Dynamische Systeme eine Einführung

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1 Dynamische Systeme eine Einführung Seminar für Lehramtstudierende: Mathematische Modelle Wintersemester 2010/11

2 Dynamische Systeme eine Einführung 1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 2. Flüsse, Orbits, Equilibria 3. Invariante Mengen und Positivität 4. Limesmengen 5. Ljapunov-Funktionen und Stabilität 6. Populationen

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen Betrachte gewöhnliche Differentialgleichungen der Form u = f (u), f : R d R d stetig, u = u = du dt Die Funktion u = u(t) heißt Lösung der Differentialgleichung auf Intervall J R, falls u : J R d stetig differenzierbar ist und u(t) = f ( u(t) ) für alle t J R

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen Betrachte gewöhnliche Differentialgleichungen der Form u = f (u), f : R d R d stetig, u = u = du dt Die Funktion u = u(t) heißt Lösung der Differentialgleichung auf Intervall J R, falls u : J R d stetig differenzierbar ist und u(t) = f ( u(t) ) für alle t J R Die Funktion u heißt Lösung des Anfangswertproblems AWP u = f (u), u(t 0 ) = u 0 falls zusätzlich u(t 0 ) = u 0 gilt, wobei u 0 R d und t 0 J.

6 Anfangswertprobleme: Beispiele Betrachte Anfangswertproblem u = f (u), u(0) = u 0 Beispiele: 1. u(t) = 2u(t) Tafel u(0) = u(t) = u(t) Tafel u(0) = 0

7 Lipschitz-stetige Funktionen Eine Funktion f heißt lokal Lipschitz-stetig, falls es zu jedem x 0 R d eine Umgebung U gibt, so dass f (x) f ( x) L(x 0 ) x x x, x U mit einer Konstanten L(x 0 ) gilt. Notation: Norm auf R d

8 Lipschitz-stetige Funktionen Eine Funktion f heißt lokal Lipschitz-stetig, falls es zu jedem x 0 R d eine Umgebung U gibt, so dass f (x) f ( x) L(x 0 ) x x x, x U mit einer Konstanten L(x 0 ) gilt. Eine Funktion f heißt global Lipschitz-stetig, falls f (x) f ( x) L x x x, x R d mit einer Konstanten L gilt. Notation: Norm auf R d

9 Lipschitz-stetige Funktionen Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = 2x ist

10 Lipschitz-stetige Funktionen Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = 2x ist global Lipschitz-stetig, denn f (x) f ( x) 2 x x x, x R d.

11 Lipschitz-stetige Funktionen Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = 2x ist global Lipschitz-stetig, denn f (x) f ( x) 2 x x x, x R d. 2. Die Funktion f (x) = x 2 ist

12 Lipschitz-stetige Funktionen Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = 2x ist global Lipschitz-stetig, denn f (x) f ( x) 2 x x x, x R d. 2. Die Funktion f (x) = x 2 ist lokal Lipschitz-stetig, aber nicht global.

13 Lipschitz-stetige Funktionen Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = 2x ist global Lipschitz-stetig, denn f (x) f ( x) 2 x x x, x R d. 2. Die Funktion f (x) = x 2 ist lokal Lipschitz-stetig, aber nicht global. 3. Die Funktion f (x) = x ist

14 Lipschitz-stetige Funktionen Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = 2x ist global Lipschitz-stetig, denn f (x) f ( x) 2 x x x, x R d. 2. Die Funktion f (x) = x 2 ist lokal Lipschitz-stetig, aber nicht global. 3. Die Funktion f (x) = x ist in keiner Umgebung von x 0 = 0 Lipschitz-stetig, denn

15 Lipschitz-stetige Funktionen Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = 2x ist global Lipschitz-stetig, denn f (x) f ( x) 2 x x x, x R d. 2. Die Funktion f (x) = x 2 ist lokal Lipschitz-stetig, aber nicht global. 3. Die Funktion f (x) = x ist in keiner Umgebung von x 0 = 0 Lipschitz-stetig, denn für x = 0 gilt f (x) f (0) x 0 = x x = 1 x wenn x 0

16 Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano Satz (Picard-Lindelöf). Sei f lokal Lipschitz-stetig. Dann gibt es ein δ > 0 und genau eine Lösung des AWP auf dem Intervall [t 0 δ, t 0 + δ].

17 Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano Satz (Picard-Lindelöf). Sei f lokal Lipschitz-stetig. Dann gibt es ein δ > 0 und genau eine Lösung des AWP auf dem Intervall [t 0 δ, t 0 + δ]. Satz (Peano). Sei f stetig. Dann gibt es ein δ > 0 und mindestens eine Lösung des AWP auf dem Intervall [t 0 δ, t 0 + δ].

18 Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano Satz (Picard-Lindelöf). Sei f lokal Lipschitz-stetig. Dann gibt es ein δ > 0 und genau eine Lösung des AWP auf dem Intervall [t 0 δ, t 0 + δ]. Satz (Peano). Sei f stetig. Dann gibt es ein δ > 0 und mindestens eine Lösung des AWP auf dem Intervall [t 0 δ, t 0 + δ].

19 Der Fortsetzungssatz Satz. Sei f stetig und sei (t, t + ) das maximale Existenzintervall einer Lösung u des AWP. Wenn t + < endlich ist, dann gilt lim u(t) = t t + Die Lösung explodiert am Rand des Existenzintervalls.

20 Der Fortsetzungssatz Satz. Sei f stetig und sei (t, t + ) das maximale Existenzintervall einer Lösung u des AWP. Wenn t + < endlich ist, dann gilt lim u(t) = t t + Die Lösung explodiert am Rand des Existenzintervalls. Beispiel: u = u 2, u(0) = 1, Lösung: u(t) = 1 1 t für t < 1.

21 Der Fortsetzungssatz Satz. Sei f stetig und sei (t, t + ) das maximale Existenzintervall einer Lösung u des AWP. Wenn t + < endlich ist, dann gilt lim u(t) = t t + Die Lösung explodiert am Rand des Existenzintervalls. Beispiel: u = u 2, u(0) = 1, Lösung: u(t) = 1 1 t Strategie, um globale Existenz zu zeigen: für t < 1. Nehme an, dass t + < sei und zeige, dass die Lösung in [t 0, t + ] nicht explodiert.

22 Stetige Abhängigkeit von den Daten Frage: Wie stark können sich Störungen der Funktion f oder des Anfangswerts u 0 auswirken?

23 Stetige Abhängigkeit von den Daten Frage: Wie stark können sich Störungen der Funktion f oder des Anfangswerts u 0 auswirken? Sei u Lösung von u = f (u) u(t 0 ) = u 0 Sei v Lösung von v = g(v) v(t 0 ) = v 0 Frage: Wenn f g und u 0 v 0, gilt dann u(t) v(t)?

24 Stetige Abhängigkeit von den Daten Frage: Wie stark können sich Störungen der Funktion f oder des Anfangswerts u 0 auswirken? Sei u Lösung von u = f (u) u(t 0 ) = u 0 Sei v Lösung von v = g(v) v(t 0 ) = v 0 Frage: Wenn f g und u 0 v 0, gilt dann u(t) v(t)? Satz. Wenn f stetig und u eindeutig ist, dann hängt die Lösung des AWP auf kompakten Intervallen stetig von f und u 0 ab. Details: Prüß/Schnaubelt/Zacher, S. 147

26 Flüsse Definition. Eine Abbildung u : R M M heißt Fluss auf M R d, falls u stetig ist und die Gruppeneigenschaft u(t + s, x) = u ( t, u(s, x) ) = u ( s, u(t, x) ) für alle t, s R, x M und u(0, x) = x erfüllt ist. ( Halbfluss falls u : [0, ) M M)

27 Flüsse Definition. Eine Abbildung u : R M M heißt Fluss auf M R d, falls u stetig ist und die Gruppeneigenschaft u(t + s, x) = u ( t, u(s, x) ) = u ( s, u(t, x) ) für alle t, s R, x M und u(0, x) = x erfüllt ist. ( Halbfluss falls u : [0, ) M M) Sei f : R d R d Lipschitz-stetig und u = u(t, x) die Lösung von AWP u = f (u), u(0) = x. Dann ist u : (t, x) u(t, x) ein Fluss.

28 Orbits, Phasendiagramm Die Kurve γ(x) : t u(t, x) heißt Orbit oder Trajektorie. Die Gesamtheit aller Orbits nennt man Phasendiagramm. Wenn f Lipschitz-stetig ist, dann können sich verschiedene Trajektorien nicht schneiden.

29 Orbits, Phasendiagramm: Beispiel in 2D u = f (u) = ( (u1 1)(u 2 2) (u 1 2)(u 2 1) ) u u 1

35 Equilibria Eine Nullstelle x R d von f heißt stationärer Punkt oder Equilibrium oder Ruhelage oder steady state oder Gleichgewichtspunkt. Ist f (x )=0, so ist u(t, x ) x eine (konstante) Lösung des AWP: ( ) u(t, x ) = 0 = f (x ) = f u(t, x )

36 Stabilität von Equilibria Sei f Lipschitz-stetig und x ein Equilibrium, d.h. f (x ) = 0. Taylor-Entwicklung von f in x : f (x x ) = f (x ) +f (x }{{} )(x x ) +... =0

37 Stabilität von Equilibria Sei f Lipschitz-stetig und x ein Equilibrium, d.h. f (x ) = 0. Taylor-Entwicklung von f in x : f (x x ) = f (x ) +f (x }{{} )(x x ) +... =0 Setze u = x x und A = f (x ): f (u) = Au + g(u), g(0) = 0, g (0) = 0

38 Stabilität von Equilibria Sei f Lipschitz-stetig und x ein Equilibrium, d.h. f (x ) = 0. Taylor-Entwicklung von f in x : f (x x ) = f (x ) +f (x }{{} )(x x ) +... =0 Setze u = x x und A = f (x ): f (u) = Au + g(u), g(0) = 0, g (0) = 0 Betrachte nun das linearisierte AWP ẏ = Ay, y(0) = y 0

39 Stabilität von Equilibria Sei f Lipschitz-stetig und x ein Equilibrium, d.h. f (x ) = 0. Taylor-Entwicklung von f in x : f (x x ) = f (x ) +f (x }{{} )(x x ) +... =0 Setze u = x x und A = f (x ): f (u) = Au + g(u), g(0) = 0, g (0) = 0 Betrachte nun das linearisierte AWP Das Equilibrium x heißt ẏ = Ay, y(0) = y 0 asymptotisch stabil, falls Reλ i < 0 für alle Eigenwerte von A instabil, falls Reλ j > 0 für mindestens einen Eigenwert von A

40 Stabilität in 2D 1. Stabiler Knoten: λ 1 < 0 und λ 2 <

41 Stabilität in 2D 1. Stabiler Knoten: λ 1 < 0 und λ 2 < 0 2. Instabiler Knoten: λ 1 > 0 und λ 2 >

42 Stabilität in 2D 1. Stabiler Knoten: λ 1 < 0 und λ 2 < 0 2. Instabiler Knoten: λ 1 > 0 und λ 2 > 0 3. Sattelpunkt: λ 1 < 0 und λ 2 >

43 Stabilität in 2D 1. Stabiler Knoten: λ 1 < 0 und λ 2 < 0 2. Instabiler Knoten: λ 1 > 0 und λ 2 > 0 3. Sattelpunkt: λ 1 < 0 und λ 2 > 0 4. Stabile Spirale: Reλ 1 < 0, Reλ 2 < 0 und Imλ i

44 Stabilität in 2D 1. Stabiler Knoten: λ 1 < 0 und λ 2 < 0 2. Instabiler Knoten: λ 1 > 0 und λ 2 > 0 3. Sattelpunkt: λ 1 < 0 und λ 2 > 0 4. Stabile Spirale: Reλ 1 < 0, Reλ 2 < 0 und Imλ i 0 5. Instabile Spirale: Reλ 1 > 0, Reλ 2 > 0 und Imλ i

45 Stabilität in 2D 1. Stabiler Knoten: λ 1 < 0 und λ 2 < 0 2. Instabiler Knoten: λ 1 > 0 und λ 2 > 0 3. Sattelpunkt: λ 1 < 0 und λ 2 > 0 4. Stabile Spirale: Reλ 1 < 0, Reλ 2 < 0 und Imλ i 0 5. Instabile Spirale: Reλ 1 > 0, Reλ 2 > 0 und Imλ i 0 Das Routh-Hurwitz-Kriterium liefert eine hinreichende Bedingung für Reλ i < 0 im Fall d 2.

46 Bifurkationen (Verzweigungen) Beispiel: Sei ( u1 u 2 ) = mit einem Parameter µ. 2 mu = 0.5 ( u 2 µ sin(u 1 ) u 1 2 ) = f (u) mu = u 2 0 u u 1 Bifurkation (Verzweigung) für µ = 1 Ein Equilibrium für µ < 1, drei Equilibria für µ > 1. Unterschiedliches Stabilitätsverhalten an (0,0) u 1

47 Dynamische Systeme eine Einfu hrung Seminar Mathematische Modelle WS 2010/11 Bifurkationen (Verzweigungen) Beispiel: Sei u 1 u 2 = u2 µ sin(u1 ) u1 = f (u) mit einem Parameter µ. mu = u2 u2 mu = u u 1 Bifurkation (Verzweigung) fu r µ = 1 Ein Equilibrium fu r µ < 1, drei Equilibria fu r µ > 1. Unterschiedliches Stabilita tsverhalten an (0,0). Karlsruher Institut fu r Technologie 1 2 3

49 Invarianz Sei u(t, x) die Lösung des AWP u = f (u), u(0) = x. Sei (t (x), t + (x)) das maximale Existenzintervall. Definition: Eine Teilmenge D R d heißt invariant, falls gilt: x D = u(t, x) D t (t (x), t + (x)) positiv invariant Aussage gilt für t (0, t + (x)) negativ invariant Aussage gilt für t (t (x), 0)

50 Invarianz Sei u(t, x) die Lösung des AWP u = f (u), u(0) = x. Sei (t (x), t + (x)) das maximale Existenzintervall. Definition: Eine Teilmenge D R d heißt invariant, falls gilt: x D = u(t, x) D t (t (x), t + (x)) u u 1

51 Invarianz Satz zur Invarianz von Sublevelmengen. Sei Φ : R d R stetig differenzierbar. Sei a R derart, dass Φ(x) 0 für alle x Φ 1 (a). Dann ist äquivalent: 1. Die Sublevelmenge {x R d : Φ(x) a} ist positiv invariant. 2. f (x) Φ(x) 0 für alle x Φ 1 (a).

52 Invarianz Satz zur Invarianz von Sublevelmengen. Sei Φ : R d R stetig differenzierbar. Sei a R derart, dass Φ(x) 0 für alle x Φ 1 (a). Dann ist äquivalent: 1. Die Sublevelmenge {x R d : Φ(x) a} ist positiv invariant. 2. f (x) Φ(x) 0 für alle x Φ 1 (a). Beweis: Die Menge bleibt invariant, wenn gilt: d dt Φ( u(t) ) 0 falls Φ ( u(t) ) = a. Außerdem gilt d dt Φ( u ) = u Φ(u) = f (u) Φ(u).

53 Invarianz Satz zur Invarianz von Sublevelmengen. Sei Φ : R d R stetig differenzierbar. Sei a R derart, dass Φ(x) 0 für alle x Φ 1 (a). Dann ist äquivalent: 1. Die Sublevelmenge {x R d : Φ(x) a} ist positiv invariant. 2. f (x) Φ(x) 0 für alle x Φ 1 (a). Beispiel: Differentialgleichung: ( ) u1 = u 2 ( c 1 1 c ) ( u1 ( cos(t) sin(t) Exakte Lösung: u(t) = e ct sin(t) cos(t) Betrachte Φ(x) = x x 2 2 u 2 ) = f (u) ) u(0)

54 Invarianz Satz zur Invarianz von Sublevelmengen. Sei Φ : R d R stetig differenzierbar. Sei a R derart, dass Φ(x) 0 für alle x Φ 1 (a). Dann ist äquivalent: 1. Die Sublevelmenge {x R d : Φ(x) a} ist positiv invariant. 2. f (x) Φ(x) 0 für alle x Φ 1 (a). 4 c > 0 4 c < x 2 0 x x x 1

55 Invarianz konvexer Mengen Satz zur Invarianz konvexer Mengen. Sei D abgeschlossen und konvex. Dann ist äquivalent: 1. D ist positiv invariant. 2. An jedem Punkt x auf dem Rand von D gilt für jeden äußeren Normalenvektor ν ν f (x) 0. Das bedeutet: das Vektorfeld f zeigt ins Innere von D.

56 Invarianz konvexer Mengen Satz zur Invarianz konvexer Mengen. Sei D abgeschlossen und konvex. Dann ist äquivalent: 1. D ist positiv invariant. 2. An jedem Punkt x auf dem Rand von D gilt für jeden äußeren Normalenvektor ν ν f (x) 0. Das bedeutet: das Vektorfeld f zeigt ins Innere von D. Beispiel: Sei u = f (u) wie zuvor und D der Einheitskreis, d.h. { } D = x R 2 : x 21 + x 22 1, ν = const. x

57 Quasipositivität In vielen Anwendungen sind nur positive Lösungen sinnvoll. Frage: Wenn x 0 ist (eintragsweise), unter welchen Bedingungen gilt dann u(t, x) 0 für alle t > 0?

58 Quasipositivität In vielen Anwendungen sind nur positive Lösungen sinnvoll. Frage: Wenn x 0 ist (eintragsweise), unter welchen Bedingungen gilt dann u(t, x) 0 für alle t > 0? Beobachtung: Positivität Invarianz von { } R d + = x R d : x k 0, k = 1,..., d

59 Quasipositivität Beobachtung: Positivität Invarianz von R d + = {x R d : x k 0, k = 1,..., d} Definition. Die Funktion f heißt quasipositiv, wenn gilt: Wenn x R d + und x k = 0, dann ist f k (x) 0. Satz (Quasipositivität). R d + ist genau dann positiv invariant, wenn f quasipositiv ist.

60 Quasipositivität Beobachtung: Positivität Invarianz von R d + = {x R d : x k 0, k = 1,..., d} Definition. Die Funktion f heißt quasipositiv, wenn gilt: Wenn x R d + und x k = 0, dann ist f k (x) 0. Satz (Quasipositivität). R d + ist genau dann positiv invariant, wenn f quasipositiv ist. Spezialfall: f(x)=ax ist quasipositiv, falls A = ± ± ± ± ±

62 Limesmengen Definition. Sei u ein lokaler Halbfluss auf M R d, d.h. für x M ist u(, x) nur auf dem maximalen Existenzintervall [0, t + ) definiert. Die Menge { ω + (x) = y M : es gibt eine Folge t n t + } mit u(t n, x) y heißt positive Limesmenge von x M. Beispiele:

63 Limesmengen Definition. Sei u ein lokaler Halbfluss auf M R d, d.h. für x M ist u(, x) nur auf dem maximalen Existenzintervall [0, t + ) definiert. Die Menge { ω + (x) = y M : es gibt eine Folge t n t + } mit u(t n, x) y heißt positive Limesmenge von x M. Beispiele: 1. x Equilibrium = ω + (x) = {x}

64 Limesmengen Definition. Sei u ein lokaler Halbfluss auf M R d, d.h. für x M ist u(, x) nur auf dem maximalen Existenzintervall [0, t + ) definiert. Die Menge { ω + (x) = y M : es gibt eine Folge t n t + } mit u(t n, x) y heißt positive Limesmenge von x M. Beispiele: 1. x Equilibrium = ω + (x) = {x} 2. t + (x) = und lim t u(t, x) = x ω + (x) = {x }

65 Limesmengen Definition. Sei u ein lokaler Halbfluss auf M R d, d.h. für x M ist u(, x) nur auf dem maximalen Existenzintervall [0, t + ) definiert. Die Menge { ω + (x) = y M : es gibt eine Folge t n t + } mit u(t n, x) y heißt positive Limesmenge von x M. Beispiele: 1. x Equilibrium = ω + (x) = {x} 2. t + (x) = und lim t u(t, x) = x ω + (x) = {x } 3. Ist γ(x) ein periodisches Orbit, so gilt ω + (x) = {γ(x)}

66 Limesmengen Satz. 1. γ(x) = γ(y) für jedes y γ(x) 2. t + (x) < = lim t t +(x) u(t, x) = = ω+ (x) = 3. ω + (x) ist positiv und negativ invariant. 4. γ + (x) beschränkt = ω + (x) ist nichtleer, kompakt und zusammenhängend. Entsprechende Aussagen gelten für negative Limesmengen.

67 Periodische Orbits Im Spezialfall d = 2 gilt der Satz von Poincaré und Bendixson. Sei d = 2 und u(t, x) der von AWP erzeugte Fluss. Sei γ(x) ein nach rechts beschränktes Orbit. Wenn ω + (x) f 1 (0) =, dann ist ω + (x) ein periodisches Orbit.

68 Periodische Orbits Negativ-Kriterium von Bendixson. Sei G R 2 offen und einfach zusammenhängend, sei ρ : G R und f : G R 2 stetig diffbar. Wenn div ( ρ(x)f (x) ) > 0, x G, dann besitzt das AWP keine echte periodische Lösung. div g(x) = g 1 x g d x d

70 Ljapunov-Funktionen: Definition Betrachte wieder das Anfangswertproblem u = f (u), u(0) = x und bezeichne den Halbfluss mit u(t, x). Sei M R d eine positiv invariante Menge des Halbflusses. Sei Φ : M R eine stetige Funktion. Dann heißt Φ : M R 1. Ljapunov-Funktion, falls Φ ( u(t, x) ) Φ ( u(s, x) ) für alle t > s. 2. strikte Ljapunov-Funktion, falls für jede nichtkonstante Lösung Φ ( u(t, x) ) < Φ ( u(s, x) ) für alle t > s

71 Ljapunov-Funktionen: Definition Betrachte wieder das Anfangswertproblem u = f (u), u(0) = x und bezeichne den Halbfluss mit u(t, x). Sei M R d eine positiv invariante Menge des Halbflusses. Sei Φ : M R eine stetige Funktion. Dann heißt Φ : M R 1. Ljapunov-Funktion, falls Φ(x) f (x) 0 für alle x M. 2. strikte Ljapunov-Funktion, falls Φ(x) f (x) < 0 für alle x M.

72 Ljapunov-Funktionen: Eigenschaften Satz. 1. Die Sublevelmengen Φ 1 (, a) bzw. Φ 1 (, a] sind positiv invariant.

73 Ljapunov-Funktionen: Eigenschaften Satz. 1. Die Sublevelmengen Φ 1 (, a) bzw. Φ 1 (, a] sind positiv invariant. 2. Gilt Φ(x) für x, so existieren die Lösungen in M global nach rechts.

74 Ljapunov-Funktionen: Eigenschaften Satz. 1. Die Sublevelmengen Φ 1 (, a) bzw. Φ 1 (, a] sind positiv invariant. 2. Gilt Φ(x) für x, so existieren die Lösungen in M global nach rechts. 3. Auf Limesmengen ist Φ konstant.

75 Ljapunov-Funktionen: Eigenschaften Satz. 1. Die Sublevelmengen Φ 1 (, a) bzw. Φ 1 (, a] sind positiv invariant. 2. Gilt Φ(x) für x, so existieren die Lösungen in M global nach rechts. 3. Auf Limesmengen ist Φ konstant. 4. Ist Φ eine strikte Ljapunov-Funktion, so gilt y ω + (x) = f (y) = 0 für alle x M.

76 Ljapunov-Funktionen: Eigenschaften Satz. 1. Die Sublevelmengen Φ 1 (, a) bzw. Φ 1 (, a] sind positiv invariant. 2. Gilt Φ(x) für x, so existieren die Lösungen in M global nach rechts. 3. Auf Limesmengen ist Φ konstant. 4. Ist Φ eine strikte Ljapunov-Funktion, so gilt y ω + (x) = f (y) = 0 für alle x M. 5. Ist Φ eine strikte Ljapunov-Funktion und ist die Menge aller Equilibria in M diskret, so konvergiert jede beschränkte Lösung mit Anfangswert in M für t gegen ein Equilibrium.

77 Ljapunov-Funktionen: Eigenschaften Satz. 1. Die Sublevelmengen Φ 1 (, a) bzw. Φ 1 (, a] sind positiv invariant. 2. Gilt Φ(x) für x, so existieren die Lösungen in M global nach rechts. 3. Auf Limesmengen ist Φ konstant. 4. Ist Φ eine strikte Ljapunov-Funktion, so gilt y ω + (x) = f (y) = 0 für alle x M. 5. Ist Φ eine strikte Ljapunov-Funktion und ist die Menge aller Equilibria in M diskret, so konvergiert jede beschränkte Lösung mit Anfangswert in M für t gegen ein Equilibrium. 6. Ist Φ eine strikte Ljapunov-Funktion, so existiert keine echt periodische Lösung in M.

78 Invarianzprinzip von La Salle Satz (Invarianzprinzip von La Salle). Sei M R d eine offene, positiv invariante Menge. Sei Φ eine Ljapunov-Funktion, u(t) eine Lösung und γ + (u(0)) M kompakt. (Erinnerung: γ + (u(0)) Orbit von u(0).) Dann konvergiert u(t) für t gegen die maximale invariante Teilmenge A Φ (M) von {x M : Φ(x) f (x) = 0}. Insbesondere liegen alle periodischen Orbits in A Φ (M).

79 Stabilität Definition. Sei x R d ein Equilibrium. Dann heißt x 1. stabil, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, sodass x B δ (x ) = u(t, x) B ɛ (x ) t 0 2. instabil, falls x nicht stabil ist. 3. attraktiv, wenn es ein δ 0 > 0 gibt, sodass für alle x B δ0 (x ). t + = und lim t u(t, x) = x 4. asymptotisch stabil, wenn x stabil und attraktiv ist.

80 Stabilitätssatz. Satz. Sei M R d eine positiv invariante Menge. Sei U M offen. Sei Φ : U R eine Ljapunov-Funktion. Sei x ein Equilibrium. Dann gilt: 1. Ist x ein striktes lokales Minimum von Φ, dann ist x stabil. 2. Ist x ein isoliertes Equilibrium und ein strikt lokales Minimum von Φ, und ist Φ eine strikte Ljapunov-Funktion, dann ist x asymptotisch stabil.

82 Exponentielles und logistisches Wachstum - ein Beispiel Gegeben: Größe einer Population zur Zeit 0 Wachstums- und Sterberate Gesucht: Mathematisches Modell für die Größe der Population zur Zeit t 0.

83 Exponentielles und logistisches Wachstum - ein Beispiel Gegeben: Größe einer Population zur Zeit 0 Wachstums- und Sterberate Gesucht: Mathematisches Modell für die Größe der Population zur Zeit t 0. Kontinuumshypothese: Die Population ist so groß, dass sie durch eine stetige, reelle Funktion u(t) beschrieben werden kann.

84 Exponentielles vs. logistisches Wachstum - ein Beispiel Sei β > 0 die Geburtenrate und µ > 0 die Sterberate. Dann ist u(t + t) = u(t) + t βu(t) t µu(t) }{{}}{{} Geburten Todesfälle

85 Exponentielles vs. logistisches Wachstum - ein Beispiel Sei β > 0 die Geburtenrate und µ > 0 die Sterberate. Dann ist u(t + t) = u(t) + t βu(t) t µu(t) }{{}}{{} Geburten Todesfälle Teile durch t und betrachte Limes t 0: u(t) = (β µ)u(t) (Malthus 1798)

86 Exponentielles vs. logistisches Wachstum - ein Beispiel Sei β > 0 die Geburtenrate und µ > 0 die Sterberate. Dann ist u(t + t) = u(t) + t βu(t) t µu(t) }{{}}{{} Geburten Todesfälle Teile durch t und betrachte Limes t 0: u(t) = (β µ)u(t) (Malthus 1798) Lösung: u(t) = e t(β µ) u 0 Exponentielles Wachstum ist unrealistisch!

87 Exponentielles vs. logistisches Wachstum - ein Beispiel Sei u(t) die Größe einer Population zur Zeit t. u(t) = (β µ)u(t) (Malthus 1798)

88 Exponentielles vs. logistisches Wachstum - ein Beispiel Sei u(t) die Größe einer Population zur Zeit t. u(t) = (β µ)u(t) (Malthus 1798) Idee: Füge neuen Term für die soziale Reibung ein: ( ) u(t) = (β µ) u(t) u2 (t) (Verhulst 1845) u

89 Exponentielles vs. logistisches Wachstum - ein Beispiel Sei u(t) die Größe einer Population zur Zeit t. u(t) = (β µ)u(t) (Malthus 1798) Idee: Füge neuen Term für die soziale Reibung ein: ( ) u(t) = (β µ) u(t) u2 (t) (Verhulst 1845) u Lösung: u(t) = logistisches Wachstum u 0 u u 0 + (u u 0 )e t(β µ)

90 Interaktion von zwei Populationen Betrachte jetzt zwei interagierende Populationen (Spezies) Drei kanonische Situationen 1. Konkurrenz: Beide Spezies leben von derselben Nahrung. 2. Kooperation: Die Spezies leben in Symbiose. 3. Räuber-Beute: Die erste Spezies ist Nahrung für die zweite.

91 Interaktion von zwei Populationen Konkurrenz: Beide Spezies leben von derselben Nahrung. ( ) u = a 1 b 1 u u ( ) v = a 2 b 2 v v Kooperation: Die Spezies leben in Symbiose. ( ) u = a 1 b 1 u u ( ) v = a 2 b 2 v v Räuber-Beute: Die erste Spezies ist Nahrung für die zweite. ( ) u = a 1 b 1 u u ( ) v = a 2 b 2 v v

92 Interaktion von zwei Populationen Konkurrenz: Beide Spezies leben von derselben Nahrung. ( ) u = a 1 b 1 u c 1 v u ( ) v = a 2 b 2 v c 2 u v Kooperation: Die Spezies leben in Symbiose. ( ) u = a 1 b 1 u + c 1 v u ( ) v = a 2 b 2 v + c 2 u v Räuber-Beute: Die erste Spezies ist Nahrung für die zweite. ( ) u = a 1 b 1 u c 1 v u ( ) v = a 2 b 2 v + c 2 u v

93 Analyse des Räuber-Beute-Modells Räuber-Beute-Modell u = v = ( ) a 1 b 1 u c 1 v u ( ) a 2 b 2 v + c 2 u v Durch Umskalierung erhält man das äquivalente System ( ) u = 1 λ 1 u v u ( ) v = µ λ 2 v + u v

94 Existenz und Positivität von Lösungen Schritt 1: Picard-Lindelöf = lokale Existenz und Eindeutigkeit

95 Existenz und Positivität von Lösungen Schritt 1: Picard-Lindelöf = lokale Existenz und Eindeutigkeit Schritt 2: Zeige, dass positive Anfangswerte positive Lösungen haben.

96 Existenz und Positivität von Lösungen Schritt 1: Picard-Lindelöf = lokale Existenz und Eindeutigkeit Schritt 2: Zeige, dass positive Anfangswerte positive Lösungen haben. Schritt 3: Abschätzungen ( ) u = 1 λ 1 u v u u ( ) v = µ λ 2 v + u v (µ + u)v Mit m = µ + u 0 e t folgt dann 0 u(t) e t u 0, 0 v(t) e mt v 0 Fortsetzungssatz: Globale Existenz

97 Analyse des Räuber-Beute-Modells Equilibria: (0, 0) triviales Equilibrium (1/λ 1, 0) marginales Equilibrium (0, µ/λ 2 ) marginales Equilibrium (u, v ) Koexistenz

98 Analyse des Räuber-Beute-Modells Equilibria: (0, 0) triviales Equilibrium (1/λ 1, 0) marginales Equilibrium (0, µ/λ 2 ) marginales Equilibrium (u, v ) Koexistenz Satz. Sei λ 1 > 0, λ 2 > 0,µ R. Dann gilt: 1. Koexistenz: Für λ 2 > µ > 1/λ 1 gibt es genau ein Koexistenz-Equilibrium. Es ist in (0, ) 2 global asymptotisch stabil. System strebt gegen ein Gleichgewicht

99 Analyse des Räuber-Beute-Modells Equilibria: (0, 0) triviales Equilibrium (1/λ 1, 0) marginales Equilibrium (0, µ/λ 2 ) marginales Equilibrium (u, v ) Koexistenz Satz. Sei λ 1 > 0, λ 2 > 0,µ R. Dann gilt: 2. Für λ 2 < µ ist das marginale Equilibrium (0, µ/λ 2 ) in (0, ) 2 global asymptotisch stabil. Beute stirbt aus

100 Analyse des Räuber-Beute-Modells Equilibria: (0, 0) triviales Equilibrium (1/λ 1, 0) marginales Equilibrium (0, µ/λ 2 ) marginales Equilibrium (u, v ) Koexistenz Satz. Sei λ 1 > 0, λ 2 > 0,µ R. Dann gilt: 3. Für µ < 1/λ 1 ist das marginale Equilibrium (1/λ 1, 0) in (0, ) 2 global asymptotisch stabil. Räuber stirbt aus