SYMMETRIE FRANZ LEMMERMEYER

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Friedrich Vogt
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1 SYMMETRIE FRANZ LEMMERMEYER Symmetrie ist ein außerordentlich wichtiges Konzept in der Mathematik und der Physik. Ist beispielsweise (x, y) eine Lösung des Gleichungssystems x + y = 5, xy = 1, so muss auch (y, x) eine Lösung sein, weil sich das Gleichungssystem nicht ändert, wenn man x und y vertauscht: Sowohl das Gleichungssystem, als auch die Lösungsmenge sind symmetrisch in dem Sinne, dass sie bei Vertauschung von x und y gleich bleiben. (Geometrisch bedeutet dies, dass die Schaubilder, die von den beiden Gleichungen beschrieben werden, symmetrisch bezüglich der ersten Winkelhalbierenden sind). Erfahrene Problemlöser wissen nun, dass man in einem solchen Fall das Gleichungssystem so umschreiben sollte, dass nur noch symmetrische Funktionen von x und y auftreten, im einfachsten Falle also x + y und xy (diese beiden Ausdrücke bleiben bei Vertauschen von x und y ebenfalls gleich). Also schreiben wir 5 = x + y = (x + y) xy = (x + y) 4, was auf (x + y) = 49 und damit x + y = ±7 führt. Jetzt ist es nicht mehr schwer, auch (x y) zu bestimmen und das Gleichungssystem zu lösen. In der Schulmathematik geht es (fast) ausschließlich um die Symmetrie von Schaubildern von Funktionen, und zwar entweder um Symmetrie bezüglich der y-achse oder um Symmetrie bezüglich des Ursprungs. 1. Achsensymmetrie Die bekannteste nichttriviale achsensymmetrische Funktion ist die Normalparabel f(x) = x. Symmetrie bezüglich der y-achse bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle x derselbe ist wie an der Stelle x: Definition. Das Schaubild einer Funktion f heißt achsensymmetrisch bezüglich der y-achse, wenn für alle x I gilt: f( x) = f(x). Um zu zeigen, dass eine Funktion f nicht achsensymmetrisch bezüglich der y-achse ist, genügt es, ein x zu finden, für das f( x) f(x) gilt. Beispielsweise ist f(x) = x +x nicht achsensymmetrisch bezüglich der y-achse wegen f( 1) = 0 und f(1) =. 1

2 FRANZ LEMMERMEYER Abbildung 1. Achsensymmetrie Um zu beweisen, dass eine Funktion gerade ist, müssen wir nur f( x) ausrechnen und zeigen, dass sich f(x) ergibt. So ist f(x) = x gerade wegen f( x) = ( x) = x = f(x). Als weiteres Beispiel rechnen wir nach, dass f(x) = x4 +1 x +1 eine gerade Funktion ist. Auch das ist trivial: f( x) = ( x)4 + 1 ( x) + 1 = x4 + 1 x + 1 = f(x). Soll man nachweisen, dass das Schaubild einer Funktion bezüglich der Achse x = a symmetrisch ist, dann ist es am einfachsten, man verschiebt das Schaubild um a nach links, ersetzt also x durch x a, und rechnet dann nach, dass das verschobene Schaubild symmetrisch bezüglich der y-achse ist. So ist f(x) = x x symmetrisch bezüglich der Achse x = 1; verschiebt man das Schaubild von f um 1 nach links, so wird das neue Schaubild beschrieben durch g(x) = f() = () () = x + x = x 1, und weil g eine gerade Funktion ist, ist das Schaubild von g achsensymmetrisch bezüglich der y-achse, und das Schaubild von f ist symmetrisch bezüglich der Achse x = 1. Verschieben nach rechts liefert f(x) = g(x 1) = (x 1) 1, also die Scheitelform von f.. Punktsymmetrie Eine Figur ist punktsymmetrisch bezüglich eines Zentrums Z, wenn die Figur beim Spiegeln jedes Punkts an Z in sich selbst übergeht. Grundschüler haben oft probleme, punktsymmetrische Buchstaben wie N, S und Z richtig herum zu schreiben. Definition. Das Schaubild einer Funktion f heißt punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn für alle x I gilt: f( x) = f(x).

3 SYMMETRIE 3 Abbildung. Achsensymmetrie Funktionen f mit dieser Eigenschafft nennt man ungerade Funktionen. So ist das Schaubild von f(x) = x 3 3x punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, denn es gilt f( x) = ( x) 3 3( x) = x 3 + 3x = (x 3 3x) = f(x). Um zu zeigen, dass das Schaubild von f(x) = x 1 punktsymmetrisch bezüglich des Punkts Z( 1 ) ist, verschieben wir das Schaubild von f um 1 nach rechts und nach unten: g(x) = f(x 1) = (x 1) 1 (x 1) + 1 = x 3 = x 3 x x x = 3 x. Daher ist g ungerade, sein Schaubild also punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs. Übungen (1) Untersuche folgende Funktionen auf Symmetrie bezüglich der y-achse oder des Ursprungs. a) f(x) = x 3 3x b) f(x) = x + x 4 c) f(x) = x d) f(x) = x 1 x e) f(x) = x(x 4 + 1) f) f(x) = 1 () Untersuche folgende Funktionen auf Symmetrie bezüglich der y-achse oder des Ursprungs.

4 4 FRANZ LEMMERMEYER a) f(x) = x x + 1 c) f(x) = x3 + 1 b) f(x) = x + 1 d) f(x) = x4 x 1 (3) Zeige, dass jede ganzrationale Funktion f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 mit ausschließlich geraden Hochzahlen gerade ist. (4) Zeige, dass die Funktion gerade ist. (5) Zeige, dass die Funktion gerade ist. f(x) = x + x f(x) = x 1 x x (6) Welche der trigonometrischen Funktionen f(x) = sin x, g(x) = cos x und h(x) = tan x sind punkt- bzw. achsensymmetrisch? (7) Zeige: Ist f eine gerade Funktion, dann ist g(x) = x f(x) eine ungerade Funktion. (8) Zeige: Sind f und g gerade Funktionen, dann sind auch f(x)±g(x), f(x)g(x) (soweit definiert) gerade Funktionen. und f(x) g(x) (9) Zeige: Sind f und g ungerade Funktionen, dann sind auch f(x) ± g(x) ungerade, während f(x)g(x) und f(x) g(x) (soweit definiert) gerade Funktionen sind. (10) Zeige: Ist f eine Funktion, dann ist g(x) = f(x)+f( x) eine gerade und u(x) = f(x) f( x) eine ungerade Funktion. (11) Zeige, dass jede Funktion sich als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben lässt. Hinweis: a = a+b + a b. (1) Sei f eine differenzierbare Funktion. Zeige: (a) Ist f symmetrisch bezüglich der y-achse, dann ist f punktsymmetrisch bezüglich O. (b) Ist f punktsymmetrisch bezüglich O, dann ist f achsensymmetrisch bezüglich der y-achse. (13) Zeige: Ist f eine stetige Funktion und punktsymmetrisch bezüglich O, dann ist jede Stammfunktion F von f achsensymmetrisch bezüglich der y-achse. (14) Zeige: Ist f eine stetige Funktion und achsensymmetrisch bezüglich der y- Achse, dann ist jede Stammfunktion F von f punktsymmetrisch, aber nicht notwendig bezüglich O.

5 SYMMETRIE 5 (15) Zeige: Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch bezüglich ihres Wendepunkts. (16) Betrachte eine ganzrationale Funktion f(x) = ax 4 + bx 3 + cx + dx + e mit a > 0. Zeige: (a) Das Schaubild von f besitzt entweder genau einen Tiefpunkt T, oder zwei Tiefpunkte und genau einen Hochpunkt H. (b) Das Schaubild von f ist nicht punktsymmetrisch. (c) Wenn f achsensymmetrisch ist, dann höchstens durch die vertikale Gerade durch T bzw. durch H. (17) Zeige, dass das Schaubild der Funktion achsensymmetrisch ist. f(x) = x 4 4x 3 + 5x (18) Zeige, dass das Schaubild der Funktion punktsymmetrisch ist. f(x) = x (19) Zeige, dass alle Funktionen der Form f(x) = ax + b cx + d ein punktsymmetrisches Schaubild besitzen. Hinweis: Bestimme die senkrechte und die waagrechte Asymptote.

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