Aufgabe 1 (Richtungsfeld). Zeichnen Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung. u = 2u 2 tu t 2 2t an den Stellen. = v , 1

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1 Vertiefung NWI: Gewöhnliche Differentialgleichungen Wintersemester 06/07 Dozent: Dr. Denny Otten Aufgaben zur Klausurvorbereitung Abgabe: nicht vorgesehen. Übung : Mo. 6-8 Uhr V5-48 Philipp Külker philipp.kuelker@uni-bielefeld.de Postfach 94 in V3-8. Übung : Mi. 8-0 Uhr V5-48 Simon Dieckmann simon.dieckmann@uni-bielefeld.de Postfach 8 in V3-8. Übung 3: Do Uhr V5-48 Andre Wilke awilke@math.uni-bielefeld.de Postfach 79 in V3-8. Übung 4: Do Uhr T-0 Markus Ebke markus.ebke@uni-bielefeld.de Postfach 77 in V3-8. Übung 5: Fr. -4 Uhr V4-9 Carolin Herrmann carolin.herrmann@uni-bielefeld.de Postfach 87 in V3-8. Aufgabe (Richtungsfeld). Zeichnen Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung u = u tu t t an den Stellen ( ) t = v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3. in ein (tv)-koordinatensystem der Größe [ 4] [ 53]. Aufgabe (Niveaulinien Isoklinen). Zeichnen Sie die Niveaulinien der Funktion zum Niveau 0 und. f(tv) = v t (tv) [ ] [ ] Aufgabe 3 (Projiziertes Richtungsfeld). Zeichnen Sie das projizierte Richtungsfeld der Differentialgleichung an den Stellen ( v v ) = ( ) u =u u u =u u Aufgabe 4 (Differential- vs. Integralgleichung). (a) Bestimmen Sie die zur Anfangswertaufgabe äquivalente Integralgleichung. ( ) ( ) ( ). u =5u +3u u (0) = u = 4u u u (0) = (b) Bestimmen Sie die zur Integralgleichung t ( ) u(t) = 5+ u(s) +scos(u(s)) ds äquivalente Anfangswertaufgabe.

2 Aufgabe 5 (Lipschitz-Beschränktheit). Erfüllen die folgenden Funktionen sinv v < 0 (a) f(tv) = vsin(t) (e) f(tv) = e v v 0 sinv v < 0 (b) f(tv) = vsin(v)cos(v) (f) f(tv) = e v v 0 ( ( )) ( ) v t sinv v < 0 (c) f t = (g) f(tv) = v t v v ve v v 0 ( ( )) ( ) v v (d) f t = v cos(t)v sin(t)v die Lipschitz-Bedingung L 0 : f(tv) f(tw) L v w t Rvw R n wobei = die Maximumsnorm bezeichnet? Geben Sie gegebenenfalls eine möglichst kleine Lipschitz-Konstante L an. Aufgabe 6 (Picard-Iteration). Berechnen Sie für die Anfangswertaufgaben (a) u = u u() = ( ) ( ) ( ) 0 (b) u = u+ u(0) = 0 0 jeweils die ersten drei Picard-Iterierten v 0 (t)v (t)v (t). Aufgabe 7 (Lokale Existenz- und Eindeutigkeit). u = uexp(u) t J u() = mit J = [ ] und f(tv) := vexp(v). Zeigen Sie für Q β = v R v β} = [ β+β] β > 0 dass die Funktion f Lipschitz-beschränkt auf J Q β ist und geben Sie eine Lipschitz-Konstante L β 0 an. Bestimmn Sie anschließend (mit dem lokalen Satz von Picard-Lindelöf) ein Intervall I J auf dem die Anfangswertaufgabe eine eindeutige lokale Lösung u C (IR) besitzt. Aufgabe 8 (Eindeutige Lösbarkeit). Zeigen Sie dass die Anfangswertaufgabe u (t) = u(t)+ t [ ] u(0) = zwar eine Lösung besitzt aber nicht eindeutig lösbar ist. Aufgabe 9 (Globale Fortsetzung Maximales Existenzintervall). Lösen Sie die Anfangswertaufgabe u = exp(u) u() = 0 t t und geben Sie den Definitionsbereich der berechneten Lösung an.

3 Aufgabe 0 (Gleichgewichte anziehend abstoßend). (a) Geben Sie alle Gleichgewichte der folgenden Differentialgleichungen an (i) u = (u +)(u +u 8) (ii) u sinu u < 0 = ucos(u) u 0. Bestimmen Sie die anziehenden und abstoßenden Gleichgewichte der Differentialgleichung. (b) Geben Sie alle Gleichgewichte der folgenden Differentialgleichung an ( ) ( )( ) ( ) u (t) 0 u (t) 0 u (t) = +. 0 u (t) sin(u (t)) Prüfen Sie mit Hilfe der Eigenwertbedingung welche dieser Gleichgewichte anziehend sind. Aufgabe (Trennung der Veränderlichen). Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben (a) u = (+4t 3 )u u( ) = (b) u = (c) u = t +t eu u(0) = 0 (t 3t 0)cos(7v +3) u(6) = 3 7 (d) u = tcos(t) Aufgabe (Variation der Konstanten). Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben ( ) t (a) u = tu+rexp u(0) = u 0 u 0 r R (b) u = 3u+7 u(0) = (c) u = exp(t) u u() =. t Aufgabe 3 (Transformation von Differentialgleichungen). Lösen Sie die Anfangswertaufgabe u = tu+ ( ) t u exp u(0) =. Verwenden Sie dazu die Transformation T(tu) = (tu ). Aufgabe 4 (Explizites Euler-Verfahren). u = (u(t)) t u() =. vsin(v ) u(π) = π Berechnen Sie die ersten fünf Schritte u u u 3 u 4 u 5 mit dem expliziten Euler-Verfahren zur Schrittweite h =. Aufgabe 5 (Methode von Heun). u = tu u(0) =. Berechnen Sie die ersten zwei Schritte u u mit der Methode von Heun zur Schrittweite h =..

4 Aufgabe 6 (Klassisches Runge-Kutta-Verfahren). aus Aufgabe 4. Berechnen Sie den ersten Schritt u mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren zur Schrittweite h =. Aufgabe 7 (Implizites Euler-Verfahren). u = u u() =. t Berechnen Sie die ersten zwei Schritte u u mit dem impliziten Euler-Verfahren zur Schrittweite h =. Aufgabe 8 (Ordnungsreduktion Transformation auf System. Ordnung). Transformieren Sie die Anfangswertaufgabe. Ordnung u = 7u +38u+ u(0) = u (0) = auf ein System von Anfangswertaufgaben. Ordnung. Aufgabe 9 (Fundamentalsystem I). Geben Sie für die Differentialgleichung. Ordnung u (t)+a(t)u(t)+b(t)u(t) = 0 ab C([0T]R) T > 0 zwei geeignete Anfangsbedingungen bei t = 0 an so dass die Lösungen u u der zugehörigen Anfangswertaufgaben ein reelles Fundamentalsystem bilden. Aufgabe 0 (Wronski-Matrix Wronski-Determinante). (a) Bestimmen Sie die Wronski-Matrix der Differentialgleichung u +u 8u = 0 und berechnen Sie die Wronski-Determinante. (b) Zeigen Sie dass die Wronski-Determinate d(t) = det W(t) zu die Differentialgleichung löst. Aufgabe (Fundamentalsystem II). Gegeben sei die Differentialgleichung. Ordnung u +au +bu = r d +ad = 0 u au +bu = 0 ab R. Wie müssen a und b gewählt werden damit e t te t } ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung ist? Aufgabe (Globale und lokale Existenz- und Eindeutigkeit). Zeigen Sie dass die Anfangswertaufgabe. Ordnung u (t) = 7u (t)+8u(t)+ t J = [ aa] a > 0 u(0) = u (0) = für jedes a > 0 eine eindeutige globale Lösung u C (JR) besitzt.

5 Aufgabe 3 (Anfangswertaufgabe. Ordnung I). (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen. Ordnung () u +u 8u = 0 (4) u +6u +64u = 0 () u 3u 8u = 0 (5) u +u +7u = 0 (3) u 6u +9u = 0 (6) u +36u = 0. (b) Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertaufgaben. Ordnung () u +4u +5u = 0 u(0) = 0 u (0) = 0 () u 5u +6u = 0 u(0) = 5 u (0) = 38 (3) u 4u = 0 u(0) = u (0) = (4) u +6u +9u = 0 u(0) = 3 u (0) = (5) u +u u = 0 u(0) = u (0) = (6) 4u +8u +8u = 0 u(0) = u (0) = 0. Aufgabe 4 (Anfangswertaufgabe. Ordnung II). Zeigen Sie dass die Funktion u(t) = 3sin(t) 5cos(t)+ t R die Differentialgleichung u +4u = löst. Bestimmen Sie die eindeutige Lösung der Anfangswertaufgabe u +4u = u(0) = 0 u (0) =. Aufgabe 5 (Anfangswertaufgabe. Ordnung III). Berechnen Sie die eindeutig bestimmte Lösung der Anfangswertaufgabe u (t)+5u (t)+4u(t) = e t u(0) = u (0) =. Aufgabe 6 (Anfangswertaufgabe. Ordnung IV). Gegeben seien die Funktionen u (t) = cos(t) u (t) = sin(t) und u p (t) = tcos(t). Zeigen Sie dass u und u ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung u +4u = 0 bilden. Zeigen Sie weiter dass u p die folgende inhomogene Gleichung löst u (t)+4u(t) = 4sin(t). Bestimmen Sie die eindeutige Lösung der Anfangswertaufgabe u (t)+4u(t) = 4sin(t) u(0) = u (0) = 0. Aufgabe 7 (System von Anfangswertaufgaben. Ordnung I). Lösen Sie die Anfangswertaufgabe. Ordnung ( ) ( ) ( ) ( ) u (t) u (t) u (0) a u (t) = = a R u (t) u (0) 0 indem Sie diese zunächst auf eine skalare Differentialgleichung. Ordnung transformieren.

6 Aufgabe 8 (Fundamentalsystem Fundamentalmatrix Wronski-Determinate). Bestimmen Sie für das Differentialgleichungssystem. Ordnung v (t) = 0 0 v(t) 0 ein reelles Fundamentalsystem geben Sie die Fundamentalmatrix an und berechnen Sie die Wronski-Determinante. Aufgabe 9 (System von Differentialgleichungen. Ordnung). Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems u =3u u u =4u +7u. Aufgabe 30 (System von Anfangswertaufgaben. Ordnung II). Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe u =u +u u (0) = u =3u +4u u (0) =.