Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 1

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1 Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche Einführung. Modelle Eine gewöhnliche Differentialgleichung gibt eine Relation zwischen einer unbekannten Funktion und deren Ableitung(en). Nun kann man unendlich viele solcher Gleichungen hinschreiben und um einigermaßen Struktur anzubringen, betrachtet man einfache Gleichungen die helfen, die auftretenden Phänomene zu verstehen. Andererseits betrachtet man auch Gleichungen, die ihre Bedeutung aufgrund der Anwendungen bekommen. Die Aufgabe eines Mathematikers ist es, aus der Differentialgleichung und Nebenbedingungen wie Rand- oder Anfangswerte die Eigenschaften der Lösungen herauszufinden. Eine Lösung ist zu verstehen als eine Funktion, welche die Gleichung und Nebenbedingung erfüllt. Nur relativ selten lässt sich eine explizite geschlossene Formel für die Lösung(en) herleiten. Bemerkung.0. Differentialgleichungen bilden die Sprache für viele Prozesse aus der Physik, Mechanik, Biologie, Wirtschaft etc. Die Herleitung einer Gleichung, die einen derartigen Prozess bescheiben soll, ist ein Fach für sich. Das bedeutet nicht, dass diese Modellierung unabhängig ist von den mathematischen Grundlagen. Nur wenn die Lösung die Eigenschaften hat, die in der Anwendung beobachtet werden, kann das Modell richtig sein. Wir geben einige einfache Beispiele. Beispiel. Ein fallender Apfel: h (t) = g. Die Gleichung trifft zu wenn man die Reibung vernachlässigt und nur solange der Apfel den Boden nicht berührt. Zusätzliche Bedingungen sind, wenn man den Apfel am Zeitpunkt t 0 in Höhe h 0 > 0 fallen läßt: h(t 0 ) = h 0 und h (t 0 ) = 0. Die Lösung zu diesem Anfangswertproblem ist leicht zu finden: h(t) = h 0 g (t t 2 0) 2. [ Wenn der Boden die Höhe 0 hat, dann gilt t t 0, t 0 + ] 2h 0 /g.

2 2 6. Oktober 2008 Woche, Einführung Beispiel.2 Ein Fahrzeug bei Vollbremsung: x (t) = c sign (x (t)). Auch hierzu gibt es Anfangswerte wie zum Beispiel: x(0) = 0 und x (0) = v 0. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, hat man x (t) = c und es folgt x (t) = v 0 c t und x(t) = v 0 t c 2 t2. Für t = t := v 0 /c gilt x (t ) = 0 und für t > t kann man eigentlich nur x (t) = 0 und x(t) = v 0 t c 2 t2 = 2 v2 0/c als vernünftige Fortsetzung nehmen. Die Funktion { v0 t c 2 t2 für t [0, t ], x(t) = ist nicht zweimal differenzierbar. 2 v2 0/c für t > t, v 0 0 Abbildung.: Profil der Geschwindigkeit v(t) bei einer Vollbremsung. Beim Knick ist v nicht differenzierbar. Beispiel.3 Lineares Wachstum y (t) = c y(t). Diese Differentialgleichung ist so ungefähr die einfachste. Für beliebige α R ist eine Lösung. y(t) = α e c t mit t R Beispiel.4 Die logistische Gleichung (Wachstum mit Beschränkung) Lösungen sind y (x) = c y(x) ( y(x)). y(x) = für x R, y(x) = für x R, α < 0 : y(x) = ecx für x R, e cx α α > 0 : y(x) = ecx für x (, e cx α c α > 0 : y(x) = ecx für x (, ln α). e cx α c Es ist üblich als Lösung nur Funktionen zuzulassen, die auf einem Interval definiert sind. Die letzten zwei Funktionen werden als unterschiedliche Lösungen betrachtet.

3 . Modelle 6. Oktober Abbildung.2: Skizze einiger Lösungen der logistischen Gleichung. Nur nicht-negative Lösungen entsprechen Größen die physikalisch vernünftig sind. Beispiel.5 Ein durchbiegender Balken: ( y (x) ( + (y (x)) 2) 5/2 ) = f(x). Nimmt man an, dass der Balken fast horizontal liegt, approximiert man das Model mit der Vereinfachung y (x) = f(x). Hier ist f die Kraftdichte und y die Auslenkung. Ist der Balken eingemauert an den Stellen 0 und l, dann hat man als Randbedingungen y(0) = y (0) = y(l) = y (l) = 0. Liegt der Balken an beiden Seiten auf, dann passt y(0) = y (0) = y(l) = y (l) = 0. Ist es ein Springbrett im Schwimmbad, dann hat man y(0) = y (0) = y (l) = y (l) = 0. Beispiel.6 Wasser in einem Eimer mit Loch: h (t) = c h(t). (.) Der physikalische Satz von Torricelli besagt, dass die Geschwindigkeit mit dem das Wasser herausströmt, proportional zur Quadratwurzel der Höhe ist. Man findet die Lösungen { ( h0 h(t) = c (t t 2 0) ) 2 für t [ ] t 0, t 0 + c 2 h0, 0 für t ( t 0 + c 2 h0, ). Auch h(t) = 0 für alle t R ist eine Lösung. Beispiel.7 Die Lösungen von k (t) = c k(t) (.2) sind k(t) = k 0 e c(t t 0). Wenn man nun vegleicht mit dem letzten Beispiel, dann soll einem auffallen, dass wenn man (t, k(t )) kennt, man die Vergangenheit konstruieren kann. Die Differentialgleichung ist in positiver und negativer Zeitrichtung eindeutig lösbar. Die Lösungen von (.) sind es nicht.

4 4 6. Oktober 2008 Woche, Einführung h 0 0 Abbildung.3: Skizze zu Beispiel.6. In endlicher Zeit ist der Eimer leer. Zwei Lösungen sind identisch für t genügend groß. k 0 0 Abbildung.4: Skizze zu Beispiel.7. Wenn positiv gestartet wird, wird die Lösung zwar klein aber nie gleich 0. Unterschiedliche Lösungen treffen sich nicht..2 Explizite Lösungen Erstens definieren wir eine Lösung. Definition.8 Sei f : [a, b] [c, d] R 2 R gegeben und sei (x 0, y 0 ) (a, b) (c, d). Eine Lösung vom Anfangswertproblem { y = f (, y), y(x 0 ) = y 0, ist eine stetige Funktion y : I R mit I ein Intervall derart, dass x 0 I [a, b]. Die Funktion y erfüllt außerdem. y(x 0 ) = y 0 y (I) [c, d], und 2. y ist auf I differenzierbar und y (x) = f (x, y(x)) für x I mit Ausnahme von höchstens isolierten Stelllen. I heißt das Existenzintervall der Lösung. Das größt mögliche Existenzintervall nennt man das maximale Existenzintervall der Lösung. Bemerkung.8. Wenn f stetig ist, kann man zeigen, dass eine Lösung stetig differenzierbar ist und die Differentialgleichung für jedes x I o erfüllt ist. Wir stellen einige der explizit lösbaren Typen von Gewöhnliche Differentialgleichungen vor.

5 .2 Explizite Lösungen 6. Oktober Trennbar Definition.9 Eine Differentialgleichung der Form heißt trennbar. x (t) = f (x(t)) g (t) Trennbar wird auch separierbar genannt. Algorithmus. [für die Lösung einer trennbaren Dgl.] 0. Nullstellen von f sind konstante Lösungen: Wenn f (x 0 ) = 0 dann ist x(t) = x 0 für t R eine Lösung.. Wenn f(x 0 ) 0 trennt man durch f (x(t)) x (t) = g (t). 2. Formale Integration und Substitution x = x(s): x(t) t f (x) dx = t f (x(s)) x (s)ds = g (s) ds. 3. Man suche eine Stammfunktion H zu x f(x) zu s g(s) und es folgt mit c eine Konstante. H (x(t)) = G(t) + c und eine Stammfunktion G 4. Wenn möglich invertiert man H: x(t) = H inv (G(t) + c) Die Lösung ist erst vollständig wenn auch das Existenzintervall beschrieben wird. Beispiel.0 Man finde die Lösungen zu y (x) = + y(x) 2. Diese Differentialgleichung ist trennbar, denn man kann sie schreiben als + y(x) 2 y (x) =. Stammfunktionen zu y +y 2 und x ergeben arctan (y(x)) = x + c und nach invertieren folgen die Lösungen für c R y(x) = tan (x + c). Die zugehörige Existenz-Intervalle findet man durch x + c = ± π: 2 x ( 2 π c, 2 ) π c. Stammfunktionen finden ist eine Arbeit, die Computer-Algebra Programme wie Maple oder Mathematica sehr schnell ausführen können. Das heißt, wenn es eine explizite Stammfunktion gibt, dann wird sie schnell gefunden. Mathematica hat sogar eine online Integrator:

6 6 6. Oktober 2008 Woche, Einführung.2.2 Linear erster Ordnung Definition. Eine Differentialgleichung der Form x (t) = f (t) x(t) + g (t) heißt linear erster Ordnung. Algorithmus.2 [für die Lösung einer linearen Dgl. erster Ordnung]. Man löst die reduzierte Differentialgleichung x (t) = f (t) x(t). Diese ist trennbar und die Lösungen sind x(t) = C e F (t) F eine Stammfunktion von f. mit C R und 2. Man substituiert x(t) = C(t) e F (t) (dieser Trick heißt Variation der Konstanten). Die Differentialgleichung wird C (t) e F (t) + C(t) e F (t) f(t) = f (t) C(t) e F (t) + g (t). und vereinfacht zu C (t) = g (t) e F (t). 3. Man suche eine Stammfunktion.2.3 Homogen C(t) = c + t t 0 g(s)e F (s) ds. Definition.2 Eine Differentialgleichung der Form ( ) x(t) x (t) = f t heißt homogen. Algorithmus.3 [für die Lösung einer homogenen Dgl.]. Man substituiert u(t) = x(t)/t und findet t u (t) + u(t) = f (u(t)). 2. Diese Differentialgleichung lässt sich trennen, u (t) = ( f (u(t)) u(t) ) t, und wird weiter als trennbar gelöst. 3. Nach lösen u(t) wieder ersetzen durch x(t)/t.

7 .2 Explizite Lösungen 6. Oktober Bernoulli und Riccati Definition.3 Eine Differentialgleichung der Form mit m {0, } ist nach Bernoulli benannt. x (t) = f(t) x(t) + g (t) x(t) m Algorithmus.4 [für die Lösung einer Dgl. von Bernoulli]. Man substituiert x(t) = u(t) α, findet und vereinfacht zu α u (t)u(t) α = f(t) u(t) α + g (t) u(t) αm, α u (t) = f(t) u(t) + g (t) u(t) α(m )+. 2. Nimmt man α (m )+ = 0 wird die Differentialgleichung linear erster Ordnung. Definition.4 Eine Differentialgleichung der Form ist nach Riccati benannt. x (t) = h(t) + f(t) x(t) + g (t) x(t) 2 Algorithmus.5 [für die Lösung einer Dgl von Riccati]. Diese Differentialgleichung kann man explizit lösen, wenn man das Glück hat eine Lösung zu sehen. Sei x(t) diese eine Lösung. Man substituiere x(t) = x(t) + y(t) und finde x (t) + y (t) = h (t) + f(t) ( x(t) + y(t)) + g(t) ( x(t) + y(t)) 2 und weil x eine Lösung ist, folgt nach Vereinfachung 2. eine Bernoulli Differentialgleichung:.2.5 Exakt y (t) = (2g(t) x(t) + f(t)) y(t) + g(t) y(t) 2. Definition.5 Eine Differentialgleichung der Form heißt exakt. d F (x(t), t) = 0 dt Eine solche Differentialgleichung hat also die Form F (x(t), t) x (t) + 2 F (x(t), t) = 0. Man sieht nicht F sondern die beiden partiellen Ableitungen.

8 8 6. Oktober 2008 Woche, Einführung Algorithmus.6 [für die Lösung einer exakten Dgl.]. Lösungen sind F (x(t), t) = c mit c R. 2. Wenn möglich löse man x(t). Das Problem bei exakten Differentialgleichungen ist wie man sie erkennt. Man bekommt sie selten in der Form wie oben, sondern hat eine Gleichung wie G (x(t), t) x (t) + H (x(t), t) = 0. (.3) Lemma.6 (eine notwendige Bedingung für eine exakte Dgl.) Nehme an, dass G und H stetig differenzierbar sind. Wenn die Differentialgleichung (.3) exakt ist, dann gilt G (x, t) = H (x, t). (.4) t x Beweis. Es soll gelten x F (x, t) = G (x, t) und F (x, t) = H (x, t). t Sind die Funktionen G und H stetig differenzierbar, dann folgt mit dem Vertauschungssatz von Schwarz, dass t G (x, t) = F (x, t) = H (x, t). (.5) t x x Ist das Gebiet einfach zusamenhängend, dann kann man zeigen, dass (.4) nicht nur notwendig sondern auch ausreichend für die Exaktheit ist. Ist diese Bedingung erfüllt, dann findet man F (x, t) als eine Stammfunktion von x G(x, t): F (x, t) = x G(ξ, t)dξ + C(t). Die Funktion C findet man durch ( x G(ξ, t)dξ) + C (t) = H (x, t). t Wenn eine Differentialgleichung nicht exakt ist, kann man versuchen, sie exakt zu machen, indem man sie mit einer geschickt gewählten Funktion multipliziert. So eine geschickt gewählte Funktion heißt ein integrierenden Faktor. Die Suche nach einer solchen Funktion ist meistens hoffnungslos. Versucht man nämlich für (.3) ein integrierenden Faktor µ (x, t) zu finden, dann soll nach (.5) gelten, dass und das wird eine partielle Differentialgleichung. (µ (x, t) G (x, t)) = (µ (x, t) H (x, t)) t x µ t G + µ G t = µ x H + µ H x,

9 Literaturverzeichnis [] Robert L. Borrelli und Courtney S. Coleman, Differential equations. A modeling perspective. John Wiley & Sons, Inc., New York, 998. ISBN: [2] Harro Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, ISBN: [3] James Hetao Liu, A first course in the qualitative theory of differential equations, Pearson Education, New Jersey, ISBN: [4] Wolfgang Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung. Springer- Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, 993. ISBN: X 9