4. Verzerrungen. Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich

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1 4. Verzerrungen Wird ein Körper belastet, so ändert sich seine Geometrie. Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung. Ist die Verschiebung für benachbarte Punkte unterschiedlich, so wird der Körper verzerrt: Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

2 4. Verzerrungen Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

3 4. Verzerrungen 4.1 Verschiebung und Verzerrung 4.2 Verzerrungstransformation 4.3 Messung der Verzerrungen Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

4 4.1 Verschiebung und Verzerrung Verschiebung: Die Verschiebung der Punkte des Körpers wird durch einen ortsabhängigen Verschiebungsvektor u(p) beschrieben: x P ' =x P +u( x P, y P ) y P ' =y P +v( x P, y P ) y F x(p ' )= x(p)+u(p) P u P' x Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

5 4.1 Verschiebung und Verzerrung Verzerrung: Ein kleines Element des Körpers erfährt eine Translation, eine Rotation und eine Verzerrung. Die Verzerrung führt zu einer Änderung der Form des Elementes: Längenänderungen werden durch Dehnungen beschrieben. P Winkeländerungen werden durch Scherungen beschrieben. P' Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

6 4.1 Verschiebung und Verzerrung Zusammenhang zwischen Verschiebung und Verzerrung: Betrachtet werden drei Punkte P, Q und R auf dem Körper, die so gewählt sind, dass die Strecken PQ und PR parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sind. Δy R P R' α P' Δx y Q β x Q' Die Punkte werden durch die Verschiebung auf die Punkte P', Q' und R' abgebildet. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

7 4.1 Verschiebung und Verzerrung Koordinaten: Unverformt: P : ( x P, y P ) Q : ( x P +Δ x, y P ) R : ( x P, y P +Δ y ) Verformt: P ' : ( x P ', y P ' )=( x P +u( x P, y P ),y P +v ( x P, y P )) Q ' : ( x Q ', y Q ' )=( x P +Δ x+u( x P +Δ x, y P ), y P +v( x P +Δ x, y P )) R ' : ( x R ', y R ' )=( x P +u( x P, y P +Δ y), y P +Δ y+v ( x P, y P +Δ y)) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

8 4.1 Verschiebung und Verzerrung In der Umgebung von Punkt P gilt für die Verschiebungen: u( x P +Δ x, y P )=u( x P, y P )+ u x Δ x v(x P +Δ x,y P )=v( x P,y P )+ v x Δ x u( x P, y P +Δ y)=u( x P, y P )+ u y Δ y v(x P,y P +Δ y)=v (x P, y P )+ v y Δ y Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

9 4.1 Verschiebung und Verzerrung Daraus folgt für die Koordinaten im verformten Zustand: x P ' =x P +u( x P, y P ), y P ' =y P +v( x P, y P ) x Q ' =x P +Δ x +u(x P, y P )+ u x Δ x=x P '+Δ x + u x Δ x y Q ' =y P +v (x P, y P )+ v x Δ x=y P '+ v x Δ x x R ' =x P +u( x P, y P )+ u y Δ y=x P '+ u y Δ y y R' =y P +Δ y+v ( x P, y P )+ v y Δ y=y P '+Δ y+ v y Δ y Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

10 4.1 Verschiebung und Verzerrung Längenänderungen: Länge der Strecke P'Q' : P ' Q ' = ( x Q ' x P ' ) 2 +(y Q ' y P ' ) 2 = ( u 1+ ) 2 + ( v ) 2 Δ x x x Für kleine Verzerrungen gilt: ( v x ) 2 1 Damit folgt: P ' Q ' ( 1+ u x ) Δ x Mit PQ =Δ x gilt für die Dehnung: P ' Q ' PQ ϵ x = = u PQ x Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

11 4.1 Verschiebung und Verzerrung Entsprechend folgt: P ' R ' PR ϵ y = = v PR y Winkeländerung: Für die Änderung des Winkels QPR gilt: Für kleine Winkeländerungen gilt: γ xy =α+β α tan (α)= x R ' x P ' y R ' y P ' = u y Δ y ( v 1+ ) y Δ y u y Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

12 4.1 Verschiebung und Verzerrung Damit gilt für die Scherung: Ergebnis: β tan(β)= y Q ' y P ' = x Q ' x P ' v x Δ x ( 1+ u x ) Δ x v x γ xy = u y + v x Wenn die Verschiebungsgradienten klein sind, gilt für die Verzerrungen: ϵ x = u x, ϵ y= v y, γ xy= u y + v x Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

13 4.1 Verschiebung und Verzerrung Beispiel: Gegeben sind die Verschiebungen u( x, y)=a x+b y v( x,y)=c x+d y Die Verzerrungen berechnen sich zu ϵ x = u x =a, ϵ y= v y =d γ xy = u y + v x =b+c y b d 1 D A = A' D' C B 1 a + b B' c a C' c + d x Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

14 4.2 Verzerrungstransformation Die bisher gefundenen Dehnungen geben an, wie sich die Längen von Strecken entlang der Koordinatenachsen ändern. Die bisher gefundene Scherung beschreibt die Änderung des Winkels zwischen zwei Strecken entlang der beiden Koordinatenachsen. Nun sollen die Dehnungen für beliebig orientierte Strecken und die Scherung für zwei beliebige senkrecht aufeinander stehende Strecken berechnet werden. Die Aufgabe lässt sich durch Umrechnung der Verzerrungen in ein gedrehtes Koordinatensystem lösen. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

15 4.2 Verzerrungstransformation Drehung des Koordinatensystems: Koordinaten von Punkt P: η y P x=r cos(α), y=r sin(α) ξ=r cos(β), η=r sin(β) r β ξ Mit β = α ϕ folgt: α ϕ x ξ=r cos(α ϕ)=r cos(α)cos(ϕ)+ r sin(α)sin(ϕ) =x cos(ϕ)+y sin(ϕ) η=r sin(α ϕ)=r sin(α)cos(ϕ) r cos(α)sin(ϕ) =y cos(ϕ) x sin(ϕ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

16 4.2 Verzerrungstransformation Die Umrechnung vom gedrehten in das ursprüngliche Koordinatensystem erfolgt mit dem Winkel -ϕ. Damit lauten die Transformationsgleichungen für die Koordinaten: ξ = x cos(ϕ) + y sin(ϕ) η = x sin(ϕ) + y cos(ϕ), Die Komponenten des Verschiebungsvektors berechnen sich aus den Differenzen der Koordinaten. Sie transformieren sich daher wie die Koordinaten: u ξ = u cos(ϕ) + v sin(ϕ) v η = u sin(ϕ) + v cos(ϕ) x = ξ cos(ϕ) ηsin(ϕ) y = ξ sin(ϕ) + η cos(ϕ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

17 4.2 Verzerrungstransformation Ableitungen der Verschiebungen: Zur Berechnung der Verzerrungen im gedrehten System werden die Ableitungen der Verschiebungen im gedrehten System nach ξ und η benötigt: u ξ ξ = u ξ x x ξ + u ξ y y ξ = ( u x + ( u y cos(ϕ)+ v x sin(ϕ) ) cos(ϕ) cos(ϕ)+ v y sin(ϕ) ) sin(ϕ) = u x cos2 (ϕ)+ ( u y + v ) v sin(ϕ)cos(ϕ)+ x y sin2 (ϕ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

18 4.2 Verzerrungstransformation Entsprechend folgt: u ξ η = u y cos2 (ϕ) ( u x v y ) sin(ϕ)cos(ϕ) v x sin2 (ϕ) v η ξ = u y sin 2 (ϕ) ( u x v ) v sin(ϕ)cos(ϕ)+ y x cos2 (ϕ) v η η = u x sin 2 (ϕ) ( u y + v x ) sin(ϕ)cos(ϕ)+ v y cos2 (ϕ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

19 4.2 Verzerrungstransformation Verzerrungen im gedrehten Koordinatensystem: Mit den Beziehungen für die Ableitungen im gedrehten Koordinatensystem und für die Verzerrungen im Ausgangssystem folgt: ϵ ξ = u ξ ξ =ϵ x cos2 (ϕ)+γ xy sin(ϕ)cos(ϕ)+ϵ y sin 2 (ϕ) ϵ η = v η η =ϵ x sin2 (ϕ) γ xy sin(ϕ)cos(ϕ)+ϵ y cos 2 (ϕ) γ ξ η = u ξ η + v η ξ =γ xy (cos 2 (ϕ) sin 2 (ϕ)) 2 ( ϵ x ϵ y ) sin(ϕ)cos(ϕ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

20 4.2 Verzerrungstransformation Mit den trigonometrischen Beziehungen folgt: 2 sin(ϕ)cos(ϕ)=sin(2 ϕ), 2 cos 2 (ϕ)=1+cos(2 ϕ), 2 sin 2 (ϕ)=1 cos(2 ϕ) ϵ ξ = 1 2 ( ϵ x +ϵ y ) ( ϵ x ϵ y ) cos(2ϕ) + γ xy 2 sin(2 ϕ) ϵ η = 1 2 ( ϵ x +ϵ y ) 1 2 ( ϵ x ϵ y ) cos(2ϕ) γ xy sin(2 ϕ) 2 γ ξ η = 1 γ 2 2 ( ϵ x ϵ y )sin(2 ϕ) + xy cos(2 ϕ) 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

21 4.2 Verzerrungstransformation Bemerkungen: Die Dehnung ε ξ beschreibt die Längenänderung einer Strecke, die mit der x-achse den Winkel ϕ einschließt. Die Verzerrungen ε x, ε y und ε xy = γ xy /2 transformieren sich genauso wie die Spannungen. Sie werden als Tensorverzerrungen bezeichnet. Im Gegensatz dazu heißen die Verzerrungen ε x, ε y und γ xy Ingenieurverzerrungen. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

22 4.2 Verzerrungstransformation Beispiel: Gegeben: ϵ x =1, , ϵ y = 5, , γ xy = 7, Gesucht: Dehnung in Richtung ϕ = 30 Lösung: 1 2 ( ϵ x +ϵ y )=2, , 1 2 ( ϵ x ϵ y )=7, γ xy 2 = 3, ϵ ξ =2, , cos(60 ) 3, sin(60 ) =6, Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

23 4.2 Verzerrungstransformation Hauptachsen: Wie bei den Spannungen gibt es zwei senkrecht aufeinander stehende Richtungen, für die die Dehnungen Extremwerte annehmen und die Scherung verschwindet. Diese Richtungen heißen Hauptdehnungsrichtungen. Der rechte Winkel zwischen Linien entlang der Hauptdehnungsrichtungen wird durch die Verzerrung nicht verändert. Die Hauptdehnungsrichtungen berechnen sich zu tan(2 ϕ E )= 2ϵ xy ϵ x ϵ = γ xy y ϵ x ϵ y Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

24 4.2 Verzerrungstransformation Die zugehörigen Dehnungen sind die Hauptdehnungen. Wie bei den Spannungen folgt für die Hauptdehnungen: ϵ 1/ 2 = ϵ x +ϵ y 2 ± ( ϵ ϵ 2 x y ) 2 +ϵ 2 xy Bei Verwendung von Ingenieurverzerrungen gilt: ϵ 1/ 2 = ϵ x +ϵ y 2 ± ( ϵ ϵ 2 x y ) γ 2 xy Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

25 4.3 Messung der Verzerrungen Dehnungen lassen sich mit Dehnungsmessstreifen (DMS) messen, die auf die Oberfläche des Bauteils geklebt werden. Dabei wird ausgenutzt, dass die Änderung des elektrischen Widerstands eines DMS proportional zu seiner Längenänderung ist. Zur vollständigen Bestimmung des Verzerrungszustands an einem Punkt sind drei DMS nötig, die die Dehnungen in drei unterschiedlichen Richtungen messen. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

26 4.3 Messung der Verzerrungen b γ β α a c x Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

27 4.3 Messung der Verzerrungen Auswertung der Messung: Aus der Messung seien die drei Dehnungen ε a, ε b und ε c bekannt, die zu den ab der x-achse gemessenen Winkeln α, β und γ gehören. Für die Dehnungen gilt: ϵ a = 1 2 ( ϵ x +ϵ y )+ 1 2 ( ϵ x ϵ y ) cos(2 α)+ 1 2 γ xy sin(2α) ϵ b = 1 2 ( ϵ x +ϵ y )+ 1 2 ( ϵ x ϵ y ) cos(2β)+ 1 2 γ xy sin(2β) ϵ c = 1 2 ( ϵ x +ϵ y )+ 1 2 ( ϵ x ϵ y ) cos(2 γ)+ 1 2 γ xy sin(2 γ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM

28 4.3 Messung der Verzerrungen Die gesuchten Größen ε x, ε y und γ xy sind Lösung des linearen Gleichungssystems (1+cos(2α)) ϵ x + (1 cos(2α) )ϵ y + sin(2 α) γ xy = 2ϵ a (1+cos(2 β)) ϵ x + (1 cos(2β)) ϵ y + sin(2β) γ xy = 2ϵ b (1+cos(2 γ))ϵ x + (1 cos(2 γ)) ϵ y + sin(2 γ) γ xy = 2 ϵ c Für α = 0, β = 45 und γ = 90 lautet das Gleichungssystem 2 ϵ x = 2 ϵ a ϵ x + ϵ y + γ xy = 2ϵ b 2ϵ y = 2 ϵ c ϵ x =ϵ a γ xy =2ϵ b ϵ a ϵ c ϵ y =ϵ c Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM