B Lösungen. Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation) Sei (x, y) R 2 Berechnen Sie zur Abbildung. f(x, y) := x sin(xy) f : R 2 R,

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1 B en Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation) Sei (x, y) R Berechnen Sie zur Abbildung f : R R, f(x, y) : x sin(xy) das totale Differenzial f df, die Jacobi-Matrix J f (x, y) und den Gradienten ( f)(x, y) in (x, y) sowie die Richtungsableitung D v f(x, y) in Richtung v (v 1, v ) S 1 Aufgabe (partielle und totale Differenzierbarkeit) Wir setzen die Funktionen f, g, h : R R, gegeben durch f(x, y) : im Nullpunkt durch fort xy (x y)3 (x y)3 ; g(x, y) : x + y x ; h(x, y) : + y x + y Berechnen Sie wo möglich im Punkt (, ) die Ableitungen in Richtung v S 1 und überprüfen Sie f auf totale Differenzierbarkeit Aufgabe 3 (Tangentialebenen) Berechnen Sie die Tangentialebenen der durch f(x, y) : 5 exp( x (y ) ) + x + (y ) gegebenen Funktion f : R R in den Punkten (x 1, y 1 ) (, 5; 1) und (x, y ) (; ) Aufgabe 4 (Satz von Schwarz) Zeigen Sie: Die Funktion f : R R, gegeben durch f(x, y) : xy x y x + y (x, y) R\(, ) mit f(, ) : ist auf ganz R stetig differenzierbar, aber nicht zweimal stetig differenzierbar Aufgabe 5 ( Gegenbeispiele ) (1) Zeigen Sie, dass die im Nullpunkt durch fortgesetzte Funktion f : R R mit f(x, y) : x y x 4 + y ((x, y) R \{(, )}) im Ursprung unstetig, aber in alle Richtungen differenzierbar ist () Zeigen Sie, dass die Funktion f : R R, definiert durch f(x, y) : x 3xy + y 4 auf allen Geraden durch (, ) ein Minimum um Ursprung hat, obschon f dort kein lokales Minimum hat Aufgabe 6 (parameterabhängiges Optimierungsproblem) Gegeben sei für jedes c R die Funktion f c : R R (x, y) (x + y 1) cx An welchen Punkten ist f c? Wo hat f c sein globales Minimum? Martin Gubisch B1 SS 9

2 Aufgabe 7 (lokale Extrema) Finden Sie Funktionen f : R R und Punkte (x, y) R folgenden Eigenschaften: (a) f besitzt in (x, y) ein lokales, isoliertes Minimum und H f (x, y) ist positiv definit (b) f besitzt in (x, y) einen Sattelpunkt und H f (x, y) ist indefinit (c) f besitzt in (x, y) ein lokales, nicht isoliertes Minimum und H f (x, y) ist positiv semidefinit (d) f besitzt in (x, y) einen Sattelpunkt und H f (x, y) ist positiv semidefinit (e) f besitzt in (x, y) ein lokales, isoliertes Minimum und H f (x, y) ist positiv semidefinit Aufgabe 8 (Kriterien für Extrema) Seien D R n offen, f C (D, R) und x D Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche nicht? Bei welchen der Implikationen gilt die Umkehrung? Ist f (x), dann hat f in x kein lokales Extremum Ist H f (x) negativ definit, dann besitzt f in x ein lokales Maximum Gelte ab jetzt f (x) Ist H f (x) positiv definit, dann hat f in x ein lokales Extremum Hat f in x ein isoliertes, lokales Extremum, dann ist H f (x) positiv oder negativ definit Ist H f (x) echt semidefinit, so kann f in x ein isoliertes, lokales Extremum haben Hat f in x ein isoliertes, lokales Extremum, dann kann H f (x) echt semidefinit sein Ist H f (x) indefinit, so kann f in x ein nicht isoliertes, lokales Minimum haben Hat f in x ein lokales, isoliertes Minimum, dann kann H f (x) positiv semidefinit sein Hat f in x einen Sattelpunkt, dann ist H f (x) indefinit Hat f in x ein lokales Minimum, so ist H f (x) negativ semidefinit Aufgabe 9 (Optimierung mit Nebenbedingungen) Eine kreisförmige Platte trage die Temperaturverteilung D : {(x, y) R x + y 1 } T : D R (x, y) xy + 1 Gesucht sind die Stellen höchster bzw niedrigster Temperatur Aufgabe 1 (Geometrische Optimierung) Seien a, b, c, d Vektoren des R n mit b, d Wir definieren zwei Geraden x(s) : a + sb; y(t) : c + td; wobei s, t Parameter aus R Gesucht sind die globalen Extremstellen der Abstandsfunktion Φ : Aufgabe 11 (Berechnung von Kurvenlängen) R R (s, t) x(s) y(t) Berechnen Sie die Längen der folgenden Kurven: t sin(t) α(t) :, t π 1 cos(t) t β(t) :, 1 t 1 cosh(t) γ(t) : t cos(t) t sin(t), t 1 t 3 /3 cos δ(t) : 3 (t) sin 3, t π (t) Martin Gubisch B SS 9

3 Aufgabe 1 (Wahrscheinlichkeitsdichte) Berechnen Sie mittels Transformationsformel das uneigentliche Integral e x dx Aufgabe 13 (Berechnung eines Rotationskörpers) Berechnen Sie das Volumen des Kegels A : { (r, ϕ, h) R 3 r [, hr ] }, ϕ [, π], h [, H] H Aufgabe 14 (Satz über implizite Funktionen) In welchen Punkten (x, y, z) R 3 ist das Gleichungssystem { x y y z lokal auflösbar? Zeigen Sie, dass das System bei (1, 1, 1) lokal nach (y, z) aufgelöst werden kann und bestimmen Sie die Ableitung der Auflösungsfunktion (y(x), z(x)) durch implizites Differenzieren Martin Gubisch B3 SS 9

4 Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation) Sei (x, y) R Berechnen Sie zur Abbildung f : R R, f(x, y) : x sin(xy) das totale Differenzial f df, die Jacobi-Matrix J f (x, y) und den Gradienten ( f)(x, y) in (x, y) sowie die Richtungsableitung D v f(x, y) in Richtung v (v 1, v ) S 1 Die partiellen Ableitungen von f in (x, y) sind Gradient und Jacobi-Matrix sind somit x f(x, y) sin(xy) + x cos(xy)y, y f(x, y) x cos(xy)x J f (x, y) ( x f(x, y), y f(x, y)) (sin(xy) + x cos(xy)y, x cos(xy)); x f(x, y) sin(xy) + x cos(xy)y ( f)(x, y) y f(x, y) x cos(xy) Das totale Differenzial f df : R L(R, R) in (x, y) ist gegeben durch f (x, y) : R R v D v f(x, y) mit v1 D v f(x, y) J f (x, y) v v1, f(x, y) v v 1 x f(x, y) + v y f(x, y) v 1 (sin(xy) + xy cos(xy)) + v (x cos(xy)) Aufgabe (partielle und totale Differenzierbarkeit) Wir setzen die Funktionen f, g, h : R R, gegeben durch f(x, y) : im Nullpunkt durch fort xy (x y)3 (x y)3 ; g(x, y) : x + y x ; h(x, y) : + y x + y Berechnen Sie wo möglich im Punkt (, ) die Ableitungen in Richtung v S 1 und überprüfen Sie f auf totale Differenzierbarkeit Martin Gubisch B4 SS 9

5 (a) Sei v (v 1, v ) S 1, dann ist f( + t v) t v 1 v t also gilt für die Ableitung von f in in Richtung v: t v 1 v, Gilt dann v 1 und v, so ist f( + t v) f( ) D v f((, )) lim lim v 1 v sgn(t) t t t lim t sign(t)v 1 v v 1 v lim sign(t)v 1 v v 1 v, t dh D v f((, )) existiert nur für v e (1) oder v e () Insbesondere ist f in (, ) nicht differenzierbar (b) Entsprechend berechnen wir für g: g( + t v) g( ) D v g((, )) lim t(v 1 v ) 3 (v 1 v ) 3 t t t Also lässt sich g in alle Raumrichtungen v ableiten Dennoch ist g nicht differenzierbar Wir zeigen dazu, dass es ein v S 1 gibt mit Setze dazu (v 1, v ) : D v g((, )) 1 g((, ))v 1 + g((, ))v (1, 1) (1, 1) 1 (1, 1), dann D v g((, )) ( ) ; i1 i g((, ))v i v 1 v (c) Auch für h existieren die Ableitungen in alle Raumrichtungen: h( + t v) h( ) t 3 (v 1 v ) 3 D v h((, )) lim lim lim t (v 1 v ) 3 t t t t t t h ist sogar differenzierbar Um dies zu zeigen, berechnen wir die partiellen Ableitungen x h(x, y) und y h(x, y) und zeigen, dass diese stetig in einer Umgebung U R von sind Setze dazu U : B 1 Dann gilt 3(x y) x + y (x y)3 x x h(x, y) x +y x + y 3(x y) y h(x, y) x + y (x y)3 y x +y x + y x,y x,y Martin Gubisch B5 SS 9

6 Aufgabe 3 (Tangentialebenen) Berechnen Sie die Tangentialebenen der durch f(x, y) : 5 exp( x (y ) ) + x + (y ) gegebenen Funktion f : R R in den Punkten (x 1, y 1 ) (, 5; 1) und (x, y ) (; ) Die partiellen Ableitungen von f sind Damit erhalten wir x f(x, y) 5 exp( x (y ) )( x) + x und y f(x, y) 5 exp( x (y ) )( (y )) + (y ) J f (x, y) ( x f(x, y) y f(x, y) ) bzw f(x, y) Die Tangentialebene an einem Punkt (x, y) wird dann beschrieben durch x y + span 1, 1 f(x, y) x f(x, y) y f(x, y) bzw durch die Parametrisierung T (x, y) : f(x, y) + x f(x, y)x + y f(x, y)y Ausgewertet an den entsprechenden Punkten (x 1, y 1 ) und (x, y ) erhalten wir x f(x, y) y f(x, y) T 1 (x, y) [5 exp( 1, 5) + 1, 5] + [5 exp( 1, 5) 1]x + [1 exp( 1, 5) + ]y T (x, y) 5 Aufgabe 4 (Satz von Schwarz) Zeigen Sie: Die Funktion f : R R, gegeben durch f(x, y) : xy x y x + y (x, y) R\(, ) mit f(, ) : ist auf ganz R stetig differenzierbar, aber nicht zweimal stetig differenzierbar Beweis Für (x, y) R \{(, )} ist f beliebig oft differenzierbar und es gilt f x (x, y) x4 y + 4x y 3 y 5 (x + y ), f y (x, y) x5 4x y xy 4 (x + y ) Martin Gubisch B6 SS 9

7 Außerdem ist f f(h, ) f(, h) (, ) lim lim x h h h h f (, ), y dh f ist auf ganz R partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen sind stetig: Also f C 1 (R, R) Allerdings gilt dh f / C (R, R) lim x,y f (, ) lim x x,y f (, ) y 1 x y f(, ) lim ( x f)(h, ) lim h h h (h ) +1, 1 h 5 y x f(, ) lim ( y f)(, h) lim h h h (h ) 1, h 5 Aufgabe 5 ( Gegenbeispiele ) (1) Zeigen Sie, dass die im Nullpunkt durch fortgesetzte Funktion f : R R mit f(x, y) : x y x 4 + y ((x, y) R \{(, )}) im Ursprung unstetig, aber in alle Richtungen differenzierbar ist () Zeigen Sie, dass die Funktion f : R R, definiert durch f(x, y) : x 3xy + y 4 auf allen Geraden durch (, ) ein Minimum um Ursprung hat, obschon f dort kein lokales Minimum hat Beweis (1) Sei v (v 1, v ) ein Richtungsvektor (dh v S 1 ) Dann gilt f(t v) f( ) t 3 v D v f(, ) lim 1v t t t (t v1 4 + v ) v 1 v für v und D (1,) f(, ) 1 f(, ), dh alle Richtungsableitungen im Nullpunkt existieren Allerdings ist f 1 auf {(x, x ) x }, dh f in (, ) unstetig () Sei v (v 1, v ) ein beliebiger Richtungsvektor Für die Gerade g : R R, gegeben durch g(t) : f(t v) v 1t 3v 1 v t 3 + v 4 t 4 gelten dann g () und g () 4v 1 >, dh g hat in ein lokales Minimum Also besitzt f auf allen Geraden durch ein lokales Minimum f besitzt in aber kein lokales Minimum, denn wegen f(x, y) (y x)(y x) gibt es in jeder Umgebung von einen Punkt (x, y ) mit f(x, y ) < f(, ) Martin Gubisch B7 SS 9

8 Aufgabe 6 (parameterabhängiges Optimierungsproblem) Gegeben sei für jedes c R die Funktion f c : R R (x, y) (x + y 1) cx An welchen Punkten ist f c? Wo hat f c sein globales Minimum? Differenzieren nach x und y liefert f c (x, y) (4(x + y 1)x c, 4(x + y 1)y) Wir betrachten zuerst den Fall c Offenbar gilt für alle (x, y) R mit x + y 1, dass f (x, y), dh die Nullstellenmenge von f ist genau der Einheitskreis S : {(x, y) R (x, y) : x + y 1} Da f als Quadrat niemals negativ werden kann, ist S die Menge aller globalen Minima von f ; isolierte Minima existieren nicht Sei nun c Der Graph von f c wird dann in x-richtung um den Faktor c gekippt Wir zeigen zunächst, dass f c y Angenommen, y wäre nicht, dann muss für die zweite Koordinate von f c gelten (x +y 1), also x + y 1 Damit auch die erste Koordinate wird, folgt c, Widerspruch Da f c eine notwendige Bedingung für das Vorliegen von Extrempunkten ist, folgt damit, dass alle globalen Minima von f auf der x-achse liegen Wir suchen noch die (von c abhängenden) x-koordinaten Diese muss die Gleichung 4(x 1)x c 4x 3 4x c erfüllen, dh wir suchen die c-stellen des Polynoms p(x) : 4x 3 4x Die Extremstellen von p lassen sich berechnen durch p (x) 1x 4! 1 x ± : ±x 3 Martin Gubisch B8 SS 9

9 Wir können an Γ p dann ablesen: Anzahl der c-stellen von p ist 1 3 c > p( x) oder c < p(x) c ±p(x) p(x) < c < p(x) Die Urbilder der beiden Äste (1) sind genau die globalen Minima von f c ; die Urbilder von () sind lokale Minima und die von (3) globale Maxima, sofern vorhanden Sowohl an Γ fc als auch an Γ p sehen wir, dass mit wachsendem c der Hochpunkt von f c mehr und mehr abflacht, bis er schließlich für c ±p(x) verschwindet Die lokalen Minima gehen für diesen Wert in einen Sattelpunkt (also in einen Punkt, der f c erfüllt, aber trotzdem kein lokaler oder globaler Extrempunkt ist) über (4) und verschwinden für c > p(x) oder c < p(x) ebenfalls Wir halten als Ergebnis fest: (1) Im Fall c < hat f c das globale Minimum (x c, ), wobei x c die auf (, 1) eindeutig bestimmte der Gleichung p(x) c ist () Im Fall c > hat f c das globale Minimum (x + c, ), wobei x + c die auf (1, ) eindeutig bestimmte der Gleichung p(x) c ist Aufgabe 7 (lokale Extrema) Finden Sie Funktionen f : R R und Punkte (x, y) R folgenden Eigenschaften: (a) f besitzt in (x, y) ein lokales, isoliertes Minimum und H f (x, y) ist positiv definit (b) f besitzt in (x, y) einen Sattelpunkt und H f (x, y) ist indefinit (c) f besitzt in (x, y) ein lokales, nicht isoliertes Minimum und H f (x, y) ist positiv semidefinit (d) f besitzt in (x, y) einen Sattelpunkt und H f (x, y) ist positiv semidefinit (e) f besitzt in (x, y) ein lokales, isoliertes Minimum und H f (x, y) ist positiv semidefinit Martin Gubisch B9 SS 9

10 (1) Definiere f(x, y) 1 ( (x + y x ) f(x, y) y) x y und H f (x, y) 1 1 H f (, ) ist positiv definit, dh f besitzt bei (, ) lokales, isoliertes Minimum Dies sieht man mit dem Kriterium von Hurwitz: 1 det(1) 1 > det 1 > 1 bzw über die Definition: w : w T H f (x, y)w (w 1 w ) 1 w1 w 1 w 1 + w > () Definiere f(x, y) 1 ( (x y x ) f(x, y) y) x y und H f (x, y) H f (, ) ist indefinit, dh f besitzt bei (, ) einen Sattelpunkt (3) Definiere f(x, y) 1 ( x x f(x, y) ) x und H f (x, y) 1 H f (, ) ist positiv semidefinit f besitzt bei (, ) ein lokales, nicht isoliertes Minimum (4) Definiere f(x, y) 1 (x + y 3 ) f(x, y) x 3 x y und H f (x, y) y Dann ist H f (, ) positiv semidefinit Allerdings besitzt f keinen Extrempunkt (5) Definiere f(x, y) 1 (x + y 4 ) f(x, y) 1 1 ( 1 ) 3 y x 1 y 3 x y und H f (x, y) 6y Dann ist H f (, ) positiv semidefinit Hier besitzt f bei (, ) ein lokales, isoliertes Minimum Aufgabe 8 (Kriterien für Extrema) Seien D R n offen, f C (D, R) und x D Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche nicht? Bei welchen der Aussagen gilt die Umkehrung? Ist f (x), dann hat f in x kein lokales Extremum Ist H f (x) negativ definit, dann besitzt f in x ein lokales Maximum Gelte ab jetzt f (x) Ist H f (x) positiv definit, dann hat f in x ein lokales Extremum Hat f in x ein isoliertes, lokales Extremum, dann ist H f (x) positiv oder negativ definit Ist H f (x) echt semidefinit, so kann f in x ein isoliertes, lokales Extremum haben Hat f in x ein isoliertes, lokales Extremum, dann kann H f (x) echt semidefinit sein Ist H f (x) indefinit, so kann f in x ein nicht isoliertes, lokales Minimum haben Hat f in x ein lokales, isoliertes Minimum, dann kann H f (x) positiv semidefinit sein Hat f in x einen Sattelpunkt, dann ist H f (x) indefinit Hat f in x ein lokales Minimum, so ist H f (x) negativ semidefinit Martin Gubisch B1 SS 9

11 Aufgabe 9 (Optimierung mit Nebenbedingungen) Eine kreisförmige Platte trage die Temperaturverteilung D : {(x, y) R x + y 1 } T : D R (x, y) xy + 1 Gesucht sind die Stellen höchster bzw niedrigster Temperatur Wir gehen wie in 1D vor: (1) Aufspüren kritischer Punkte mit Hilfe der Ableitung () Überprüfen der Funktionswerte an kritischen Punkten, um Maxima und Minima zu finden Suche zunächst kritische Punkte in D {(x, y) R x + y < 1} Dann gelten: ( x T (x, y) y) x y ; 1 H T (x, y) ; 1 P HT (λ) λ 1 λ ±1 Da H T einen positiven und einen negativen Eigenwert hat, ist H T indefinit, dh T hat in (, ) einen Sattelpunkt und auf D keine Extrempunkte Da T stetig auf Kompaktum, nimmt T Maximum und Minimum an, also müssen auf dem Rand der Platte D {(x, y) R Φ(x, y) } Extrempunkte von T liegen: T hat Extrempunkte unter der Nebenbedingung Φ(x, y) : x + y 1 Definiere als Lagrange-Funktion F (x, y, λ) xy λ(x + y 1), dann F (x, y, λ) y + λ x + λ x + y 1 Auflösen des Gleichungssystems ergibt: y λx x + λ( λx) x(1 4λ ) x + y 1 (1) x y, aber + 1, dh (, ) ist kein kritischer Punkt () 1 4λ λ ±1 x y (3) x y, dann x 1 x ± 1 (4) x y, dann x ± 1 Wir erhalten die kritischen Punkte ( 1, 1 ), ( 1, 1 ), ( 1, 1 ), ( 1, 1 ) Einsetzen in T ergibt: Maxima bei (± 1, ± 1 ) und Minima bei (± 1, 1 ) Martin Gubisch B11 SS 9

12 Aufgabe 1 (Geometrische Optimierung) Seien a, b, c, d Vektoren des R n mit b, d Wir definieren zwei Geraden x(s) : a + sb; y(t) : c + td; wobei s, t Parameter aus R Gesucht sind die globalen Extremstellen der Abstandsfunktion Φ : R R (s, t) x(s) y(t) Beweis Allgemein gilt für x, y, h, k R n und ein Skalarprodukt s(, ) :, : R n R n R: x + h, y + k x, y + x, k + y, h + h, k, }{{}}{{} ( x, + y, )(h,k) für h,k dh das totale Differenzial ds : s von s ist gegeben durch s (x, y)(h, k) ( x, + y, )(h, k) x, k + y, h Damit erhalten wir als Bedingungen erster Ordnung von Φ(s, t) x(s) y(t), x(s) y(t) : ( Φ (s, t) ( x(s) y(t), + x(s) y(t), ) s s (x(s) y(t)), ) (x(s) y(t)) s x(s) y(t), x (s) + x(s) y(t), x (s) a + bs c td, b und analog Φ t (s, t) x(s) y(t), y (t) a + bs c dt, d Mögliche Extremstellen (s, t ) müssen Φ(s, t ) erfüllen, also das System ( ) + s b, b t d, b c a, b s b, d + t d, d c a, d lösen Die Koeffizientenmatrix des zu ( ) gehörenden homogenen Systems ist b, b b, d A : b, d d, d Genau dann ist A invertierbar und damit ( ) eindeutig lösbar, wenn det(a) b, b d, d b, d b d b, d Nach der Ungleichung von Cauchy-Schwarz ist det(a) > b, d linear unabhängig In diesem Fall erhalten wir also als mögliche Extremstelle ein eindeutig bestimmtes Paar (s, t ) Bedingung zweiter Ordnung: Φ(s, t) s s ( a + sb c td, + b, )(b, ) b, b ; Φ(s, t) t s ( a + sb c td, + b, )( d, ) b, d ; Φ(s, t) t t ( a + sb c td, + d, )( d, ) d, d Martin Gubisch B1 SS 9

13 Damit ist die Hesse-Matrix H Φ (s, t) 4 ( b, b ) b, d b, d d, d positiv definit, denn für die Determinanten der Hauptminoren H 1, H gelten det(h 1 ) det( b, b ) b, b > ; det(h ) det(h Φ (s, t )) b d b, d > nach Cauchy-Schwarz, also hat Φ in (s, t ) ein lokales, isoliertes Minimum Wegen lim Φ(s, t) lim s,t ist (s, t ) sogar ein globales Minimum s,t s b, b + t d, d st b, d Œ s t lim t ( b + d b, d ) t }{{} b d > Bleibt noch der Fall zu untersuchen, dass b, d linear abhängig sind, dh dass d µb für ein µ R Setze Φ(s, t) : Ψ(s µt) mit Ψ(x) : a c + xb Dann ist Ψ eine 1D-Funktion und wir erhalten durch Differenzieren nach x die Gleichungen Ψ (x) a c + xb, b Ψ (x) b, b Aus Ersterem erhalten wir als einziges mögliches Extremum von Ψ den Wert x c a, b b, b und da Ψ (x ) b >, besitzt Ψ in x ein lokales (sogar globales), isoliertes Minimum Also nimmt Φ bei allen (s, t ) sein globales Minimum an, für die gilt s µt x Martin Gubisch B13 SS 9

14 Aufgabe 11 (Berechnung von Kurvenlängen) Berechnen Sie die Längen der folgenden Kurven: t sin(t) α(t) :, t π 1 cos(t) t β(t) :, 1 t 1 cosh(t) t cos(t) γ(t) : t sin(t), t 1 t 3 /3 cos δ(t) : 3 (t) sin 3, t π (t) (a) Wir benötigen den Halbwinkelsatz und das Additionstheorem ( sin α ) 1 cos(α) sin (α) + cos (α) 1 Dann gilt α(t) α(t) 1 cos(t) sin(t) 1 cos(t) + cos (t) + sin (t) ( (1 cos(t)) t ) sin, also L (α) π wobei wir die Substitutionsregel ( t s) sin dt ϕ(b) ϕ(a) π f(t) dt sin b a t dt Subst 4 f(ϕ(t)) ϕ(t) dt π sin(t) dt 8, verwendet haben mit ϕ(t) : t (b) Wegen gilt β(t) β(t) cosh (α) sinh (α) 1 1 sinh(t) 1 + sinh (t) cosh (t) cosh(t), dh L (β) 1 1 cosh(t) dt sinh(t) 1 1 e 1 e Martin Gubisch B14 SS 9

15 (c) Es ist γ(t) t cos(t) t sin(t) t sin(t) + t cos(t) t γ(t) (t cos(t) t sin(t)) + (t sin(t) + t cos(t)) + t 4 t 4 + t, also L (γ) 1 t 4 + t dt 1 t + t dt Subst wobei wir substituiert haben mit ϕ(t) : + t 3 t dt 3 t 3 3 ( ), (d) Wegen 3 cos δ(t) (t) sin(t) 3 sin (t) cos(t) δ(t) 3 cos 4 (t) sin (t) + sin 4 (t) cos (t) 3 cos (t) sin (t)(cos (t) + sin (t)) 3 cos(t) sin(t) folgt mit dem Additionstheorem dass L (δ) 3 π sin(α) cos(α) 1 sin(t) π sin(t) cos(t) dt 6 sin(t) dt Subst 6 π sin(t) dt 6 cos(t) π 6 Aufgabe 1 (Wahrscheinlichkeitsdichte) Berechnen Sie mittels Transformationsformel das uneigentliche Integral e x dx Es gilt e x dx π : ( e dx) x Polarkoordinaten π π π e x π re r [ 1 e r ] dx e y dy e (x +y ) d(x, y) e r r dϕ dr Martin Gubisch B15 SS 9 dr

16 Aufgabe 13 (Berechnung eines Rotationskörpers) Berechnen Sie das Volumen des Kegels A : { (r, ϕ, h) R 3 r [, hr ] }, ϕ [, π], h [, H] H Indem wir einen Zylinder (Radius R, Höhe H) als Rotation einer Kreisscheibe um die x 3 -Achse auffassen, erhalten wir [, R] [, π] [, H] R F : 3 (r, ϕ, h) (r cos ϕ, r sin ϕ, h) als Koordiantentransformation zwischen kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten Als Volumen des Kegels ergibt sich dann mittels Transformationssatz H π vol(f (A)) 1 ( hr H ) dϕ dh H F (A) π ( hr H 1 det F A ) dh πr H H π hr H r dr dϕ dh [ 1 3 H3] H 1 3 πr H Aufgabe 14 (Satz über implizite Funktionen) In welchen Punkten (x, y, z) R 3 ist das Gleichungssystem { x y y z lokal auflösbar? Zeigen Sie, dass das System bei (1, 1, 1) lokal nach (y, z) aufgelöst werden kann und bestimmen Sie die Ableitung der Auflösungsfunktion (y(x), z(x)) durch implizites Differenzieren Definiere x f(x, y, z) : y y z J f (x, y, z) x y y z Für Punkte (x, y, z), die das System lösen, gilt dann Rang(J f (x, y, z)) (x, y, z) (,, ) Nach dem Satz über implizite Funktionen existiert daher in allen Punkten (x, y, z) R 3 \{(,, )} eine lokale Auflösung nach zwei der drei Variablen In einer Umgebung U von 1 sei ϕ : U R R die Auflösungsfunktion, dh ϕ(x) (y(x), z(x)) mit f(x, ϕ(x)) (x U) und ϕ(1) (1, 1) Dann ist 1 ϕ f (x) 1 3 f 1 1 f 1 (x) 1 z x f 3 f f 4yz y y Speziell bei (1, 1, 1) gilt also ϕ (1) (1, 1) x/y x/z Bei (,, ) ist das System nach keinem Paar der Variablen auflösbar: In jeder z-umgebung U R von ist sowohl (z, z, z) als auch ( z, z, z) eine Auflösung des Systems nach (x, y), dh eine lokal eindeutige Auflösung um ist nicht möglich Martin Gubisch B16 SS 9