18.2 Implizit definierte Funktionen
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- Heike Weiner
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1 18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir haben weniger Gleichungen als Unbekannte. Man nennt dann das Gleichungssystem unterbestimmt und die Lösungsmenge G R n enthält gewöhnlich unendlich viele Punkte. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 73
2 Auflösbarkeit von (nichtlinearen) Gleichungen. Frage: Kann man das System g(x) = 0 nach bestimmten Unbekannten, zum Beispiel den letzten m Variablen x n m+1,..., x n, auflösen? Mit anderen Worten: Existiert eine Funktion f(x 1,..., x n m ) mit g(x) = 0 (x n m+1,..., x n ) T = f(x 1,..., x n m ). Terminologie: Auflösen bedeutet also die letzten m Variablen durch die ersten n m Variablen zu beschreiben. Weitere Frage: Nach welchen m Variablen lässt sich das Gleichungssystem auflösen? Ist die Auflösung global auf dem Definitionsbereich D möglich oder nur lokal auf einer Teilmenge D D? Geometrische Interpretation: Die Lösungsmenge G von g(x) = 0 lässt sich (zumindest lokal) als Graph einer Funktion f darstellen. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 74
3 Beispiel. Die Kreisgleichung g(x, y) = x 2 + y 2 r 2 = 0 für r > 0 definiert ein unterbestimmes nichtlineares Gleichungssystem, denn wir haben zwei Unbekannte (x, y), aber nur eine Gleichung. Die Kreisgleichung lässt sich lokal auflösen und definiert dabei vier Funktionen: y = ± r 2 x 2 für r x r x = ± r 2 y 2 für r y r Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 75
4 Beispiel. Sei g(x) eine affin-lineare Funktion, d.h. g hat die Form g(x) = Cx + b für C R m n,b R m Wir spalten die Variable x in zwei Vektoren auf x (1) = (x 1,..., x n m ) T R n m und x (2) = (x n m+1,..., x n ) T R n Aufspaltung der Matrix C = [B,A] ergibt die Darstellung mit B R m (n m), A R m m. g(x) = Bx (1) + Ax (2) + b Das Gleichungssystem g(x) = 0 ist genau dann nach den Variablen x (2) (eindeutig) auflösbar, falls A regulär ist: g(x) = 0 x (2) = A 1 (Bx (1) + b) =: f(x (1) ). Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 76
5 Fortsetzung des Beispiels. Frage: Wie kann man die Matrix A in Abhängigkeit von g schreiben? Aus der Darstellung g(x) = Bx (1) + Ax (2) + b erkennt man direkt, dass A = g x (2) (x(1),x (2) ) gilt, d.h. A ist die Jacobi-Matrix der Abbildung für festes x (1)! x (2) g(x (1),x (2) ) Fazit: Auflösbarkeit ist somit gegeben, falls die Jacobi-Matrix regulär ist. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 77
6 Satz über implizite Funktionen. Satz: Sei g : D R m eine C 1 -Funktion, D R n offen. Die Variablen in D seien (x,y) mit x R n m und y R m. Der Punkt (x 0,y 0 ) D sei eine Lösung von g(x 0,y 0 ) = 0. Falls die Jacobi-Matrix g y (x0,y 0 ) := g 1 y 1 (x 0,y 0 ).... g m y 1 (x 0,y 0 )... g 1 y m (x 0,y 0 ). g m y m (x 0,y 0 ) regulär ist, so gibt es Umgebungen U von x 0 und V von y 0, U V D und eine eindeutig bestimmte stetig differenzierbare Funktion f : U V mit f(x 0 ) = y 0 und g(x,f(x)) = 0 für alle x U. und Jf(x) = ( ) 1 ( ) g g y (x,f(x)) x (x,f(x)). Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 78
7 Beispiel. Für die Kreisgleichung g(x, y) = x 2 + y 2 r 2 = 0, r > 0, findet man im Punkt (x 0, y 0 ) = (0, r) g x (0, r) = 0 und g (0, r) = 2r 0 y Man kann also in einer Umgebung von (0, r) die Kreisgleichung nach y auflösen: y(x) = r 2 x 2 Die Ableitung y (x) kann man durch implizite Diffentiation berechnen: g(x, y(x)) = 0 = g x (x, y) + g y (x, y)y (x) = 0 also 2x + 2yy = 0 = y = x y. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 79
8 Weiteres Beispiel. Betrachte die Gleichung Es gilt g(x, y) = e y x + 3y + x 2 1 = 0. g y (x, y) = ey x + 3 > 0 für alle x R Die Gleichung ist also für jedes x R nach y =: f(x) auflösbar und f(x) ist eine stetig differenzierbare Funktion. Implizite Differentiation liefert e y x (y 1) + 3y + 2x = 0 = y = ey x 2x e y x + 3 Erneute Differentiation liefert e y x y +e y x (y 1) 2 +3y +2 = 0 = y = 2 + ey x (y 1) 2 e y x. + 3 ABER: Explizites Auflösen nach y ist in diesem Fall nicht möglich! Stattdessen wertet man y = f(x) numerisch aus. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 80
9 Allgemeine Bemerkung. Implizites Differenzieren einer durch g(x, y) = 0 g y 0 implizit definierten Funktion y = f(x), mit x, y R, ergibt f (x) = g x g y f (x) = g xxg 2 y 2g xy g x g y + g yy g 2 x g 3 y Daher ist der Punkt x 0 ein stationärer Punkt von f(x), falls gilt g(x 0, y 0 ) = g x (x 0, y 0 ) = 0 und g y (x 0, y 0 ) 0. Weiter ist x 0 ein lokales Maximum (bzw. Minimum), falls g xx (x 0, y 0 ( ) g y (x 0, y 0 ) > 0 bzw. g xx(x 0, y 0 ) ) g y (x 0, y 0 ) < 0. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 81
10 Implizite Darstellung ebener Kurven. Betrachte die Lösungsmenge einer skalaren Gleichungen g(x, y) = 0 Falls gilt grad(g) = (g x, g y ) 0 so definiert g(x, y) lokal eine Funktion y = f(x) oder x = f(y). Definition: Ein Lösungspunkt (x 0, y 0 ) der Gleichung g(x, y) = 0 mit grad(g)(x 0, y 0 ) 0 heißt regulärer Punkt. grad(g)(x 0, y 0 ) = 0 heißt singulärer Punkt. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 82
11 Horizontale und vertikale Tangenten. Bemerkung: (a) Gilt für einen regulären Punkt (x 0, y 0 ) g x (x 0 ) = 0 und g y (x 0 ) 0 so besitzt die Lösungskurve eine horizontale Tangente in x 0. (b) Gilt für einen regulären Punkt (x 0, y 0 ) g x (x 0 ) 0 und g y (x 0 ) = 0 so besitzt die Lösungskurve eine vertikale Tangente in x 0. (c) Ist x 0 ein singulärer Punkt so wird die Lösungsmenge bei x 0 in zweiter Näherung durch folgende quadratische Gleichung approximiert. g xx (x 0 )(x x 0 ) 2 + 2g xy (x 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + g yy (x 0 )(y y 0 ) 2 = 0 Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 83
12 Bemerkungen. Wegen (c) erhält man für g xx, g xy, g yy 0: deth g (x 0 ) > 0 : x 0 ist ein isolierter Punkt der Lösungsmenge deth g (x 0 ) < 0 : x 0 ist ein Doppelpunkt deth g (x 0 ) = 0 : x 0 ist ein Rückkehrpunkt bzw. eine Spitze. Geometrische Interpretation: (a) Gilt deth g (x 0 ) > 0, so sind beide Eigenwerte von Hg(x 0 ) entweder strikt positiv oder strikt negativ, d.h. x 0 ist ein strenges lokales Minimum oder Maximum von g(x). (b) Gilt deth g (x 0 ) < 0, so haben die beiden Eigenwerte von H g (x 0 ) unterschiedliche Vorzeichen, d.h. x 0 ist ein Sattelpunkt von g(x). (c) Gilt deth g (x 0 ) = 0, so ist der stationäre Punkt x 0 von g(x) ausgeartet. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 84
13 Beispiel 1. Betrachte den singulären Punkt x 0 = 0 der impliziten Gleichung g(x, y) = y 2 (x 1) + x 2 (x 2) = 0 Berechnung der partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2: g x = y 2 + 3x 2 4x g y = 2y(x 1) g xx = 6x 4 g xy = 2y g yy = 2(x 1) H g (0) = Also ist x 0 = 0 ein isolierter Punkt. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 85
14 Beispiel 2. Betrachte den singulären Punkt x 0 = 0 der impliziten Gleichung g(x, y) = y 2 (x 1) + x 2 (x + q 2 ) = 0 Berechnung der partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2: g x = y 2 + 3x 2 + 2xq 2 g y = 2y(x 1) g xx = 6x + 2q 2 g xy = 2y g yy = 2(x 1) H g (0) = 2q Also ist x 0 = 0 für q 0 ein Doppelpunkt. Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 86
15 Beispiel 3. Betrachte den singulären Punkt x 0 = 0 der impliziten Gleichung g(x, y) = y 2 (x 1) + x 3 = 0 Berechnung der partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2: g x = y 2 + 3x 2 g y = 2y(x 1) g xx = 6x g xy = 2y g yy = 2(x 1) H g (0) = Also ist x 0 = 0 eine Spitze (bzw. Rückkehrpunkt). Analysis III TUHH, Wintersemester 2007/2008 Armin Iske 87
Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
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