Differenzialgleichungen

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1 Differenzialgleichungen Fakultät Grundlagen April 2011 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen

2 Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Problemstellung Richtungsfeld Beispiel 2 Eulerverfahren Heunverfahren Runge-Kutta-Verfahren 3 Impizites Eulerverfahren Stabilität Schritweitensteuerung 4 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 2

3 Definition Grundsätzliches Problemstellung Richtungsfeld Beispiel Anfangswertproblem einer Differentialgleichung erster Ordnung y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Die rechte Seite der Differentialgleichung weist jedem Punkt des Definitionsbereichs eine Steigung zu Der Grundgedanke fast aller numerischer Verfahren ist, die sich kontinuierlich ändernde Steigung durch die Steigung(en) an einem oder mehreren diskreten Punkt(en) zu ersetzen Alle Numerischen Verfahren lassen sich auf vektorwertige Funktionen übertragen Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 3

4 Richtungsfeld Grundsätzliches Problemstellung Richtungsfeld Beispiel Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 4

5 Mathematisches Pendel Die Differenzialgleichung des mathematischen Pendels mit Anregung f (t) und Dämpfung proportional zur Geschwindigkeit lautet: ẍ(t) + k ẋ(t) + sin(x(t)) = f (t) Problemstellung Richtungsfeld Beispiel r x Mit der Substitution y 1 (t) = x(t) und y 2 (t) = ẋ(t) erhält man aus der Differentialgleichung 2 Ordnung ein äquivalentes System von zwei Differentialgleichungen 1 Ordnung: ẏ 1 = ẋ = y 2 ẏ 2 = ẍ = f (t) k y 2 sin(y 1 ) R = R G x sin x G Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 5

6 Problemstellung Richtungsfeld Beispiel Mathematisches Pendel (vektoriell) Pendel : ( ẏ1 ẏ 2 ) ( = y 2 f (t) k y 2 sin(y 1 ) ) Allgemein: y 1 (x) y(x) =, y (x) = y n (x) y 1 (x) y n(x), f(x, y) = f 1 (x, y) f n (x, y) Vektorielle Form eines Differenzialgleichungssystems: y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 6

7 Konstruktion des Eulerverfahrens y Eulerverfahren Heunverfahren Runge-Kutta-Verfahren y(x) y 2 g 2 y 1 g 1 m 2 y 0 m 0 g 0 m 1 x x 0 x 0 + h }{{} x 1 + h }{{} x 1 x 2 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 7

8 Algorithmus des Eulerverfahrens Steigungen der Geraden Eulerverfahren Heunverfahren Runge-Kutta-Verfahren Rechenvorschrift g 0 : m 0 = f (x 0, y 0 ) y 1 = y 0 + h f (x 0, y 0 ) g 1 : m 1 = f (x 1, y 1 ) y 2 = y 1 + h f (x 1, y 1 ) g 2 : m 2 = f (x 2, y 2 ) y 3 = y 2 + h f (x 2, y 2 ) y y(x) y 2 g 2 Algorithmus y 1 y 0 g 0 g 1 x y n+1 = y n + h f (x n, y n ) x n+1 = x n + h x 0 x 1 x 2 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 8

9 Konstruktion des Heunverfahrens y y(x) Eulerverfahren Heunverfahren Runge-Kutta-Verfahren y H 1 y E 1 m 1 Algorithmus k 1 = h f (x n, y n ) y 0 m 0 x k 2 = h f (x n + h, y n + k 1 ) y n+1 = y n + k 1 + k 2 2 x n+1 = x n + h x 0 x 1 Beim Eulerverfahren wird die Steigung nur am Ausgangspunkt der jeweiligen Teilintervalle abgegriffen; Beim Heun-Verfahren wird mit eine gemittelten Steigung die Näherungsgerade bestimmt Runge-Kutta-Verfahren Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 9

10 y R 1 Grundsätzliches Runge-Kutta-Verfahren y Eulerverfahren Heunverfahren Runge-Kutta-Verfahren y(x) m 4 k 1 = h f (x n, y n) Euler-Schritt k 2 = h f (x n h, yn k 1) k 3 = h f (x n h, yn k 2) k 4 = h f (x n + h, y n + k 3 ) y n+1 = y n [k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ] m 3 x n+1 = x n + h y 0 m 1 m 2 m i = f (x?, y?? ) x x 0 x 0 + h 2 x 0 + h Steigungen in der Umgebung des vermuteten Kurvenverlaufs werden ermittelt Der eigentliche Rechenschritt wird dann mit einem gewichteten arithmetischen Mittel dieser Steigungen durchgeführt Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 10

11 Eulerverfahren Heunverfahren Runge-Kutta-Verfahren Vergleich: y = 2 (x 1 5 ) (y ), y( 1 5 ) = 1 2 ; x e = 12 ye R ye H y E e y 0 y exakt Runge-Kutta Heun Euler x 0 y(x) x e Das Runge-Kutta-Verfahren benötigt pro Schritt vier Funktionsauswertungen, das Heun-Verfahren nur zwei, während das Euler- Verfahren nur einmal die rechte Seite f (x, y) auswerten muss Das Grundintervall wird deshalb zum Vergleich bei Runge-Kutta in zwei Teilintervalle, bei Heun in vier Teilintervalle und bei Euler in acht Teilintervalle unterteilt, sodass jeweils acht Funktionsauswertungen nötig sind Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 11 x

12 Impizites Eulerverfahren Stabilität Schritweitensteuerung Testgleichung: y = λy ; y(0) = 1 Das Euler-Verfahren lautet in diesem Fall: y n+1 = y n + hf (x n, y n ) = y n + hλy n = (1 + λh)y n x n+1 = x n + h Iteriert man den Algorithmus, so erhält man: y n+1 = (1 + λh) n+1 1 Ist λ > 0, so wächst die Lösung y = e λx exponentiell an und das Näherungsverfahren (Euler) ergibt qualitativ den richtigen Verlauf Ist λ 0, so klingt die exakte Lösung exponentiell schnell ab Die Näherungslösung klingt aber nur dann ab, wenn der Ausdruck (1 + λh) betragsmäßig kleiner 1 wird Problematisch für Re{λ} 0!! Wir wählen nun die Stützstelle y 1 so, dass eine Gerade durch (x 0 + h, y 1 ) mit der Steigung f (x 0 + h, y 1 ) durch den Startpunkt (x 0, y 0 ) geht Impizites Eulerverfahren Testgleichung: y n+1 = y n + λy n+1 y n+1 = y n + h f (x n+1, y n+1 ) y y y n+1 = y n + h λy n+1 = n n+1 1 λ x n+1 = x n + h y y n+1 = 0 (1 λ) n+1 Ist λ 0 so ist (1 hλ) 1 und damit klingt die Näherungslösung ab Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 12

13 Impizites Eulerverfahren Stabilität Schritweitensteuerung Skizze: y = λy für λ = 213 ; h = 1 e λx y y v 2 y r 1 y r 2 x y v 1 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 13

14 Coulomb-Reibung Grundsätzliches Impizites Eulerverfahren Stabilität Schritweitensteuerung Probleme bereiten bereits relativ einfache mechanische Beispiele D m Oszillator mit Coulomb-Reibung mẍ = Dx a sign(ẋ), D : Federkonstante a : Reibungskonstante Beim Aufruf der Prozedur ode45 für a = 03 zeigt sich, dass obige Differenzialgleichung damit nicht gelöst werden kann Für sehr kleine Geschwindigkeiten mit wechselndem Vorzeichen ergeben sich große, zeitlich dicht aufeinanderfolgende Sprünge für die Beschleunigung Das Runge-Kutta-Verfahren kann dieses starke Abklingen und Anwachsen nur mit immer kleiner werdender Schrittweite nachvollziehen und frisst sich schließlich fest implizite DGL-Löser MATAB: coulombreibungm, dgl ode vergleichm Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 14 G

15 Stabilität Grundsätzliches Impizites Eulerverfahren Stabilität Schritweitensteuerung Die Testgleichung y = λy, y(0) = 1; λ IR heißt stabil, wenn y(t) für t beschränkt bleibt, d h für Re{λ} 0 Die Näherungsfolgen explizites Eulerverfahren y n+1 = (1 + λh) y n {y 0, y 1, y 2, y 3, } y implizites Eulerverfahren y n+1 = n (1 λh) explizites Eulerverfahren (1 + λh) 1 besitzen dasselbe Abklingverhalten, wenn implizites Eulerverfahren 1 1 (1 λh) Wir bezeichnen die Bereiche, in denen diese Ungleichung gilt als Stabilitätsbereich des Verfahrens Mit der Abkürzung z = λh erhält man: explizit: 1 + z 1 implizit: 1 z 1 Explizites Eulerverfahren 1 Im{z} 1 Re{z} Implizites Eulerverfahren 1 Im{z} 1 Re{z} Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 15

16 Impizites Eulerverfahren Stabilität Schritweitensteuerung Schrittweitensteuerung; Schätzung des Fehlers Schätzung des lokalen Fehlers D Parallelrechnen mit zwei verschiedenen Verfahren, deren Fehlerordnung sich um 1 unterscheiden; nach jedem Schritt wird die Differenz der beiden Resultate gebildet Parallelrechnen mit halber Schrittweite Die Differenz ergibt wieder den Parameter für die Schrittweitensteuerung Mit diesen beiden Werten wird dann noch ein Extrapolationsschritt durchgeführt Schätzung des relativen lokalen Fehlers l bei Verfahren der Ordnung p : D h l 1 = Y (p+1) (h) Y (p) (h) h ; D h l 2 = Y (05 h) Y (h) h (1 2 p) Ist ɛ die vorgegebene lokale Toleranz, so kann man nach dem folgenden Kriterium verfahren Ist l ɛ, so wird die Schrittweite akzeptiert Andernfalls muss eine neue Schrittweite bestimmt werden Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 16

17 Impizites Eulerverfahren Stabilität Schritweitensteuerung Schrittweitenbestimmung h h neu Für den lokalen Fehler D ergibt sich bei Vernachlässigung der Terme mit Ordnung m > p + 1 : D c h p+1 Akzeptiert man einen lokalen Fehler der Größe ε h, dann ist zu erwarten, dass der globale Fehler die Größenordnung ε (t end t 0 ) hat Für die optimale Schrittweite erhält man daraus die Beziehung: ε h opt = c h p+1 opt Nach Elimination der Konstante c aus den beiden Gleichungen erhalten wir einen Schätzwert für die optimale Schrittweite ( ) 1 h opt = h εl p Bei konkreter Implementierung wird zusätzlich eine maximale und eine minimale Schrittweite h max bzw h min vorgegeben Unterschreitet die vorgeschlagene Schrittweite h min, so ist eine Singularität wahrscheinlich f h neu = min(h max, f V h, f S h opt ) S Sicherheitsfaktor mit f S < 1 f V Skalierungsfaktor mit f V > 1 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 17

18 Integralgleichung Ausgangspunkt: Formulierung als Integralgleichung y(x k+1 ) = y(x k ) + x k+1 x k f (τ, y(τ)) dτ Bei wird der nächste Näherungwert y k+1 nur ausgehend von (x k y k ) bestimmt So versucht z B das klassische Runge-Kutta-Verfahren das Integral dadurch abzuschätzen, dass es an vier Stellen in der Nähe des vermuteten Kurvenverlaufs im Intervall [x k, x k+1 ] Steigungen abgreift und eine Durchschnittssteigung durch eine gewichtete arithmetische Mittelung bestimmt dagegen benutzen auch die vorhandene Information über f (x, y) an den vorhergehenden, äquidistanten Stützstellen (x k 1 y k 1 ), (x k 2 y k 2 ), Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 18

19 Extrapolation Zur Approximation von f (x, y(x)) im Intervall [x k, x k+1 ] extrapoliert man f (x, y(x)) an den Stellen (x k f (x k, y k )), (x k 1 f (x k 1, y k 1 )), (x k 2 f (x k 2, y k 2 )), (x k 3 f (x k 3, y k 3 )) mittels eines Polynomansatzes p 3 (x) f f (x k, y k ) f (xk+1, y k+1 ) f (x k 3, y k 3 ) f (x k 1, y k 1 ) f (x k 2, y k 2 ) x x k 3 x k 2 x k 1 x k x k+1 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 19

20 Adams-Bashforth Integration über Polynom: x k+1 x k f (x, y(x)) dx x k+1 x k p 3 (x) dx o B d A Stützstellen ( 2 f k 3 ), ( 1 f k 2 ), (0 f k 1 ), (1 f k ) (f n = f (x n, y n)) p 3 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 Punktprobe ergibt ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a i : p 3 (1) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = f k a 0 = f k 1 p 3 (0) = a 0 = f k 1 p 3 ( 1) = a 0 a 1 + a 2 a 3 = f k 2 p 3 ( 2) = a 0 2a 1 + 4a 2 8a 3 = f k 3 a 1 = 1 6 [2f k 3f k 1 6f k 2 + f k 3 ] a 2 = 1 2 [f k 2f k 1 + f k 2 ] a 3 = 1 6 [f k 3f k 1 + 3f k 2 f k 3 ] 2 p 3 (x)dx = a a a a 3 = 1 24 [55 f k 59 f k f k 2 9 f k 3 ] 1 y k+1 = y k + 24 h [ 55 f (x k, y k ) 59 f (x k 1, y k 1) +37 f (x k 2, y k 2 ) }{{} f k benötigt eine Funktionsauswertung pro Schritt! } {{ } f k 1 } {{ } f k 2 ] 9 f (x k 3, y k 3 ) }{{} f k 3 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Folie: 20