Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (A)

Transkript

1 1 Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure (A) Sommersemester 2017 Kapitel 8: Gewöhnliche Differenzialgleichungen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 4. Mai 2017) 1 / 29

2 Gewöhnliche DGL 2 Definition 8.1 Eine (explizite) gewöhnliche Differenzialgleichung n-ter Ordnung für eine Funktion y : I R auf einem Intervall I R hat die Form y (n) (t) = f (t, y(t), y (t),..., y (n 1) (t)) für alle t I, wobei f eine Funktion (ein Ausdruck ) in n + 1 Veränderlichen ist. 2 / 29

3 Anfangswertproblem Definition 8.2 Ein Anfangswertproblem n-ter Ordnung besteht aus einer DGL n-ter Ordnung 3 y (n) (t) = f (t, y(t), y (t),..., y (n 1) (t)) (2) auf einem Intervall I R und vorgegebenen Werten y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = y 1,..., y (n 1) (t 0 ) = y n 1 (3) an einer Stelle t 0 aus (dem Abschluss von) I. 3 / 29

4 Richtungsfeld zu y (t) = 1 y(t)2 1+t / 29

5 Richtungsfeld zu y (t) = 2ty(t) 1 t / 29

6 Richtungsfeld zu y (t) = (t 1)2 y(t) 1+t / 29

7 Separable DGL 7 Definition 8.3 Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form y (t) = g(y(t)) h(t) heißt separabel (Trennung der Veränderlichen). 7 / 29

8 y (t) = t(1 + y(t) 2 ) / 29

9 Lineare DGL 1. Ordnung 9 Definition 8.4 Eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung (in expliziter Form) hat die Gestalt y (t) = a(t)y(t) + b(t) (4) (mit vorgegebenen Funktionen a(t) und b(t)). 9 / 29

10 Lineare DGL n. Ordnung 10 Definition 8.5 Eine lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung (in expliziter Form) hat die Gestalt y (n) (t) = a n 1 (t)y (n 1) (t) + a n 2 (t)y (n 2) (t)+ + a 0 (t)y(t) + b(t) (mit vorgegebenen Funktionen a i (t), b(t)). 10 / 29

11 y (t) = (t 1)2 y(t) 1+t / 29

12 Umschreiben zu 1. Ordnung 12 Bemerkung 8.6 Jede (explizite) DGL und jedes (explizite) DGL-System beliebiger Ordnung lässt sich umschreiben in ein DGL-System 1. Ordnung (höherer Dimension). 12 / 29

13 Dynamische Systeme 13 Definition 8.7 DGL-Systeme 1. Ordnung nennt man auch dynamische Systeme. Ihre Lösungen x : R I R m heißen auch Phasenkurven oder Phasenbahnen im Phasenraum R m. 13 / 29

14 Autonome Systeme 14 Definition 8.8 Ein DGL-System (1. Ordnung) der Form x (t) = G(x(t)) (in dem auf der rechten Seite t nicht explizit, sondern nur in x(t) vorkommt) heißt ein autonomes System. 14 / 29

15 Umschreiben in autonome Systeme 15 Bemerkung 8.9 Jedes dynamische System mit m Gleichungen lässt sich zu einem autonomen System mit m + 1 Gleichungen umschreiben. 15 / 29

16 16 x 1 (t) = x 1(t) x 2 (t), x 2 (t) = x 1(t) + x 2 (t) / 29

17 17 x 1 (t) = x 1(t) x 2 (t), x 2 (t) = x 1(t) + x 2 (t) / 29

18 Satz von Picard-Lindelöf 18 Satz 8.10 Ist G : R R m U R m (U offen) stetig differenzierbar, so ist für jedes (t 0, x (0) ) U das Anfangswertproblem eindeutig lösbar. x (t) = G(t, x(t)), x(t 0 ) = x (0) 18 / 29

19 Lineare DGL-Systeme 19 Satz 8.11 Haben A(t) und b(t) auf dem Intervall I R stetige Komponentenfunktionen a ij (t) bzw. b i (t) und ist t 0 I, so hat das Anfangswertproblem x (t) = A(t)x(t) + b(t) x(t 0 ) = η (0) für jedes η (0) R n genau eine auf ganz I definierte Lösung x : I R n. 19 / 29

20 Lösungsräume linearer DGL-Systeme 20 Satz 8.12 Sei x P (t) irgendeine Lösung (partikuläre Lösung) des Systems x (t) = A(t)x(t) + b(t). (12) Dann sind die Lösungen von (12) genau die Funktionen y P (t) + y H (t), wobei y H (t) die Lösungen des zu (12) gehörenden homogenen Systems x (t) = A(t)x(t) durchläuft. 20 / 29

21 Der homogene Fall 21 Satz 8.13 Der Lösungsraum eines homogenen Systems x (t) = A(t)x(t) (13) mit stetig von t abhängigen Matrizen A(t) R n n ist ein n-dimensionaler Vektorraum. 21 / 29

22 Wronski-Matrix Satz 8.14 Für jedes t aus dem Inneren des Intervalls I gilt: Lösungen x [1] (t),..., x [n] (t) : I R n eines homogenen DGL-Systems x (t) = A(t)x(t) sind genau dann linear unabhängig (d. h. eine Lösungsbasis), wenn die Wronski-Matrix W (t ) = x [1] 1 (t )... x [n] 1 (t ).. x [1] n (t )... x [n] n (t ) 22 rang(w (t )) = n hat bzw. dazu äquivalent für die Wronski-Determinante det (W (t )) 0 gilt. 22 / 29

23 Variation der Konstanten 23 Satz 8.15 Sei x [1] (t),..., x [n] (t) eine Lösungsbasis des homogenen Systems x (t) = A(t)x(t). Für alle t I R sei c(t) = (c 1 (t),..., c n (t)) die Lösung des linearen Gleichungssystems W (t) c(t) = b(t) (W (t): Wronskimatrix der Lösungsbasis). Seien C i (t) Stammfunktionen von c i (t). Dann ist y P = C 1 (t) x [1] (t) + + C n (t) x [n] (t) (partikuläre) Lösung von x (t) = A(t)x(t) + b(t). 23 / 29

24 Lin. DGL Ord. n: Existenz/Eindeutigkeit Satz 8.16 Sind a 0 (t), a 1 (t),..., a n 1 (t) und β(t) auf dem Intervall I R stetig, und ist t 0 I, so hat das Anfangswertproblem 24 y (n) (t) = a n 1 (t)y (n 1) (t) + a n 2 (t)y (n 2) (t) + + a 0 (t)y(t) + β(t) y(t 0 ) = η 0, y (t 0 ) = η 1, y (2) (t 0 ) = η 2,..., y (n 1) (t 0 ) = η n 1 für alle η 0,..., η n 1 R genau eine auf ganz I definierte Lösung y : I R. 24 / 29

25 Lin. DGL Ord. n: Lösungsraum Satz 8.17 Sei y P (t) irgendeine Lösung (partikuläre Lösung) der DGL 25 y (n) (t) = a n 1 (t)y (n 1) (t) + + a 0 (t)y(t) + β(t). Dann sind die Lösungen der DGL genau die Funktionen y P (t) + y H (t), wobei y H (t) die Lösungen des zugehörigen homogenen Systems y (n) (t) = a n 1 (t)y (n 1) (t) + + a 0 (t)y(t) durchläuft. 25 / 29

26 26 Lin. DGL Ord. n: Lösungsraum (homogen) Satz 8.18 Der Lösungsraum einer homogenen DGL y (n) (t) = a n 1 (t)y (n 1) (t) + + a 0 (t)y(t) mit stetigen Funktionen a 0 (t), a 1 (t)..., a n 1 (t) ist ein n-dimensionaler Vektorraum. 26 / 29

27 Lin. DGL Ord. n: Wronski-Test Satz 8.19 Lösungen y 1 (t),..., y n (t) : R I R einer homogenen DGL n-ter Ordnung 27 y (n) (t) = a n 1 (t)y (n 1) (t) + a n 2 (t)y (n 2) (t) + + a 0 (t)y(t) sind genau dann linear unabhängig (d. h. eine Lösungsbasis), wenn die Wronski-Matrix W (t) für irgendein t I den Rang rang(w (t)) = n hat bzw. dazu äquivalent für die Wronski-Determinante det (W (t)) 0 gilt. 27 / 29

28 Lin. DGL Ord. n: Wronski-Matrix 28 W (t) = y 1 (t)... y n (t) y 1 (t).... y n(t). 1 (t)... y n (n 1) (t) y (n 1) 28 / 29

29 Lin. DGL Ord. n: Variation der Konst. 29 Satz 8.20 Sei y 1 (t),..., y n (t) eine Lösungsbasis einer homogenen DGL n-ter Ordnung. Für alle t I R sei c(t) = (c 1 (t),..., c n (t)) die Lösung des linearen Gleichungssystems W (t) c(t) = b(t) (W (t): Wronskimatrix, b(t) = (0,..., 0, β(t))). Seien C i (t) Stammfunktionen von c i (t). Dann ist y P = C 1 (t) y 1 (t) + + C n (t) y n (t) eine (partikuläre) Lösung der zugehörigen DGL y (n) = + β(t) mit Inhomogenität β(t). 29 / 29