5 Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 5 Gewöhnliche Differentialgleichungen 5.1 Einleitung & Begriffsbildung Slide 223 Natürliches Wachstum Eine Population bestehe zur Zeit t aus N(t) Individuen. Die Population habe konstante Geburts- und Sterberate. β = Anzahl Geburten pro Individuum und Zeiteinheit δ = Anzahl Todesfälle pro Individuum und Zeiteinheit Dann folgt N(t + t) = N(t) + β N(t) t δ N(t) t N(t + t) N(t) t = (β δ)n(t) Da N selbst im Zeitraum t variiert, ist dies eine Näherung, die sich durch Grenzwertbildung verbessern lässt, und man erhält (exakt): N(t + t) N(t) lim t 0 t = N (t) = (β δ)n(t) Slide 224 Natürliches Wachstum Der Grenzprozess 0, der zu N (t) = (β δ)n(t) führt, kann nur durchgeführt werden, wenn N(t) differenzierbar, also insbesondere stetig ist. erscheint zunächst unrealistisch... gilt aber im Grenzfall sehr großer Populationen N(t). 104

2 im Bild der Chemie: für N(t) lägen die relativen Änderungen für einen Erzeugungs- bzw. Zerfallsprozess in der Größenordnung man kann N(t) mit kleinem relativen Fehler als stetige Funktion auffassen Slide 225 Natürliches Wachstum Damit erhält man als mathematisches Modell für den Prozess N (t) = dn(t) dt = (β δ)n(t) Dabei tritt eine Funktion N(t) und die Ableitung einer Funktion N (t) auf. eine solche Gleichung heißt Differentialgleichung, kurz DGL es können auch höhere Ableitungen vorkommen Man nennt den Grad der höchsten auftretenden Ableitung (hier ist das 1) auch die Ordnung der DGL z.b. ist y (x) 2y (t) + y(t) 4 = 0 eine DGL 3. Ordnung Die natürliche Wachstumsgleichung des Eingangsbeispiels ist eine DGL 1. Ordnung: y (t) = ky(t) mit k R konstant. Slide 226 Gewöhnliche vs. Partielle Differentialgleichungen gewöhnliche DGL: es kommen nur Ableitungen nach einer unabhängigen Variable (z.b. Ort oder Zeit) vor. Beispiel: Newtonsche Bewegungsgleichungen partielle DGL: es kommen Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen (z.b. Ort und Zeit) vor. Beispiel: Schrödingergleichung Slide

3 gewöhnliche Differentialgleichung Definition: gewöhnliche Differentialgleichung Eine Gleichung, in der die Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zum n-ten Grade auftreten, heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung In impliziter Form lautet sie F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 mit y (n) der höchsten vorkommenden Ableitung. Kann man nach y (n) auflösen, so schreibt man die DGL in der expliziten Form als y (n) (x) = f(x, y, y,..., y (n 1) ) Slide 228 Beispiel: fallender Körper Ort: x(t) Geschwindigkeit v(t) = ẋ(t) = x (t) Beschleunigung a(t) = v(t) = v (t) = x (t) Newton s Bewegungsgleichung ẍ(t) = g oder x (t) = g oder x (2) (t) = g ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung deren Lösung ist eine Funktion x = x(t). Slide

4 Beispiel: fallender Körper ẋ(t) = ẍ(t)dt = gt + C 1 x(t) = ẋ(t)dt = 1 2 gt2 + C 1 t + C 0 wir erhalten die allgemeine Lösung x(t) = 1 2 gt2 + C 1 t + C 0 C 1 und C 0 sind Parameter, die mit den Anfangsbedingungen verknüpft sind. C 0 = x(t = 0) = x 0 Anfangshöhe C 1 = ẋ(t = 0) = v 0 Anfangsgeschwindigkeit Slide 230 Beispiel: fallender Körper die allgemeine Lösung ist vielseitig verwendbar Fallschirmsprung: x 0 = 5 km, v 0 = 0 senkrecht nach oben getretener Fußball: x 0 = 1 m, v 0 = +30 m/s man spricht dann auch von partikulären Lösungen Eine DGL mit Anfangswerten nennt man auch ein Anfangswertproblem. Slide 231 Beispiel: radioaktiver Zerfall Zerfall 1. Ordnung (Radioaktivität) die Rate (= Geschwindigkeit = Zahl / Zeiteinheit) von Atomzerfällen ist proportional zur Zahl der Atome (empirische Beobachtung!) dn = }{{} dt }{{} k }{{} N Geschwindigkeitskonstante Zahl Rate Slide

5 Beispiel: Chemische Reaktion A + A B + C (z.b. H 2 O + H 2 O H 3 O + + OH ) Reaktion 2. Ordnung 2 Reaktionspartner Reaktionswahrscheinlichkeit N 2 A dn A dt = kn 2 A oder bei konstantem Volumen, wenn gilt [A] = N A /V, d[a] dt = k[a] 2 mit k = k V Slide 233 Allgemeine Herangehensweise Es gibt keine allgemeinen Lösungsverfahren Lineare DGLen sind häufig leichter lösbar als nichtlineare (also solche, in denen die Funktion und ihre Ableitung nicht nur linear vorkommen) in Chemie und Physik sind viele DGLen linear es müssen viele einzelne Klassen von DGLen untersucht werden. Slide 234 Lösungsmannigfaltigkeit die allgemeine Lösung enthält n voneinander unabhängige Konstanten, die erst durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden spezielle Lösungen (partikuläre Lösungen) erhält man durch Festlegung der Konstanten. 108

6 manchmal gibt es noch Lösungen, die nicht aus den allgemeinen Lösungen durch Festlegung der Konstanten gewonnnen werden können. Diese nennt man singuläre Lösungen Im folgenden werden die Lösungswege für verschiedene Klassen von DGLen, die in Chemie und Physik vorkommen, erarbeitet Differentialgleichungen mit getrennten Variablen Slide 235 DGL mit getrennten Variablen y (t) = g(t) h(y(t)) = g(t) h(y) Lösungsverfahren: Division durch h(y) führt zu y h(y) = g(t) falls h(y) 0 unbestimmte Integration mit dem Substitutionsverfahren ergibt y dy h(y) dt = = g(t)dt h(y) }{{} Substitution Slide 236 salopp y h(y) = dy dt h(y) = g(t) dt dy h(y) = g(t)dt dy h(y) = g(t)dt 109

7 Slide 237 Beispiel natürliche Wachstumsgleichung y = ky(t) dy = kdt y ln y = kt + C 1 y = e kt+c 1 y(t) = C e kt mit C = e C 1 C kann beliebige reelle Werte annehmen, auch C = 0! Es gibt keine weiteren Lösungen.[0.4cm] Das Verfahren funktioniert für lineare und nichtlineare DGLen 5.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Slide 238 Lineare DGLen 1. Ordnung Man unterscheidet: inhomogene lineare DGL 1. Ordnung y (t) + a(t)y(t) = f(t) homogene lineare DGL 1. Ordnung y (t) + a(t)y(t) = 0 Slide

8 Lineare DGLen 1. Ordnung Theorem: Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung ist die Summe einer speziellen Lösung (der inhomogenen DGL) und der allgemeinen Lösung der homogenen DGL. Konsequenz: die spezielle Lösung darf man raten. Slide 240 Lösungsverfahren Allgemeine Lösung der homogenen DGL Ansatz: y h (t) = C e A(t) mit da(t) dt Einsetzen: = a(t) Ce A(t) da(t) dt y h(t) + a(t) y h (t) = 0 + a(t) Ce A(t) = 0 = da(t) = a(t) dt = A(t) = a(t)dt + C Dabei ist dann e C = C. Kennt man a(t) (und das unbestimmte Integral von a(t)), so liefert der Ansatz die Lösung der homogenen DGL. Slide 241 Lösungsverfahren Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL die spezielle L posung der inhomogenen DGL findet man durch Variation der Konstanten dazu macht man die Annahme C C(t) 111

9 dieser Ansatz ist immer möglich und prinzipiell gerechtfertigt. y s (t) = C(t) e A(t) y s(t) + a(t)y s (t) = f(t) C (t)e A(t) + C(t)e A(t) ( a(t)) +a(t) C(t)e A(t) = f(t) C (t)e A(t) = f(t) = C (t) = f(t) e A(t) Slide 242 Lösungsverfahren Gesamtlösung Integriere C (t): C(t) = f(t)e A(t) dt = y(t) = C e A(t) + e A(t) f(t)e +A(t) dt (mit C R beliebig) ist die allgemeine Lösung von y + a(t)y = f(t) (in der obigen Formel stehen nur Größen, die entweder Teil der Problemstellung waren (a(t), f(t)) oder sich aus diesen durch einfache Integration (im Prinzip) berechnen lassen) Slide 243 Beispiel Allgemeine Lösung der homogenen DGL y (x) + 2xy = 2x mit y(0) = 0 (x statt t als unabhängige Variable) 112

10 homogene DGL y h(x) + 2xy h = 0 = y h = 2xy h dyh = = 2 xdx y h = ln y h = x 2 + C = y h = C e x2 Slide 244 Beispiel Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL Variation der Konstanten y = C(x)e x2 Einsetzen in die DGL und Ausrechnen der Ableitung y + 2xy = 2x C (x) e x2 2x C(x) e x2 +2x C(x) e x2 = 2x C (x) e x2 = 2x C (x) = 2x e x2 C(x) = 2x e x2 dx C(x) = e x2 + C Slide 245 Beispiel Gesamtlösung Einsetzen von y = 1 + C e x2 in y + 2xy = 2x: 2x Ce x2 + 2x (1 + C)e x2 = 2x Anfangsbedingung: y(0) = 0 = C = 1 113

11 Gesamtlösung des Anfangswertproblems: y = 1 e x2 [0.5cm] das war das formale Verfahren Man hätte diese DGL auch einfacher dadurch lösen könnnen, dass man sofort die Substitution z := y 1 z = y z 0 = 1 gemacht hätte. Dann hätte man nur noch die homogene DGL lösen müssen und am Schluss wieder z durch y 1 ersetzen müssen 5.4 Lineare DGLen 2. Ordnung Slide 246 Lineare DGL 2. Ordnung Die lineare DGL 2. Ordnung y (t) + a(t) y (t) + b(t) y(t) = f(t) kann nicht in allgemeiner Form gelöst werden Man muss eine Fallunterscheidung durchführen. Wir betrachten hier nur den wichtigen (einfachsten) Fall, wenn a und b Konstanten sind. Slide 247 Lineare DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die DGL y (t) + ay (t) + by(t) = f(t) heißt lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a und b. Ihre Lösung ist wieder (wie für die lineare DGL 1. Ordnung) die Summe aus einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL und der allgemeinen Lösung der homogenen DGL. (Allerdings sind die Lösungswege im Detail verschieden.) Slide

12 Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Exponentialansatz für die homogene Lösung: y h = e λ t mit λ C Einsetzen: = λ 2 e λt + a λ e λt + b e λt = 0 : e λt = λ 2 + aλ + b = 0 Es gibt 2 Lösungen! = λ = a 2 ± D mit D = a2 4 b Slide 249 Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten allgemein hat eine lineare DGL n. Ordnung n linear unabhängige Lösungen. hier müssen 3 Fälle unterschieden werden. Fall 1: D > 0: beide Lösungen λ 1/2 sind reell! y(t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t = y 1 (t) + y 2 (t) mit c 1, c 2 R exponentiell abfallende Lösung mit 2 Zeitkonstanten Fall 2: D = 0, also a 2 = 4b: doppelte reelle Lösung! Die allgemeine Lösung lautet dann: y(t) = (c 1 + c 2 t)e λ1t mit c 1, c 2 R (s.u.) sogenannter aperiodischer Grenzfall Fall 3: D < 0: zwei konjugierte komplexe Lösungen: λ 1 = a 2 + iω und λ 2 = a 2 iω mit ω = D exponentiell abklingende periodische Lösungen Slide

13 Fall 3: periodische Lösungen exponentiell abklingende harmonische Schwingungen Aus der Eulerschen Formel folgt dann e λ 1t e λ 2t = e a 2 t e iωt = e a 2 t [cos(ωt) + i sin(ωt)] = e a 2 t e iωt = e a 2 t [cos(ωt) i sin(ωt)] es gibt 2 komplexe (zueinander komplex konjugierte) Lösungen = Real- und Imaginärteil sind ebenfalls Lösungen = die allgemeine Lösung lautet entweder y h (t) = e a 2 t [ Ce iωt + C e iωt] C C oder y h (t) = e a 2 t [c 1 cos(ωt) + c 2 sin(ωt)] c 1, c 2 R Slide 251 Fall 3: periodische Lösungen exponentiell abklingende harmonische Schwingungen y h (t) = y 1 (t) + y 2 (t) = e a 2 t [ Ce iωt + C e iωt] C C = e a 2 t [c 1 cos(ωt) + c 2 sin(ωt)] c 1, c 2 R Die beiden Teilfunktionen y 1 (t) und y 2 (t) sind linear unabhängig! αy 1 (t) + βy 2 (t) = 0 = α = β = 0 Wenn a = 0, dann handelt es sich um eine ideale, ungedämpfte harmonische Schwingung Slide

14 Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Schritt 2: Auffinden der speziellen Lösungen der inhomogenen DGL y + ay + by = f(t) gelingt durch Raten (auf mathematisch : Ansatz ) Für 2 Klassen von Funktionen f(t) gelingt ein solcher Ansatz a) f(t) = e αt [a 1 cos ωt + a 2 sin ωt] = Ansatz y s (t) = e αt [b 1 cos ωt + b 2 sin ωt] b) f(t) = a n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0 = Ansatz y s (t) = b n t n + b n 1 t n b 1 t + b 0 Slide 253 Beispiel y (x) + y(x) = x + x 2 mit y 0 = y(0) = 0 und y 0 = y (0) = 1 homogene Lösung a = 0, b = 1!! = D = 1 = ω = 1 y h (x) = c 1 cos x + c 2 sin x inhomogene Lösung mit Ansatz y s (x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2... Einsetzen Slide

15 Beispiel Ansatz y s (x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 = y s(x) = b 1 + 2b 2 x und y s (x) = 2b 2 Einsetzen in die DGL y + y = x + x 2 ergibt: 2b 2 + b 0 + b 1 x + b 2 x 2 = x + x 2 Damit diese Beziehung für alle x gilt, müssen die Koeffizienten der Potenzen von x jeweils identisch sein. = x 0 : 0 = 2b 2 + b 0 x 1 : 1 = b 1 x 2 : 1 = b 2 = b 0 = 2 = y s (x) = x 2 + x 2 Slide 255 Beispiel GesamtLösung y(x) = c 1 cos x + c 2 sin x + x 2 + x 2 Anfangswerte: y 0 = 0 = c 1 = 2, c 2 beliebig 1. Ableitung: y (x) = 2 sin x + c 2 cos x + 2x + 1 Anfangswerte: y 0 = 1 = c 2 = 0 2. Ableitung: y (x) = 2 cos x + 2 Probe: 2 cos x cos x + x 2 + x 2 = x 2 + x 118

16 5.5 Systeme von linearen DGLen Slide 256 Systeme von linearen DGLen 1. Ordnung Wir betrachten das folgende System elementarer chemischer Reaktionen A k 1 B k 2 k 3 C Die Konzentrationsänderungen mit der Zeit genügen den DGLen da dt = k 1 c A db dt = k 1 c A k 2 c B +k 3 c C dc dt = +k 2 c B k 3 c C Slide 257 Vektorschreibweise A setze y = B und A = C k k 1 k 2 k 3 0 k 2 k 3 dann lauten die Gleichungen in Matrixschreibweise y (t) = A y(t) Wir versuchen wieder einen Exponentialansatz wie im Falle einer einzelnen Gleichung also y(t) = e λt z mit λ C und z C n, z 0 Man erhält für jede Zeit t die(selbe) Eigenwertgleichung λe λt z = Ae λt z Beachte: Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor festgelegt. Slide

17 Eigenwertgleichungen aus der linearen Algebra ist bekannt, dass das der Eigenwertgleichung zugrunde liegende Gleichungssystem nur dann eine nichttriviale Lösung hat, wenn die Determinante A λe n = 0 Auffinden der Nullstellen des charakteristischen Polynoms = Eigenwerte λ i Slide 259 Systeme Theorem: von Differentialgleichungen DGL-Systeme 1. Ordnung 1. Ordnung Lösungen eines Systems aus n DGLen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y (t) = Ay(t) mit A einer n n-matrix mit reellen Koeffizienten: die allgemeine Lösung des DGL-Systems ist eine Linearkombination von n linear unabhängigen (l.u.) Lösungen Man bestimmt zunächst die Eigenwerte. Zu jedem Eigenwert λ i ist e λit eine Lösung Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind l.u. Kommt derselbe Eigenwert λ i k-mal (k > 1) vor, so sind die insgesamt k Lösungen t m e λit, m = 0, 1,..., k 1 alle l.u. Lösungen Ist ein Eigenwert komplex, so sind der Realteil und der Imaginärteil jeweils eine l.u. Lösung. Der ebenfalls vorkommende Eigenwert λ i ergibt keine neuen Lösungen. Slide 260 Beispiel Konkretisierung: k 1 = 1, k 2 = 2, k 3 = 3 = A = Eigenwerte A λe = 1 λ λ λ 120

18 = ( 1 λ) [( 2 λ)( 3 λ) 6] = ( 1 λ) [ λ 2 + 5λ ] = (λ + 1)λ(λ + 5) Slide 261 Beispiel Eigenwerte λ 1 = 1, λ 2 = 0, λ 3 = 5 Eigenvektor zu λ 1 = 1 : z T = ( 2, 1, 1) Eigenvektor zu λ 2 = 0 : z T = (0, 3, 2) Eigenvektor zu λ 3 = 5 : z T = (0, 1, 1) Die allgemeine Lösung lautet: 2 y(t) = α mit α i R e t + α α e 5t Slide 262 Beispiel Anfangsbedingungen: c A (0) = a, c B (0) = c C (0) = 0 α α α = a 0 0 Lösung: α 1 = a 2, α 2 = + a 5, α 2 = a 10 Slide

19 Beispiel man erhält c A (t) = ae t ( 3 c B (t) = a e t 1 ) 10 e 5t ( 2 c C (t) = a e t + 1 ) 10 e 5t Slide 264 Beispiel Kinetik des Erreichens des chemischen Gleichgewichtes Slide 265 Schlussbemerkungen Ein System aus n gekoppelten) linearen DGLen 1. Ordnung ist äquivalent zu einer linearen DGL n. Ordnung (Beweis durch Einsetzen) Analoges gilt in umgekehrter Richtung: Eine DGL 2. Ordnung ist äquivalent zu zwei DGLen 1. Ordnung 122

20 Beispiel: Newtonsche Bewegungsgleichungen: mx (t) = F (t) Hamiltonsche Bewegungsgleichungen: p (t) = F (t) und mx (t) = p(t) 123