Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Wiederholungsklausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...

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1 Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik Wiederholungsklausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis ) Prof. Dr. M. Wolf 7. September 03, 5:00 6:30 Uhr I Erstkorrektur Hörsaal: Reihe: Platz: Hinweise: Überprüfen Sie die Vollständigkeit der Angabe: 7 Aufgaben II Zweitkorrektur Bearbeitungszeit: 90 min Erlaubte Hilfsmittel: ein selbsterstelltes Din A4 Blatt Erreichbare Gesamtpunktzahl: 80 Punkte Bei Multiple-Choice-Aufgaben sind genau die zutreffenden Aussagen anzukreuzen. Bei Aufgaben mit Kästchen werden nur die Resultate in diesen Kästchen berücksichtigt. Nur von der Aufsicht auszufüllen: Hörsaal verlassen von bis Vorzeitig abgegeben um Besondere Bemerkungen: Musterlösung (mit Bewertung)

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3 . Sternförmige Mengen sind zusammenhängend [0 Punkte] (a) Kreuzen Sie genau die wahren Aussagen an. Für eine stetige Funktion gilt: Die Bilder zusammenhängender Mengen sind wieder zusammenhängend. Die Urbilder zusammenhängender Mengen sind wieder zusammenhängend. (b) Geben Sie eine Charakterisierung für eine Menge M R n an, die nicht zusammenhängend ist. (c) Wie lautet die Definition einer sternförmigen Menge M R n? (d) Zeigen Sie, dass jede sternförmige Menge M R n zusammenhängend ist. (a) (i) Satz aus der Vorlesung. (ii) Gegenbeispiel: f : R \ {0} R, f(x) = 0, ist stetig. Das Urbild von {0}, nämlich R \ {0}, ist nicht zusammenhängend. (b) M ist nicht zusammenhängend, wenn es zwei offene disjunkte Mengen A, B R n gibt mit A M, B M und M A B. (c) Eine Menge M R n heißt sternförmig, wenn es ein a M gibt, so dass für alle x M auch die Verbindungstrecke zwischen a und x in M enthalten ist, d.h., für alle λ [0, ] gilt ( λ)a + λx M. (d) Sei M R n sternförmig mit zugehörigem Zentrum a M. Annahme: M ist nicht zusammenhängend. Es gibt also offen disjunkte A, B R n mit A M, B M und M A B. Sei, ohne Einschränkung, a A. Wegen B M gibt es ein x B M. Die Funktion γ : [0, ] M, γ(λ) = ( λ)a + λx ist stetig, [0, ] ist zusammenhängend. Das Bild γ([0, ]) ist nicht zusammenhängend, da a A γ([0, ]), x B γ([0, ]) und A B M γ([0, ]). Widerspruch. Die Annahme ist also falsch und damit ist M zusammenhängend. [4] Alternativ: Da M sternförmig ist, ist M offenbar wegzusammenhängend, denn je zwei Punkte x, y M können durch die beiden Streckenzüge von x zu a und dann von a zu y stetig verbunden werden. Nach Vorlesung ist M dann auch zusammenhängend.

4 . Differenzierbarkeit [0 Punkte] Sei f : R R definiert durch { y x y für (x, y) 0, f(x, y) = x +y 0 für (x, y) = 0. (a) Wie lauten die partiellen Ableitungen im Ursprung? x f(0, 0) = 0 [] y f(0, 0) = [] (b) Wie lautet die Richtungsableitung in Richtung v R \ {0} im Ursprung? v f(0, 0) = v v v v +v (c) Ist f differenzierbar im Ursprung? Ja Nein (d) Zeigen Sie, dass x f im Ursprung unstetig ist. [4] f(h,0) f(0,0) f(0,h) f(0,0) 0 h (a) x f(0, 0) = lim h 0 h = 0. y f(0, 0) = lim h 0 h = lim 3 =. h 0 h h f(tv (b) v f(0, 0) = lim,tv ) f(0,0) t t 0 t = lim 3 v v t 3 v 3 t 0 t(t v +t v ) = v v v. v +v (c) Nein, wäre f im Ursprung differenzierbar, so hieße das, dass ( ) (,) f(0) = f (0) = ( x f(0) y f(0) ) ( ) = ( 0 ) ( ) =. Aber nach (b) ist (,) f(0) = + = 0. Widerspruch. (d) Für (x, y) 0 ist x f(x, y) = xy x + y y x y (x + y ) x = xy(x y ) xy(x y ) (x + y ) = 4xy 3 (x + y ) Für (x n, y n ) = ( n, n ) gilt [] lim xf(x n, y n ) = n 4 n 4 ( n + n ) = 4 4 = xf(0, 0). Also ist x f im Ursprung unstetig. []

5 3. Taylorentwicklung [0 Punkte] Sei f : R + R + R, f(x, y) = x y x+y. (a) Berechnen sie alle Terme der Taylorentwicklung von f bis zur dritten Ordnung im Entwicklungspunkt (, ). Hinweis: Betrachten Sie f( + u, + v). Sie müssen keine Ableitungen berechnen. (b) Geben Sie in möglichst einfacher Form die Funktion T : R R an, deren Graph die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt (, ) ist. [3] T (x, y) = x y (a) f( + u, + v) = u v + u + v = u v + ( u+v ) ) = ( (u v) (u + v) + 4 (u + v) + = 0 + u v + 4 v 4 u + 8 (u3 + u v uv v 3 ) + O( (u, v) 4 ) (b) T ist die lineare Approximation von f im Punkt (, ), also Somit ist T (x, y) = x y = x y T ( + u, + v) = 0 + u v.

6 4. Gradientenfelder [4 Punkte] Das Vektorfeld F : R 3 R 3 ist gegeben durch y cos(xy ) F (x, y, z) = xy cos(xy ). (a) Bestätigen Sie, dass rot F = 0. [3] (b) Warum ist F ein Gradientenfeld? (c) Welchen Wert hat das Kurvenintegral γ F (r) dr für γ(t) = ( cos t, sin t, cos t), t [0, π]? (d) Bestimmen Sie ein Potential V von F. [4] (e) Welchen Wert hat das Kurvenintegral γ F (r) dr für γ(t) = ( π t, et, arctan t), t [, ]? [3] (a) F (x, y, z) = y cos(xy ) xy 3 sin(xy ) = F (x, y, z), 3 F (x, y, z) = 0 = F 3 (x, y, z), F 3 3 F F 3 (x, y, z) = 0 = 3 F (x, y, z). Somit ist rot F (x, y, z) = 3 F F 3 (x, y, z) = 0 F F (b) rot F = 0 und der Definitionsbereich von F, R 3 ist sternförmig. Oder Verweis auf (c). (c) V (x, y, z) = y cos(xy ), also V (x, y, z) = sin(xy ) + c(y, z). V (x, y, z) = xy cos(xy ), also V (x, y, z) = sin(xy ) + c(x, z). 3 V (x, y, z) =, also V (x, y, z) = z + c(x, y). Insgesamt also ist ein Potential von F. V (x, y, z) = sin(xy ) + z (d) γ ist eine geschlossene Kurve. Da F als Gradientenfeld konservativ ist, gilt γ F (r) dr = 0. (e) Da F ein Gradientenfeld ist gilt F (r) dr = V (γ()) V (γ( )) = V ( π,, π 4 ) V ( π,, π 4 ) γ = sin( π ) + π 4 sin( π ) + π 4 = + π.

7 5. Extrema mit Nebenbedingungen [4 Punkte] Ein Zylinder im R 3 habe eine kreisförmige Grundfläche mit Radius r > 0 und die Höhe h > 0. (a) Geben Sie die Gesamtoberfläche f(r, h) und das Volumen g(r, h) des Zylinders an. (b) Bestimmen Sie bei vorgegebenem Zylindervolumen V > 0 mit Hilfe der Methode der Lagrangemultiplikatoren Radius r und Höhe h des Zylinders so, dass die Zylinderoberfläche extremal ist. [8] (c) Begründen Sie, warum die in (b) gefundene Lösung das eindeutige absolute Minimum für die Oberfläche des Zylinders bei gegebenem Volumen ist. [4] (a) Oberfläche f(r, h) = πr + πrh, [] Volumen g(r, h) = πr h. [] (b) Gesucht sind Extremalpunkte von f unter der Nebenbedingung g(r, h) = V. V ist regulärer Wert von g, da grad g(r, h) = ( ) πrh πr 0 falls r 0 und h 0. Dies gilt, sonst wäre g(r, h) = 0. [] Extremalpunkte erfüllen die Euler-Lagrange-Gleichung [] grad f(r, h) = λgrad g(r, h), also die Gleichungen 4πr + πh = λ πrh πr = λπr Die zweite Gleichung ergibt r = λ. [] Eingesetzt in die erste ergibt sich weiter h = 4 λ. [] Eingesetzt in die Nebenbedingung g(r, h) erhält man V = g( λ, 4 λ ) = 6π, also λ = 3 6π λ 3 V. [] Somit ist die Oberfläche für r = 3 V π und h = 3 4V π extremal. [] (c) Bei vorgegebenem Radius r und festem Volumen V des Zylinders ist die Höhe h = V, die πr Oberfläche ist dann gegeben durch f(r) = πr + V r. [] Aus (b) wissen wir, dass f (r) 0 für r 3 V π gilt. Da f stetig differenzierbar ist, muss f rechts r jeweils streng monoton fallend oder steigend sein. Wegen lim f(r) = und r 0 und links von 3 V π lim f(r) = muss f links fallen und rechts steigen, der Punkt 3 V π Minimum. ist also ein absolutes [3]

8 6. Trennbare Differentialgleichungen [ Punkte] Gegeben ist die Differentialgleichung ẋ = f(t, x) mit f(t, x) = ( x ) cos t. (a) Welche der folgenden Eigenschaften ist hinreichend für die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen obiger Differentialgleichung? f ist stetig f ist erstes Integral f ist stetig differenzierbar f ist lipschitzstetig f ist lokal lipschitzstetig (b) Welche der folgenden Eigenschaften besitzt die Funktion f : R R? f ist stetig f ist erstes Integral f ist stetig differenzierbar f ist lipschitzstetig f ist lokal lipschitzstetig (c) Geben Sie alle auf ganz R definierten konstanten Lösungen der Differentialgleichung an. x (t) =, x (t) =, t R (d) Bestimmen Sie ein erstes Integral E(t, x) für die Differentialgleichung. Hinweis: Partialbruchzerlegung. [3] (e) Finden Sie eine Lösung x : R R der Differentialgleichung mit dem Anfangswert x(0) = 0. [3] (a) stetige Differenzierbarkeit und die daraus folgende lokale Lipschitzstetigkeit sind hinreichend für die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Stetigkeit genügt i.a. nicht. f ist weder erstes Integral noch lipschitzstetig. (b) Die Bedingung ẋ(t) = 0 für alle t R führt auf 0 = ( x ) sin t, also x = ±. (c) Trennung der Variablen liefert als erstes Integral E(t, x) = cos tdt x dx = sin t ( x + ) dx + x = sin t ( ln x + ln + x ) = sin t ln + x x (d) Auflösen der Gleichung E(t, x) = E(0, x(0)) = 0 nach x ergibt für x (, ) ln +x x = sin t +x x = e sin t x = e sin t e sin t + ( ) = esin t e sin t = tanh(sin t), e sin t +e sin t da aus +x c x = c schnell x = c+ folgt. Also ist x(t) = tanh(sin t) die Lösung des AWP.

9 7. Variationsrechnung [0 Punkte] Gegeben ist das Funktional F (x) = x() = 5. t ẋ(t) dt für x C ([, ]) mit den Randbedingungen x() = 7, (a) Wie lautet die Lagrange-Funktion L : R 3 R zu diesem Problem? L(t, x, v) = t v (b) Wie lautet explizit die Euler-Lagrange-Gleichung von F für x C ([, ])? [3] tẋ(t) + t ẍ(t) = 0 (c) Geben Sie ein erstes Integral E : R 3 R für die Euler-Lagrange-Gleichung des Funktionals F an. E(t, x, v) = v L(t, x, v) = t v (d) Finden Sie mit Hilfe der allgemeinen Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung, x(t) = c t + c, c, c R, den stationären Punkt x (t) von F. [3] x (t) = 4 t + 3 (a) F (x) = L(t, x(t), ẋ(t))dt mit der Lagrangefunktion L(t, x, v) = t v. (b) d dt vl x L = 0 ergibt tẋ + t ẋ = 0. (c) Da die Lagrangefunktion nicht explizit vom Ort abhängt ist E(t, x, v) = v L(t, x, v) = t v eine Konstante der Bewegung. (d) Die Randbedingungen für x(t) = c t + c ergeben 7 = x() = c + c, 5 = x() = c + c, also c = (7 5) = 4, c = 5 7 = 3. Also ist x(t) = 4 t + 3.