Mathematische Methoden für Informatiker

Transkript

1 Prof. Dr. baumann

2 20. Vorlesung Differentialgleichungen n-ter Ordnung Lösung einer Differentialgleichung Veranschaulichung der Lösungsmenge Anfangswertprobleme Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Beispiele

3 Beispiele für Differentialgleichungen Lineare Dgl. 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y (x) + c y(x) = f (x) Beispiele: exponentielles Wachstum, radioaktiver Zerfall, Zinsrechnung Lineare Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y (x) + σ y (x) + k y(x) = f (x) Beispiele: Pendelschwingungen, elektrischer Schwingkreis Legendre sche Dgl. (homogene lineare Dgl. 2. Ordnung) (1 x 2 )y (x) 2x y (x) + n(n + 1) y(x) = 0 (n N) Beispiele: elektromagnetische Felder, akustische Probleme

4 Differentialgleichungen n-ter Ordnung (explizite Darstellung) Eine Differentialgleichung 1. Ordnung auf einem Intervall I R ist eine Gleichung der Form y (x) = f (x, y(x)) (x I ) Dabei ist y : I C die gesuchte Funktion und f : I C C eine Funktion in zwei Veränderlichen. Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung (n N) auf einem Intervall I R ist eine Gleichung der Form y (n) = f (x, y(x), y (x),..., y (n 1) (x)) (x I ) Dabei ist y : I C die gesuchte Funktion und f : I C n C eine Funktion in n + 1 Veränderlichen.

5 Lösung einer Differentialgleichung Eine Lösung einer Differentialgleichung auf einem Intervall J I ist eine Funktion y : J C, die die Differentialgleichung erfüllt, wenn man sie und ihre Ableitung in die Gleichung einsetzt. Eine Lösung einer Differentialgleichung muss auf J I differenzierbar sein. Es ist zulässig, dass J I gilt. Hat man eine Darstellung der Lösungsschar einer Differentialgleichung (mit allen Integrationskonstanten) gefunden, spricht man von der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung. Eine anschauliche Vorstellung von den Graphen der Lösungen von Differentialgleichungen 1. Ordnung erhält man ohne diese Lösungen explizit angeben zu können durch das Richtungsfeld der Differentialgleichung: In jedem Punkt der Ebene wird die Richtung der Tangente an den Graphen der Lösung eingetragen (gekennzeichnet durch einen kurzen Abschnitt der Geraden).

6 Anfangswertprobleme Sind zu einer Differentialgleichung y (n) = f (x, y(x), y (x),..., y (n 1)(x) ) (x I ) n Bedingungen y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 gegeben, so spricht man von einer Anfangswertproblem für die gesuchte Funktion y. Dabei muss x 0 I sein. Ist das Anfangswertproblem lösbar, gibt es meist genau eine Lösung der Differentialgleichung, die die Bedingungen des Anfangswertproblems erfüllt. Man spricht dann von der Lösung des Anfangswertproblems. Es gibt auch andere Möglichkeiten, n Bedingungen zur Bestimmung der n unbekannten Integrationskonstanten zu formulieren (Randwertproblem).

7 Dgl. mit trennbaren Veränderlichen Eine Differentialgleichung der Form y (x) = g(y(x))h(x) (x I ) wird eine Differentialgleichungen mit trennbaren Veränderlichen genannt. Dabei sind g : C C und h : I C zwei Funktionen einer Veränderlichen. Lösungsmethode: Gleichung durch g(y(x)) dividieren und dann die Stammfunktionen bilden: y (x) g(y(x)) dx = h(x) dx Das Integral auf der linken Seite kann durch Substitution auf das Integral 1 g(y) dy zurückgeführt werden. Beide Integrale (falls möglich) berechnen und die resultierende Gleichung nach y(x) auflösen (falls möglich) gelingt das, hat man die allgemeine Lösung der Differentialgleichung explizit bestimmt.