und Widerstandsmomente der beiden Querschnitte bezogen auf die Schwerpunktachsen und y. (Maße in mm) a) 50 y b) y S Lösung: Sätze zur Berechnung der lächenmomente und Widerstandsmomente: da aiales lächenmoment. Ordnung; aus dem aialen lächenmoment. I = A y da ; I y = A Ordnung zur Schwerpunktachse kann das aiale lächenmoment zu einer um den Abstand a bzw. a y verschobene bzw. y Achse berechnet werden zu: I = I s + a y A; I y = I s + a A; Steinerscher Satz: Das aiale lächenmoment eines Rechtecks durch den Schwerpunkt beträgt: h S y I = b h3 ; I y= h b3 W = I ; Rechteck = b h y ma 6 Widerstandsmomente b W y = I y = Rechteck = h b ma 6 Die aialen Trägheitsmomente eines Körpers können durch die Summe der aialen Trägheitsmomente der Teilkörper bestimmt werden: Teil a): der Träger ist punktsymmetrisch zum Schwerpunkt. Aiales lächenmoment. Ordnung: I = I _oben_unten + I _mitte = / (45) / = 43666,67 mm 4 I = 43, cm 4 Das Widerstandsmoment W X berechnet sich aus I X und dem ma Abstand y vom Schwerpunkt der Schiene: y ma = 5 cm W = 43, / 5 cm 3 = 86,44 cm 3 I y : I y = I y_oben_unten + I y_mitte = / / = 66806,67 mm 4 = 66,8 cm 4 W y = 33,4 cm 3 Ergebnis Teil a): I = 43, cm 4 ; W = 86,44 cm 3 ; I y= 66,7 cm 4 ; W y = 33,4 cm 3 Lsg_Afg_est.odt Seite 4 von 4 WS 0/0

5 Teil b) Berechnung der Schwerpunktkoordinaten des Trägers: Aus Symmetrie: S = 0 (auf der y-achse) Ursprung des Koordinatensystems sei die Unterkante des U-Trägers:, dann gilt: läche einer Seite: seite = 9 cm = 9 cm ; läche des Bodens: 6 = 6 cm Gesamtfläche: A= = 4 cm y s A = 0, ,5 9 = 0; y S = 4,5 cm Der Abstand des Schwerpunktes der U-Schiene von der Unterkante beträgt 4,5 cm. I = 0 3 / + 0, / + 3,75 4 = 34,5 cm 4 W = 40,78 cm 3 I Y = 0 3 / + 0, / = 3 cm 4 W y = 3 / 3 = 44 cm 3 Ergebnis: Teil b) I = 34,5 cm 4 ; W = 40,8 cm 3 ; I y = 3 cm 4 ; W y = 44 cm 3 7: maimale Länge eines Balkens, den mittig die Kraft belastet. Ein Träger mit konstantem Querschnitt Ι 00 ist durch die Kraft = 8 kn belastet. l l / y y b h Auszug aus DIN 05 für I00 : b= 90 mm h=00 mm A= 33,4 cm G= 6, kg/m I =40 cm 4 W = 4 cm 3 I y = 7 cm 4 W y = 6,0 cm 3 a) Welche Länge l darf der Balken in aufrechter und liegender Position maimal haben, wenn die zulässige Spannung σ zul = 40 N/mm²? b) Welche Durchbiegungen ergeben sich in beiden ällen? (E = N/mm²) Lösung: a) gesucht ist die Länge l bei vorgegebener zulässiger Spannung M B W zul mit M B dem maimalen Biegemoment. Das Eigengewicht wird vernachlässigt. Ein an beiden Enden unterstützter Balken der Länge l hat ein maimales Biegemoment von: M Bma = l 4 Im Grenzfall gilt: all : zul = l 4 W 40 N mm - = 0 3 N l m / (4 4 cm 3 ) N m - = (0 3 8 l ma N m) / ( m 3 ) Lsg_Afg_est.odt Seite 5 von 4 WS 0/0

6 40 = (0 3 8 l ma N) / ( 4 4 mm ) l ma = 5,7 m l ma = 5,7 m all : N m - = (0 3 8 l ma N m) / ( N m -3 ) l ma = / ( ) = 3, m l ma = 3, m Ergebnis Teil a): l ma = 5,7 m; l ma = 3, m b) Gesucht ist die Durchbiegung: Aus der ormelsammlung ( mit dem Skript verteilt) gilt für die maimale Durchbiegung f bei einer mittigen Punktlast eines Balkens der Länge l: f= l 3 48 E I all : Daten für f ma: l = 5,7 m; = 8 kn ; E = N mm - ; I = 40 cm 4 f ma = ,7 3 Nm m 48, 0 5 N m 4 f ma = 0,63 m all : Daten für f ma : l ma =3, m; = 8 kn; I y = 7 cm 4 f ma = 8 03 N 3, 3 m m 48, 0 5 N m 4 f ma = 0,0 m Ergebnis Teil b): f ma = 0,63 m; f ma = 0,0 m Lösungsblatt zu den Aufgaben korrigieren! 8: Torsionswinkel und ma Torsionsspannung Eine Welle mit 8 mm Durchmesser überträgt auf eine Länge von 30 cm ein Drehmoment von 50 Nm (G = N/mm²). a) Wie groß ist der Torsionswinkel? b) Welche maimale Torsionsspannung tritt auf? Lösung Teil a) Zwischen dem Torsionswinkel ϕ, dem Durchmesser d der Welle dem Drehmoment M T, der Länge der Welle und dem Schubmodul gilt: = M T l G I P ; I p bestimmt sich aus: I P = 3 d 4 mit den obigen Daten folgt hieraus: I P = 40 mm 4 50 Nm 0,3 m = = 5,0 3,0 06 N mm 8,3 0 4 N mm 40 mm 4 8,3 4,0 0 6 N mm =0,45 rad φ = 5,7 0 Ergebnis Teil a) der Torsionswinkel beträgt 5,7 0 b) maimale Torsionsspannung? = M T I P r ma = 5,0 04 N mm 4 mm 40mm 4 =497 N mm Lsg_Afg_est.odt Seite 6 von 4 WS 0/0

7 Ergebnis Teil b) Die maimale Schubspannung beträgt: τ= 497 N mm - 9: Schubspannungen in den Stiften eines Regale Ein Regalbrett, das auf zwei Leisten aufliegt, ist mit einer Kraft =.50 N symmetrisch belastet. Welche Schubspannung liegt in den Nägeln vor, wenn jede Leiste mit zwei Nägeln (Durchmesser d = mm) befestigt ist? Reibung kann vernachlässigt werden. d A = A zul Auf jeder Seite werden 65 N aufgebracht und an jedem Nagel 3,5 N läche A des Nagels: π r = 3,4 mm hieraus berechnet sich die Schubspannung zu: Ergebnis: τ= 3,5 / 3,4 N mm - = 99,47 N mm - 0: Schraubzwinge, estigkeit eines Bügels Berechnen Sie den Bügelquerschnitt der Schraubzwinge auf estigkeit. Schnitt - Presskraft = 0 kn 0 80 σ zul = 0 N/mm² Maße in mm 30 Die Presskraft bewirkt am Schnitt - (Ansatzpunkt neutrale aser) eine Biegemoment von M B = 0 (0+40) = 3000 KN mm. M Die zulässige Biegespannung legt den oberen Wert fest: W zul Das Widerstandsmoment W y = b h 6 = W = 3000 mm 3 Die Spannung an den Außenkanten berechnet sich zu: σ = / 3000 [N mm mm -3 ] σ= 93,75 N mm - Zur Biegespannung kommt noch die Normalspannung hinzu. Die Normalspannung muss über die Querschnittsfläche die Kraft Presskraft ergeben: σ N = / A; = 0 KN; A= 30*80 mm σ N = 8,333 N mm - Lsg_Afg_est.odt Seite 7 von 4 WS 0/0

8 σ = σ B + σ N σ = 0,08 N mm - Ergebnis: zul ist erfüllt, d.h. die estigkeit des Bügels reicht aus. : Kurbelwelle B a l b l/ d A K An einer Kurbelwelle ist für die gezeichnete Stellung folgendes zu bestimmen: a) Welches Drehmoment gibt die Kurbelwelle an der Kupplung K ab? b) Wie groß sind die Auflagekräfte in A und B? c) Wie groß ist die Vergleichsspannung (GE-Hypothese) an der Stelle? Daten der Kurbelwelle: = 500 N, l = 300 mm, a = 00 mm, b = 80 mm, d = 0 mm, = 00 mm Ergebnisse: a) Drehmoment der Kurbelwelle an die Kupplung: M = 500 N a = 50 Nm b) Auflagekräfte an A und B: Ay = A = / = 750 N c) Vergleichsspannung an der Stelle : V = 3 Die Biegespannung. B = M W =0,5 3 d 3 σ B = 95,49 N mm - Die Torsion wird durch das Drehmoment bestimmt: M T = 50 Nm = N mm Schubspannung: = M T τ T = 95,49 N mm - Torsion; Beitrag zur Scherung/Schub: W P M W P = d3 6 N Q d.h. W P = 570 mm 3 A S = Q A Q = 0,5 = 750 N; A = π d /4 = 34,6 mm τ S =,38 N mm - Die gesamte Schubspannung ergibt sich zu : τ g = τ T + τ S = 97,87 N mm - Ergebnis: V = 95,5 3 97,9 = 94,56 N mm - Lsg_Afg_est.odt Seite 8 von 4 WS 0/0

9 : Schraubenschlüssel Ein Schraubenschlüssel aus Rund- stahl wird zum estziehen einer Radmutter benutzt. mm = 300 N a) Berechnen Sie die mechanischen Spannungen an der Stelle, dem Anschluss des Rundstahls an den Schraubkopf. 5 cm 50 cm 4 cm b) Berechnen Sie die mechanischen Spannungen an der Stelle unmittelbar links neben dem 90 Knick im Schraubenschlüssel. Die Abmessungen des Knicks sollen vernachlässigt werden. c) Wie groß muss die zulässige Spannung für den verwendeten Stahl sein? Verwenden Sie die GE-Hypothese. Lösung:. Schritt: reischneiden der Kräfte und Momente am Schraubenschlüssel: Hebel bis zur Lage : Seitenansicht: α a M B b α N Q ; ; tanα= b a mit a=5 cm und b=50 cm wird α= 6,6 0 Schnittkräfte und Momente am Punkt : Lsg_Afg_est.odt Seite 9 von 4 WS 0/0

10 Normalkraft: Zug N - sin α = 0 N = sin α; Zahlenwert: N = 34, N Querkraft cos α - Q = 0 Q = cosα ; Zahlenwert: Q = 68,3 N Biegemoment M B - b = 0 M B = b ; Zahlenwert: M B = 50 Nm Torsionsmoment M T = 0 Zahlenwert: M T = 0 Nm reischneiden der Kräfte und Momente am Punkt : Querschnittsfläche und Torsionsmoment M T c M B M T M T Polare Größen: I P, W P Querschnittsfläche und Biegemoment Q aiale Größen: I, W M B Kräfte und Momente am Punkt : Normalkraft: N = 0 Zahlenwert: N = 0 N Querkraft: Q = 0 Q = Zahlenwert: Q = 300 N Biegemoment: M B - c = 0 M B = c; Zahlenwert: M B = 300 0,04 = Nm Torsionsmoment: Das Torsionsmoment bewirkt das Biegemoment am Punkt : M T M B = 0; M T = M B; Zahlenwert: M T = 50 Nm Die Kräfte und Momente verursachen Spannungen im Schraubenschlüssel Berechnung der Kenndaten zur Bestimmung der maimalen Spannungswerte (Normalspannungen σ und Schubspannungen τ) Daten des Schraubenschlüssels aus den Angaben: Rundstahl: Querschnittsfläche: A = π/4 d² = π/4 ² mm² = 380 mm² aiales Widerstandsmoment W X = π/3 d³ = π/3 ³ mm³ = 045 mm³ polares Widerstandsmoment W P = π/6 d³ = π/6 ³ mm³ = 090 mm³ Aus den Kräften, Momenten, den Widerstandsmomenten und der Querschnittsfläche werden die Maimalwerte der Spannungen berechnet. Aufgabe a) Ergebnis Punkt Anschluss des Rundstahls an den Schraubkopf: Zug: N = 0 c Lsg_Afg_est.odt Seite 0 von 4 WS 0/0

11 Biegung: Torsion: Schub: Aufgabe b) M B = Nm; σ B = M B / W σ B =.000 / 045 N/mm² M T = 50Nm; τ T = M T / W P τ T = / 090 Nmm² Q = 300 N; τ Q = Q / A τ Q = 300 / 380 N/mm² Ergebnis σ B =,5 N/mm² τ T = 7,8 N/mm² τ Q = 0,8 N/mm² Punkt Spannungen direkt neben dem Knick, Knick ist vernachlässigt Zug: Biegung: N = 34 N; σ Z = N / A σ Z = 34 / 380 N/mm² M B = 50 Nm; σ B = M B / W σ B = / 045 N/mm² σ Z = 0,4 N/mm² σ B = 43,5 N/mm² Torsion: Schub: Aufgabe c) M T = 0; τ T = M T / W P τ T = 0 N/mm τ T = 0 N/mm Q = 68 N; τ Q = Q / A τ Q = Q / A = 68 / 380 N/mm² τ Q = 0,7 N/mm² Ergebnis Größe der zulässigen Spannung für den Stahl (GE Hypothese) Vergleichsspannungen: v = zi ib 3 it Qi ür die Punkte i = und i = Punkt : v = 0,5 3 7,7 0,8 N / mm² = 6,3 N / mm Punkt : v = 0,4 43, ,7 N / mm² = 43,9 N / mm Ergebnis: Der Schraubenschlüssel erfüllt die an ihn gestellten Anforderungen, wenn ein Rundstahl verwendet wird, dessen zulässige Normalspannung größer gleich 43,9 N/mm ist. σ zul 43,9 N/mm² 3. Aufgabe Lsg_Afg_est.odt Seite von 4 WS 0/0

12 Eine Stütze besteht aus gelenkig verbundenen Stäben. Die Stäbe haben runden Querschnitt und bestehen aus dem gleichen Werkstoff. d d l l a) Wie verformt sich die Stütze, wenn Stab zuerst knickt? b) Wie verformt sich die Stütze, w enn Stab zuerst knickt? c) Wie verhalten sich die Durchmesser (d /d ), wenn in beiden Stäben die gleiche Sicherheit gegen Ausknicken herrschen soll und l = l ist? Ergebnisse: a) d biegt sich durch: b) d bricht aus l k= l l K = l π E I c): K = und I= π d 4 / 64 l k beide Stäbe haben die gleiche Knicksicherheit S k k = also: k = k K = π E π d l 4 π = E π d (.l ) 4 hieraus folgt: d / d = l / 4 l d / d = / Ergebnis: d / d = 0,5 4. Aufgabe Ein Wärmeaustauscher besteht aus einem Innenrohr (Inde ) und einem Außenrohr (Inde ), die beide aus Stahl gefertigt sind (E = 0000 N/mm², α T = 0-6 K -, Innendurchmesser: d = 5 mm, d = 40 mm, Außendurchmesser: D = 0 mm, D = 4 mm, Länge l = 000 mm). Bei welcher Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Außenrohr besteht die Gefahr des Ausknickens für das Innenrohr? Eine Verformung der Verschlußplatten ist ausgeschlossen und die Rohre haben jeweils überall die gleiche Temperatur. Lsg_Afg_est.odt Seite von 4 WS 0/0

13 l Gefahr für das Ausknicken des Innenrohrs besteht bei: I k = 0,5 l (durch die Einspannung muss das Innenrohr am linken und rechten Ende waagerecht bleiben) Die Kraft für dieses Ausknicken wird: π E I k = 0,5 l I = π (D 4 d 4 ) / 64; I X = 5368,9 mm 4 K = 7,74 N reie Dehnung: l=l α T T Behinderte Dehnung: Die Gesamtdehnung setzt sich aus der Dehnung des Rohres und Rohres zusammen. l = l + l d.h. l = l / (E A ); l = l /(E A ) l α T = l /(E A )+ l /(E A ) T = (/(Eα)) (/A + /A ) E T = α A + A A = 0,5 π (D d ); A = 37,44 mm A = 0,5 π (D d ); A = 8,8 mm 7,74 = 0, 0 ( 37,44 T ) 8,8 K Ergebnis: T > T : T = 7,45 0 K Lsg_Afg_est.odt Seite 3 von 4 WS 0/0

14 Ergebnisse: : l = 5454 m : a) = 366 N; = 65 N; b) σ / σ =,68; 3: D st = 0,8 mm; D Al = 0,36 mm; 4: a) l = 0,595 m; b) σ = 74,375 Nmm - ; c) = 7437,5 N; 5: a) d = 7,3 mm; b) b = 8,7 mm h = 36,34 mm; h = 8,84 mm b = 4,4 mm; c) d a = 38,98 mm; d i = 35,08 mm; 6: a) I = 43, cm 4 ; W = 86,44 cm 3 ; I y= 66,7 cm 4 ; W y = 33,4 cm 3 b) I = 34,5 cm 4 ; W = 40,8 cm 3 ; I y = 3 cm 4 ; W y = 44 cm 3 7: a) l ma = 5,7 m; l ma = 3, m; b) f ma = 0,63 m; f ma = 0,0 m; 8: a) φ = 5,7 0 ; b) τ = 497 N mm - ; 9: τ= 99,47 N mm - ; 0: σ = 0,08 N mm - ; zul ; : a) M = 50 Nm; b) Ay = A = / = 750 N; c) σ V = 94,56 N mm - ; : a) σ Z = 0 N / mm ; σ B =,5 N/mm² ; τ T = 7,8 N/mm² ; τ Q = 0,8 N/mm² ; b) σ Z = 0,4 N/mm² ; σ B = 43,5 N/mm² ; τ T = 0 N/mm ; τ Q = 0,7 N/mm² ; c) Punkt : σ V 6,3 N / mm ; Punkt : σ V = 43,9 N / mm ; 3: a) d biegt sich durch (all an beiden Enden ist eine Lager) b) d biegt sich, eine Seite ist fest eingespannt, d bleibt gestreckt (liegt schief) c) d = d 4: T > T : T = 7,45 0 K Lsg_Afg_est.odt Seite 4 von 4 WS 0/0