Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

Transkript

1 Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 06 D-BIOL, D-CHAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total Total Vollständigkeit Bitte wenden!

2 Wichtige Hinweise zur Prüfung Prüfungsdauer: 3 Stunden. Erlaubte Hilfsmittel: 0 A4-Seiten (nicht Blätter!) mit persönlichen, von Hand geschriebenen Notizen. Keine (Taschen)Rechner. Wörterbuch für fremdsprachige Studierende. Bitte beachten Sie folgende Punkte: Tragen Sie jetzt Ihren Namen in das Deckblatt ein und geben Sie es am Ende der Prüfung als vorderstes Blatt Ihrer Arbeit ab. Legen Sie Ihre Legi offen auf den Tisch. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Begründen Sie Ihre Lösungen, soweit nicht anders angegeben. Dabei können Sie bekannte Formeln aus der Vorlesung und den Übungen ohne Herleitung verwenden. Schreiben Sie nicht mit Bleistift und nicht mit roter oder grüner Farbe. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgaben ist Ihnen freigestellt. Ordnen Sie jedoch am Ende der Prüfung die Aufgaben für die Abgabe. Wir erwarten nicht, dass Sie alle Aufgaben lösen. Versuchen Sie einfach Ihr Bestes! Verweilen Sie nicht zu lange bei einer Aufgabe, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet. Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe (MC-Aufgabe) sind jeweils 4 Aussagen/Antworten angegeben, davon sind jeweils genau korrekt. Eine MC-Aufgabe ist genau dann korrekt gelöst, wenn Sie die korrekten Antworten mit richtig und die inkorrekten mit falsch kennzeichnen. Sie müssen also bei jeder MC- Aufgabe genau 4 Kreuze setzen und jedes muss jeweils an der richtigen Stelle sein. Zum Beispiel ist folgende MC-Aufgabe nur mit diesen 4 Kreuzen korrekt gelöst. richtig falsch Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Bei den MC-Aufgaben werden nur die Antworten auf den Aufgabenblättern bewertet. Die Antworten in den MC-Aufgaben müssen nicht begründet werden. Viel Erfolg! Siehe nächstes Blatt!

3 Aufgaben. ( Punkte) Die Antworten in dieser Aufgabe müssen Sie nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit f() = sin() cos(): f () =. Die Ableitung f hat im Intervall [0, π] zwei Fipunkte und mit = 0 und =. b) Berechnen Sie d =. Dabei können Sie die Integrationskonstante C = 0 wählen. Hinweis: Das geht auch ohne Partialbruchzerlegung. c) Bestimmen Sie das grösste c < 0, sodass die Funktion f : R \ { } R, + für alle < c streng monoton wachsend ist. c = d) Sei b R und sei f : R R gegeben durch b sin() f() = π 3 3 für π π für = π. Wie muss b gewählt werden, damit f eine stetige Funktion auf ganz R ist? b = Bitte wenden!

4 e) Die Entwicklung a n+ = a n + 3 a n besitzt zwei Fipunkte a und ã. Rechnen Sie die Fipunkte aus. Achten Sie beim Eintragen der Fipunkte auf dem Aufgabenblatt auf das angegebene Vorzeichen (einer der Fipunkte ist positiv, der andere ist negativ). a = > 0 und ã = < 0. f) MC-Aufgabe Kreuzen Sie Ihre Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. Sei a n+ = a n + 3 die Entwicklung mit den Fipunkten a und ã aus Aufgabe e) und a n sei f die Reproduktionsfunktion der Entwicklung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? richtig falsch Für jeden Startwert a 0 nahe a gilt lim n a n = a. Für jeden Startwert a 0 nahe ã gilt lim n a n = ã. Die Gerade g zeigt die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt a : 5 g f a 5 4 Die Gerade g zeigt die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt a : 5 4 g f a 5 Siehe nächstes Blatt!

5 g) MC-Aufgabe Kreuzen Sie Ihre Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. Wir betrachten die Funktion f mit f() =. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? richtig falsch Der Graph von f ist Der Graph von f ist Die Funktion f ist in differenzierbar mit f () = 0. Die Funktion f ist in 0 differenzierbar mit f (0) =. h) Sei f wie in der obigen Aufgabe g) die Funktion mit f() =. Berechnen Sie 0 f() d =. Bitte wenden!

6 . (4 Punkte) In den Aufgabe a) und b) bezeichnet i die imaginäre Einheit. Es gilt also i =. a) MC-Aufgabe Kreuzen Sie Ihre Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. Das Resultat der Rechnung ist + i i + i i + i = z richtig falsch z = e i π. z = i. z = i. z = e i π 4. Bei den Aufgaben b) und c) müssen Sie Ihre Antworten nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. b) Die Gleichung z 4 4i = 0 besitzt im ersten Quadranten die Lösung z = e i π 8. Geben Sie die Polardarstellung z 3 = re iϕ (mit r > 0 und π < ϕ π) der Lösung z 3 im dritten Quadranten an (siehe Abbildung).. Quadrant. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant Schreiben Sie Ihre Antwort direkt auf das Aufgabenblatt. z 3 =. Siehe nächstes Blatt!

7 c) Sei a R und A = a. i) Geben Sie die Eigenwerte von A direkt auf dem Aufgabenblatt an. λ = + + a λ = λ 3 = ii) Bestimmen Sie a R so, dass das homogene lineare Gleichungssstem A = 0 eine nicht-triviale Lösung 0 besitzt. Geben Sie a direkt auf dem Aufgabenblatt an. a = iii) Bestimmen Sie a R so, dass A zwei komplee Eigenwerte mit Betrag 3 hat. Geben Sie a direkt auf dem Aufgabenblatt an. a = d) Lösen Sie das lineare Gleichungssstem = 8 3 mit dem Gauss-Verfahren. n+ = n + n e) Gegeben sei das Entwicklungsmodell. n+ = n i) Sei v n = ( n ) R. n Geben Sie die Matri A an, mit der das Entwicklungsmodell in Matrischreibweise geschrieben werden kann, d.h. in der Form v n+ = Av n. b Bestimmen Sie zusätzlich b R so, dass der Vektor ein Eigenvektor von A ist. ( b Hinweis: Falls Sie die Matri A nicht gefunden haben, bestimmen Sie b so, dass ) / 3 ein Eigenvektor der Matri à = ist. 0 0 ii) Geben Sie einen Startvektor v 0 an, sodass die Folge der Vektoren v 0 0, v, v,... ( 0 zum Nullvektor v = konvergiert. 0) Hinweis: ( Falls) Sie Teilaufgabe i) nicht gelöst haben, nehmen Sie wieder die Matri / 3 à = und die Entwicklung v 0 n+ = Ãv n. Bitte wenden!

8 3. (0 Punkte) a) Das Richtungsfeld einer Differentialgleichung () = F (, ()) sei: 4 3 () Die Lösung () der Differentialgleichung zum Anfangswert (0) =.8 konvergiert für. Geben Sie die Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. lim () = Sie müssen Ihre Antwort nicht begründen. Schreiben Sie diese vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. Siehe nächstes Blatt!

9 b) MC-Aufgabe Kreuzen Sie Ihre Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssstem (DGL-Sstem) 6 5 (t) = (t) (t) mit (t) = und (t) (t) = (t) (t). Hinweis: Die Vektoren Welche der folgenden Aussagen sind richtig? ( und sind Eigenvektoren der Matri. ) richtig falsch Die allgemeine Lösung dieses Differentialgleichungssstems ist (t) = C e t + C 5 e 4t mit Konstanten C, C R. Die Lösung (t) des DGL-Sstems zum Anfangswert (0) = stabilisiert sich für t in Richtung des Vektors. 3 3 Die Lösung des DGL-Sstems zum Anfangswert (0) = 0 ist gegeben durch (t) = e t + 0 e 4t. 4 4 Die erste Komponente einer Lösung des DGL-Sstems erfüllt die Differentialgleichung. Ordnung () 5 () + 4 () = 0. c) Finden Sie die allgemeine Lösung von () = () +. Hinweis: Es gilt e d = e e + C. d) Lösen Sie das Anfangswertproblem () = (() ) mit (0) = 0. Hinweis: Es gilt = ( ). + Bitte wenden!

10 4. (0 Punkte) a) MC-Aufgabe Kreuzen Sie Ihre Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. Sei f : R R mit f(, ) = Welche der folgenden Aussagen sind richtig? richtig falsch Der Punkt (0, 0) liegt auf der Niveaulinie von f zur Höhe 3. Der Gradient von f ist f(, ) = f (, ) = 3 3. f (, ) 3 Die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen der Funktion f im Punkt (,, ) ist gegeben durch l(, ) = z = 3 5. Die Funktion f hat bei ( 3, 9 4) einen Sattelpunkt. b) Wir betrachten die Niveaulinie der Funktion f aus Aufgabe 4a) zur Höhe 0, also die Kurve in R, die gegeben ist durch f(, ) = 0. Diese Kurve hat drei Schnittpunkte mit der Geraden = +. Bestimmen Sie den Schnittpunkt mit negativem (< 0) -Wert. c) Wir betrachten wieder die Kurve in R, die gegeben ist durch f(, ) = 0 mit der Funktion f aus Aufgabe 4a). Rechnen Sie die Steigung dieser Kurve im Schnittpunkt aus Aufgabe 4b) aus. Hinweis: Falls Sie den Schnittpunkte nicht berechnen konnten, rechnen Sie die Steigung der Kurve im Punkt (0, ) aus. Siehe nächstes Blatt!

11 ( ) e d) Gegeben Sei das Vektorfeld K mit K(, ) = +. sin() + Berechnen Sie div(k). e) Sei K das Vektorfeld aus Aufgabe 4d). Sei B R das Gebiet, welches durch die Gerade = 4 und die Parabel = begrenzt wird (siehe Abbildung). 4 B = Berechnen Sie das Integral div(k) da. B Hinweis: Falls Sie Aufgabe 4d) nicht gelöst haben, nehmen Sie an, dass div(k) = div(k)(, ) = +. Bitte wenden!

12 5. (4 Punkte) a) MC-Aufgabe Kreuzen Sie Ihre Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? richtig falsch Das Vektorfeld K mit K(, ) = e ist konservativ. e Das Vektorfeld K mit K(, ) = e + ist konservativ. e + Das Vektorfeld K mit K(, ) = sin() ist konservativ. cos() + sin ( 3 ) Das Vektorfeld K mit K(, ) = sin + 3 ist konservativ. 3 + sin( ) Siehe nächstes Blatt!

13 b) MC-Aufgabe Kreuzen Sie Ihre Antworten direkt auf dem Aufgabenblatt an. 5 + Sei K : R R das Vektorfeld K(, ) =. 3 Weiter sei folgende positiv orientierte Kurve γ gegeben, welche das Gebiet B in der (, )- Ebene umrandet (die Pfeile kennzeichnen die Durchlaufrichtung): B γ = B Welche der folgenden Aussagen sind richtig? richtig falsch Das Arbeitsintegral vom K entlang γ ist K dγ = 0. γ Der Fluss von K durch γ von innen nach aussen ist K n ds = 0. γ Das Gebietsintegral der konstanten Funktion über B ist da = 9. B Der Flächeninhalt von B ist 4. c) Gegeben seien das Vektorfeld K und die Funktion f mit + K(, ) = + f(, ) = a( + ) 3 3 mit einer Konstanten a R. Bestimmen Sie a so, dass K das Gradientenfeld von f ist, das heisst K = f. Bitte wenden!

14 d) Sei K das Vektorfeld aus Aufgabe 5c). Sei γ = γ + γ die Kurve in der (, )-Ebene, die zusammengesetzt ist aus = von (0, 0) bis (, ) und aus der geradlinigen Verbindung von (, ) bis (, 3) (siehe Abbildung, die Pfeile kennzeichnen die Durchlaufrichtung). 3 γ γ = Berechnen Sie das Kurvenintegral von K entlang der Kurve γ = γ + γ, also Hinweis: Das geht auch ohne Parametrisierungen. γ K dγ. e) Gegeben seien die drei Kurven γ, γ und γ 3, die den Rand des Dreiecks B mit Eckpunkten (0, 0), (, 0) und (, ) bilden (siehe Abbildung, die Pfeile kennzeichnen die Durchlaufrichtung). γ 3 B γ γ Geben Sie für γ, γ und γ 3 jeweils eine mögliche Parametrisierung an. Achten Sie dabei auf die Durchlaufrichtung. Schreiben Sie Ihre Antwort direkt auf das Aufgabenblatt. γ : t γ (t) = γ : t γ (t) = γ 3 : t γ 3 (t) = für 0 t für 0 t für 0 t Sie müssen Ihre Antworten nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. Siehe nächstes Blatt!

15 f) Sei K das Vektorfeld mit K(, ) = +. + Sei γ = γ +γ +γ 3 die Kurve in der (, )-Ebene, die zusammengesetzt ist aus den Kurven γ, γ und γ 3 aus Aufgabe 5e), welche das Dreieck B mit Eckpunkten (0, 0), (, 0) und (, ) begrenzen (siehe Abbildung). γ 3 B γ γ Berechnen Sie das Flussintegral von K durch die Kurve γ = γ + γ + γ 3 von innen nach aussen, also K n ds. Hinweis: Das geht auch ohne Berechnung des Vektors n. γ