Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen. Literaturliste. P.Deuflhard, F.Bornemann: Numerische Mathematik II, De Gruyter, 1994.

Transkript

1 Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen. Einschrittverfahren I: Einfache Verfahren. Konvergenzordnung. Einschrittverfahren II: Runge Kutta Verfahren 4. Stabilität 5. Schrittweitensteuerung 6. Steife DGL Kapitel IV (general) Literaturliste P.Deuflhard, F.Bornemann: Numerische Mathematik II, De Gruyter, 994. E.Hairer, S.Nørsett, G.Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Springer 99. E.Hairer, G.Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Springer 996. A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri Numerical Mathematics, Springer. H.Schwetlick, H.Kretzschmar: Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig 99. J.Stoer, R.Bulirsch: Numerische Mathematik II, Springer 99. Kapitel IV (general)

2 ml φ = mgsin(φ) Mathematisches Pendel φ() = α φ() = Umschreiben in System: w = φ, w = φ ) ( ) ( ) ( (ẇ w = w α ẇ g l sin(w, () = ) w ) Für kleine Auslenkungen α: Periodendauer T = π.5 alpha = pi/ pi sqrt(l/g) l g Auslenkung φ Zeit Kapitel IV (general) Periodendauer für verschiedene Anfangswinkel α.5 alpha = pi/ alpha = pi/ alpha = pi/4 alpha = pi/ Auslenkung φ Zeit = Periodendauer nimmt mit wachsendem α monoton zu. Kapitel IV (general4) 4

3 Ein Räuber-Beute-Modell Lotka-Volterra-Gleichungen: ḃ = λ b b( r/r e ) ṙ = λ r r(b/b e ) 4 b =,r = 5, zeitlicher Verlauf λ b,λ r : Wachstumsraten (b e,r e ): Gleichgewichtspunkt Beute Räuber b e = 5,r e =, unterschiedliche Anfangswerte Räuber 5 5 Zeit 4 6 Beute Kapitel IV (general6) 5 Dreikörperproblem Aufgabe: Beschreibe die Bewegung eines Satelliten um das System Erde/Mond. Die Differenzialgleichungen in den Koordinaten (x, y) des mitrotierenden Schwerpunktsystems lauten: x = x + y ˆµ x + µ µ x ˆµ, N N y = y x ˆµ y N µ y N, wobei N = ( (x + µ) + y ) / (, N = (x ˆµ) + y ) /, und µ =.7747, ˆµ = µ, µ das Verhältnis der Mondmasse zur Masse des Gesamtsystems. Mit verschiedenen Anfangswerten ergeben sich damit verschiedene Orbits. Kapitel IV (general7) 6

4 .5.5 Dreikörperproblem - periodische Orbits - Blättrig Eingebettetes Runge Kutta Verfahren RK4().5 Schleife Eingebettetes Runge Kutta Verfahren RK4().5 Knäuel Eingebettetes Runge Kutta Verfahren RK4() TOL = e 4, Schritte = TOL = e 4, Schritte = TOL = e 4, Schritte = µ =.7747, x() =.994 x () =, y() =, y () = T = µ =.486, x() =.994 x () =, y() =, y () =.45, T = 5.44 µ =.486, x() =.5 x () =, y() =, y () =.76, T = 9.5 Die Software ist unter ID=&MP ID=55 abgelegt. Kapitel IV (general8) 7 Korrekt gestellte Probleme. Existenz einer Lösung. Eindeutigkeit der Lösung. stetige Abhängigkeit der Lösung von den Problemdaten J. Hadamard (865-96) Kapitel IV (general5) 8

5 Satz von Peano Sei f stetig und beschränkt auf { } Q ab := (t,y) R n+ : t t a; y y b mit f(t,y) M und α := min(a, b M ). Dann besitzt das Anfangswertproblem Giuseppe Peano (858-9) y = f(t,y), y(t ) = y eine stetig differenzierbare Lösung y C ([t α,t +α]). Beweis: s. Harro Heuser - Gewöhnliche Differentialgleichungen, 5. Auflage, Kapitel III Kapitel IV (general6) 9 Satz von Picard-Lindelöf Zusätzlich zu den Voraussetzungen des Satzes von Peano sei f in einer kleinen Umgebung von t Lipschitz stetig bezüglich des zweiten Arguments mit der Lipschitz Konstanten L: f(t,y) f(t,z) L y z. C. E. Picard (856-94) E. Lindelöf (87-946) Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Lösung y C ([t α,t +α]). Beweis: s. Heuser - Gewöhnliche Differentialgleichungen, 5. Auflage, Kapitel III Kapitel IV (general7)

6 Numerische Verfahren nach Euler. Explizites Euler-Verfahren y i+ = y i +h i f(t i,y i ). Implizites Euler-Verfahren y i+ = y i +h i f(t i+,y i+ ) Leonhard Euler (77-78). Modifiziertes Euler-Verfahren ( y i+ = y i +h i f t i + h i,y i+ h ) i f(t i,y i ) Kapitel IV (general8) Runge Kutta-Verfahren Carle Runge (856-97) ab 94 Professor in Göttingen erstes mehrstufiges Verfahren (895) M. Kutta ( ), ab 9 Professor in Stuttgart Verallgemeinerung auf s-stufige explizite Verfahren (9) Kapitel IV (general9)

7 Explizites Eulerverfahren (Polygonzugverfahren) y = y, y() =, y i+ = y i +hy i h =. h =.5 Euler.5 Euler.5 h =.5 h =.5 Euler.5 Euler.5 Kapitel IV (esv) Modifiziertes Eulerverfahren y = y, y() =, y i+ = y i +h(y i + h y i) h =. h = h =.5 h = Kapitel IV (esv) 4

8 Verfahren von y = y, y() =, y i+ = y i + h (y i+hy i ) h =. h = h =.5 h = Kapitel IV (esv) 5 Implizites Eulerverfahren y = y, y() =, y i+ = y i +hy i+ h =. imp. Euler.5 h =.5 imp. Euler.5 h =.5 imp. Euler.5 h =.5 imp. Euler.5 Vorsicht: Für h =. funktioniert das Verfahren wegen y i+ = y i h nicht. Kapitel IV (esv4) 6

9 Einschrittverfahren: Vergleich: y = ty, y() = exp. Euler h =..5 exp. Euler h =.5.5 exp. Euler h =.5 exp. Euler h = Beobachtung: und qualitativ besser Kapitel IV (esv5) 7 Einschrittverfahren, Übersicht Anfangswertproblem: Finde eine reellwertige Funktion y C (I), so dass { y (t) = f(t,y(t)) t I y(t ) = y Name Typ p Diskretisierung Forward Euler Explizit y i+ = y i +hf i modif. Euler Explizit y i+ = y i +hf(t i+/,y i + h f i) Explizit y i+ = y i + h [f i+f(t i+,y i +hf i )] Backward Euler Implizit y i+ = y i +hf i+ Crank-Nicolson Implizit y i+ = y i + h [f i +f i+ ] modif. Euler impl. Implizit y i+ = y i +hf(t i+/, (y i +y i+ )) Kapitel IV (esv6) 8