2. Der ebene Spannungszustand
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- Katarina Hausler
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1 2. Der ebene Spannungszustand 2.1 Schubspannung 2.2 Dünnwandiger Kessel 2.3 Ebener Spannungszustand 2.4 Spannungstransformation 2.5 Hauptspannungen 2.6 Dehnungen 2.7 Elastizitätsgesetz Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-1
2 2.1 Schubspannung Betrachtet wird ein Stab, der an seinen Enden durch die Kräfte F belastet wird. Der Stab wird durch eine Ebene geschnitten, die schräg zur Stabachse verläuft. F φ F Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-2
3 2.1 Schubspannung Schnittfläche: b h=h cos h = h cos A =h b= h b cos = A cos h φ A φ h φ A ist die Fläche eines Schnitts senkrecht zur Stabachse. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-3
4 2.1 Schubspannung Schnittkräfte: Die Schnittkraft wird in eine Komponente senkrecht zur Schnittebene und eine Komponente parallel zur Schnittebene zerlegt. y F φ N φ Q F N =F cos Q=F sin x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-4
5 2.1 Schubspannung Die Komponente N senkrecht zur Schnittebene wird als Normalkraft, die Komponente Q parallel zur Schnittebene als Querkraft bezeichnet. Spannungen: Normalspannung: = N A = F A cos2 Schubspannung: = Q = F sin cos A A Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-5
6 2.1 Schubspannung Mit den trigonometrischen Beziehungen cos 2 = cos 2, sin cos = 1 2 sin 2 und 0 =F / A folgt: = cos 2, = 0 2 sin 2 Der größte Wert der Normalspannung ist σ 0 und wird für einen Schnittwinkel φ = 0 angenommen. Der größte Wert der Schubspannung ist σ 0 /2 und wird für einen Schnittwinkel φ = 45 angenommen. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-6
7 2.1 Schubspannung Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-7
8 2.1 Schubspannung Die Normalspannung wirkt einem Auseinanderreißen der Schnittebenen senkrecht zur Schnittfläche entgegen. Die Schubspannung wirkt einem Gleiten der Schnittebenen entgegen. Die Kenntnis der Schubspannung ist z.b. wichtig, wenn der Stab in der Schnittfläche geklebt ist. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-8
9 Klebeverbindung: 2.1 Schubspannung F 2F F Die Klebenähte werden auf Schub beansprucht: Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-9
10 2.2 Dünnwandiger Kessel Betrachtet wird ein zylindrischer Kessel unter Innendruck. Die Wandstärke des Kessels soll klein gegenüber seinem Radius sein: t r t r p Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
11 2.2 Dünnwandiger Kessel Spannung in Längsrichtung: Schnitt senkrecht zur Kesselachse Druckkraft: F p = r 2 p Gleichgewicht in Längsrichtung: F p 2 r t x =0 F p r σ x x x = r 2 p 2 r t =1 2 p r t σ x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
12 2.2 Dünnwandiger Kessel Spannung in radialer Richtung: Es wird ein Halbkreisrohr ausgeschnitten. Druckkraft: F p =2 r x p Gleichgewicht in vertikaler Richtung: σ φ F p 2t x =0 F p r = 2r x p 2t x = p r t σ x Δx σ x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
13 2.2 Dünnwandiger Kessel Spannungen am Flächenelement: Kesselformeln: x = p r 2t = p r t p σ φ r t σ x σ x σ φ Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
14 2.3 Ebener Spannungszustand Wird aus einer dünnwandigen Struktur ein kleines rechteckiges Flächenelement herausgeschnitten, so wirken an seinen Rändern sowohl Normal- als auch Schubspannungen. σ x y τ xy σ y τ yx τ yx τ xy σ x x σ y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
15 2.3 Ebener Spannungszustand Vorzeichenkonvention: Positive Spannungen zeigen am positiven Schnittufer in die positive Koordinatenrichtung und am negativen Schnittufer in die negative Koordinatenrichtung. Positive Normalspannungen beanspruchen das Flächenelement also auf Zug und negative auf Druck. Bezeichnung der Schubspannungen: Der erste Index gibt die Koordinatenachse an, die senkrecht auf der Schnittkante steht, und der zweite Index die Koordinatenrichtung, in der die Spannung wirkt. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
16 2.3 Ebener Spannungszustand Momentengleichgewicht: y Dicke t x σ y τ yx σ x A τ xy Δy/2 τ xy σ x Δy/2 τ yx σ y Δx/2 Δx/2 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
17 2.3 Ebener Spannungszustand Betrachtet wird ein infinitesimales Flächenelement mit Kantenlängen Δx und Δy und Wandstärke t. M A =0 : x 2 xy y t x 2 xy y t y 2 yx x t y 2 yx x t=0 xy yx =0 Ergebnis: xy = yx Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
18 Aufgabenstellung: 2.4 Spannungstransformation bekannt: gesucht: y σ y τ yx σ η τ ηξ τ ξη η σ ξ τ xy σ x τ xy τ yx σ x x σ ξ φ τ ξη y φ τ ξ ηξ σ η x σ y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
19 2.4 Spannungstransformation Bekannt seien die Spannungen σ x, σ y und τ xy in Schnitten parallel zu den Koordinatenachsen. Gesucht sind die Spannungen σ ξ, σ η und τ ξη in Schnitten, die gegenüber den Koordinatenachsen um den Winkel φ gedreht sind. Die Kenntnis dieser Spannungen ist nötig, wenn entlang dem Schnitt eine Fügenaht verläuft (Schweissnaht, Klebenaht) die Werkstoffeigenschaften richtungsabhängig sind (z.b. Holz, Faserverbundwerkstoffe) Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
20 2.4 Spannungstransformation Gleichgewicht am Dreieckselement: Δy η σ x y φ τ ξη σξξ Δη x= sin y= cos φ τ xy τ yx x Dicke t Δx σ y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
21 2.4 Spannungstransformation Gleichgewicht: F x =0 : x t y t yx t x cos t sin t =0 cos sin = x cos xy sin F y =0 : y t x xy t y sin t cos t =0 sin cos = y sin yx cos Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
22 Mit τ yx = τ xy folgt: 2.4 Spannungstransformation cos sin = x cos xy sin cos sin sin cos = y sin xy cos sin cos = x cos 2 y sin 2 2 xy sin cos = x y sin cos xy cos 2 sin 2 Wird der Winkel φ durch den Winkel φ + 90 ersetzt, so folgt: = x sin 2 y cos 2 2 xy sin cos Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
23 2.4 Spannungstransformation Trigonometrische Beziehungen: Ergebnis: 2sin cos =sin 2, cos 2 sin 2 =cos 2 sin 2 = cos 2, cos 2 = cos 2 = 1 2 x y 1 2 x y cos 2 xy sin 2 = 1 2 x y 1 2 x y cos 2 xy sin 2 = 1 2 x y sin 2 xy cos 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
24 Invarianten: 2.4 Spannungstransformation Addition der ersten beiden Transformationsgleichungen ergibt: x y = =I 1 Eine einfache Rechnung zeigt: x y xy = =I 2 Die Größen I 1 und I 2 hängen also nicht vom Koordinatensystem ab. Sie werden als Spannungsinvarianten bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
25 2.4 Spannungstransformation Hydrostatischer Zustand: Gilt σ x = σ y = σ und τ xy = 0, so gilt in jedem Koordinatensystem: = =, =0 Die Normalspannungen sind in jeder Richtung gleich, während die Schubspannung verschwindet. Dieser Spannungszustand wird als hydrostatischer Spannungszustand bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
26 2.5 Hauptspannungen Definition: Eine Schnittrichtung, für die die Schubspannung verschwindet, heißt Hauptrichtung. Die zugehörigen Normalspannungen werden als Hauptspannungen bezeichnet. Ermittlung der Hauptrichtungen: Aus τ xy = 0 folgt: 1 2 x y sin 2 H = xy cos 2 H tan 2 H = 2 xy x y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
27 2.5 Hauptspannungen Der Winkel 2φ H wird aus der Umkehrung der Tangens- Funktion ermittelt: Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
28 2.5 Hauptspannungen Zu einem gegebenen Wert des Tangens gibt es zwei Winkel zwischen 0 und 360, die denselben Wert liefern. Diese Winkel unterscheiden sich um 180. Es gibt also zwei Hauptrichtungen und 1 = 2 H 2 2 = 2 H 180 = η y φ 2 ξ die senkrecht aufeinander stehen. φ 1 x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
29 2.5 Hauptspannungen Ermittlung der Hauptspannungen: Mit den trigonometrischen Beziehungen sin 2 H = tan 2 H 1, cos 2 1 tan 2 H = 2 H 1 tan 2 2 H folgt aus den Transformationsgleichungen: 1/2 = 1 2 x y ± 1 2 x y 2 ± 2 xy xy x y 2 x xy y x y 2 = 1 2 x y ± 1 x y xy 2 x y xy Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
30 2.5 Hauptspannungen Ergebnis: 1/ 2 = 1 2 ± x x 2 y 2 y xy 2 Die Hauptspannungen werden üblicherweise so nummeriert, dass σ 1 > σ 2 gilt. Welcher der beiden Winkel zu σ 1 gehört, kann durch Einsetzen des Winkels in die Transformationsgleichungen ermittelt werden. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
31 2.5 Hauptspannungen Der Mohrsche Spannungskreis: Sind die Hauptspannungen σ 1 und σ 2 sowie der Winkel φ 1 bekannt, so lassen sich die Spannungen σ x, σ y und τ xy aus den Transformationsgleichungen ermitteln. Das Hauptachsensystem wird dabei um den Winkel -φ 1 gedreht. 2 y 1 φ 1 x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
32 2.5 Hauptspannungen Damit folgt: x = cos 2 1 y = cos 2 1 xy = sin 2 1 Diese Gleichungen lassen sich im Mohrschen Spannungskreis geometrisch darstellen. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
33 2.5 Hauptspannungen Mohrscher Spannungskreis: τ τ max τ xy P σ 2 σ y M 2φ 1 σ x σ 1 σ Q ½(σ 1 + σ 2 ) ½(σ 1 - σ 2 ) Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
34 2.5 Hauptspannungen Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises aus σ x, σ y und τ xy : Der Punkt P hat die Koordinaten ( σ x, τ xy ). Der Punkt Q hat die Koordinaten ( σ y, -τ xy ). Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Schnittpunkt der Verbindungslinie der Punkte P und Q mit der σ-achse. Nun können die Hauptspannungen und der Winkel φ 1 abgelesen werden. Achtung: Im Mohrschen Spannungskreis wird der positive Winkel im Uhrzeigersinn gemessen. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
35 2.5 Hauptspannungen Maximale Spannungen: Aus dem Mohrschen Spannungskreis kann abgelesen werden: Die 1. Hauptspannung σ 1 ist die größte Normalspannung. Die 2. Hauptspannung σ 2 ist die kleinste Normalspannung. Ihre Richtung steht senkrecht auf der Richtung der größten Normalspannung. Die größte Schubspannung τ max tritt für eine Schnittrichtung auf, die mit der ersten Hauptrichtung einen Winkel von 45 bildet. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
36 2.5 Hauptspannungen Der Wert der größten Schubspannung berechnet sich zu max = = x y xy Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
37 2.5 Hauptspannungen Beispiel: In einem Punkt eines ebenen dünnwandigen Bauteils werden die folgenden Spannungen gemessen: x = 20 MPa, y =90 MPa xy =60 MPa Gesucht: y x 90MPa -20MPa Hauptspannungen und Hauptrichtungen 60MPa Größte Schubspannung und zugehörige Schnittrichtung Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
38 2.5 Hauptspannungen Mohrscher Spannungskreis (1MPa = 5mm) τ P τ max 60 σ φ 1 90 σ 1 σ Q Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
39 Hauptspannungen: 2.5 Hauptspannungen x y 2 =35 MPa x y xy = MPa=81,39 MPa 1 =35 MPa 81,39 MPa=116,4 MPa 2 =35 MPa 81,39 MPa= 46,39 MPa Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
40 Hauptrichtungen: 2.5 Hauptspannungen Der Taschenrechner liefert dazu den Winkel -47,49. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt, dass der doppelte Winkel für die 1. Hauptspannung zwischen 90 und 180 liegt. Also gilt: tan 2 1 = = = 1, = 47, =132,5 1 =66,26 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
41 2.5 Hauptspannungen Größte Schubspannung: 2-46,39MPa 116,4MPa 1 max = = 116,4 46,39 2 =81,40 MPa MPa x Die zugehörige Schnittrichtung schließt mit der x- Achse eine Winkel von 21,26 ein. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
42 2.6 Dehnungen Verformung: Infolge der Spannungen verformt sich ein belasteter Körper. Die Verformung wird durch einen ortsabhängigen Verschiebungsvektor u(p) beschrieben. x P ' =x P u P y F x P ' =x P u x x P, y P y P ' = y P u y x P, y P P u P' x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
43 2.6 Dehnungen Verzerrung: Die Verformung eines kleinen Elementes besteht aus einer Verschiebung, einer Verdrehung und einer Verzerrung. Die Verzerrung führt zu einer Änderung der Form des Elementes: Änderung der Kantenlängen Änderung der Winkel Dehnungen: Die Verzerrung wird durch die Dehnungen beschrieben. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
44 2.6 Dehnungen Unverformt: P : Q : R : x P, y P x P x, y P x P, y P y R' y Verformt: x x P ' =x P u x x P, y P y P ' = y P u y x P, y P x Q ' =x P x u x x P x, y P y Q ' = y P u y x P x, y P x R ' =x P u x x P, y P y y R ' = y P y u y x P, y P y Δy R P P' α Δx Q β Q' Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
45 2.6 Dehnungen Taylorreihenentwicklung der Verschiebungen bis zum 1. Glied: u x x P x, y P =u x x P, y P u x x x u y x P x, y P =u y x P, y P u y x x u x x P, y P y =u x x P, y P u x y y u y x P, y P y =u y x P, y P u y y y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
46 2.6 Dehnungen Damit gilt für die Koordinaten im verformten Zustand: x Q ' =x P ' x u x x x, x R ' =x P ' u x y y, Längenänderungen: y Q '= y P ' u y x x y R '= y P ' y u y y y Länge der Strecke P'Q': P ' Q '= = x Q ' x P ' 2 y Q ' y P ' 2 1 u x x 2 u 2 y x x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
47 2.6 Dehnungen Für kleine Verformungen gilt: u y x 1 Damit folgt: P ' Q ' 1 u x x x Mit PQ= x gilt für die Dehnung: x = P ' Q ' PQ PQ = u x x Entsprechend folgt: y = P ' R ' PR PR = u y y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
48 Winkeländerung: 2.6 Dehnungen Die Änderung des Winkels QPR beträgt xy = Für kleine Winkeländerungen gilt: tan = x R ' x P ' y R ' y P ' = tan = y Q ' y P ' x Q ' x P ' = u x y y u 1 y y y u y x x 1 u x x x u x y u y x xy = u x y u y x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
49 2.6 Dehnungen Ergebnis: Bei kleinen Deformationen gilt für die Dehnungen: x = u x x y = u y y xy = u x y u y x Die Winkeländerung γ xy wird als Gleitung oder Scherung bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
50 2.6 Dehnungen Beispiel: Gegeben sind die Verschiebungen u x x, y =a x b y u y x, y =c x d y y d 1 b D D' C a + b C' c + d Die Dehnungen berechnen sich zu B' x = u x x =a, y= u y y =d xy = u x y u y x =b c A = A' B 1 a c x Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
51 2.7 Elastizitätsgesetz Das Elastizitätsgesetz stellt eine Beziehung zwischen den Spannungen und den Dehnungen her. Im Folgenden wird ein homogener isotroper Körper betrachtet. Homogen: Die Materialeigenschaften sind an jeder Stelle gleich. Isotrop: Die Materialeigenschaften sind in allen Richtungen gleich. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
52 2.7 Elastizitätsgesetz Lastfall 1: nur Normalspannung in x-richtung F F z y x Der Stab verlängert sich in x-richtung. Zusätzlich tritt eine Querkontraktion in y- und z-richtung auf. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
53 2.7 Elastizitätsgesetz Bei linear-elastischem Material gilt für die Dehnungen: x = x E, y= x, z = x Die Konstante ν heißt Querkonstraktionszahl oder Poissonzahl. Es lässt sich zeigen: Für ν = 0,5 bleibt das Volumen des Körpers konstant (z.b. bei Gummi). Der Wert der Poissonzahl kann nicht größer als 0,5 sein. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
54 2.7 Elastizitätsgesetz Typische Werte der Poissonzahl: Material Eisen Stahl Aluminium Magnesium Poissonzahl 0,21 0,26 0,27 0,30 0,33 0,35 Lastfall 2: Nur Normalspannung in y-richtung Ganz entsprechend gilt für die Dehnungen: y = y E, x= y, z = y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
55 2.7 Elastizitätsgesetz Lastfall 3: Reine Schubspannung Bei linear-elastischem Material gilt für die Scherung: xy = xy G Die Materialkonstante G heißt Schubmodul. y x τ yx Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
56 2.7 Elastizitätsgesetz Hookesches Gesetz für den ebenen Spannungszustand: Der allgemeine ebene Spannungszustand ist eine Überlagerung der drei betrachteten Lastfälle: x = 1 E x y, y = 1 E y x, xy = 1 G xy Dazu kommt die entkoppelte Gleichung für die Dehnung in z-richtung: z = E x y Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
57 2.7 Elastizitätsgesetz Es lässt sich zeigen, dass G= E 2 1 gelten muss, damit das Materialgesetz richtungsunabhängig ist. Temperaturlast: Für die Dehnungen infolge einer Temperaturänderung gilt: x = T T, y = T T Bei einem isotropen Material führt eine Temperaturänderung zu keiner Gleitung. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
58 2.7 Elastizitätsgesetz Ergebnis: Dehnungs-Spannungs- Beziehungen: x = 1 E x y T T y = 1 E y x T T xy = 1 G xy Spannungs-Dehnungs- Beziehungen: x = E 1 2 x y 1 T T y = E 1 2 y x 1 T T xy =G xy Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
59 2.7 Elastizitätsgesetz Beispiel: Eine Stahlplatte sitzt passgenau in einem Hohlraum. Sie kann an den Seiten reibungsfrei gleiten. Die Stahlplatte wird gleichmäßig um ΔT erwärmt. Gesucht: Änderung der Höhe Spannungen y b x h Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
60 2.7 Elastizitätsgesetz Aus dem Gleichgewicht in y-richtung folgt: In x-richtung kann sich die Platte nicht ausdehnen: Damit lautet die 2. Gleichung der Spannungs-Dehnungs- Beziehungen: 0= y 1 T T y = 1 T T Die Höhenänderung berechnet sich zu h h= 0 y dy=h y =h 1 T T y =0 x =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
61 2.7 Elastizitätsgesetz Aus der 1. Gleichung der Spannungs-Dehnungs-Beziehungen folgt: x = E 1 2 y 1 T T = E T T = E T T Zahlenwerte: h = 200mm, ΔT = 100K E = 2, N/mm 2, ν = 0,3, α T = 1, K -1 Δh = 0,312mm, σ x = -252N/mm 2 (Druckspannung) Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM
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