14 Ljapunov-Funktionen

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1 14 Ljapunov-Funktionen Ljapunov-Funktionen 14.1 Gradientenfelder. a Ein Vektorfeld v C 1 D, R n besitze ein Potential U C 2 D, R, d.h. es sei v = gradu. Dann ist Dvx = HUx symmetrisch, und man hat sdvx < 0 genau dann, wenn die Hesse-Matrix HUx positiv definit ist. b Es sei nun x 0 D ein kritischer Punkt von v bzw. U, also gradux 0 = 0. Ist nun HUx 0 positiv definit, so hat U ein isoliertes lokales Minimum in x 0. Für eine Lösung ϕ des Systems ẋ = vx gilt d U ϕt = graduϕt, ϕt = vϕt dt 2, 1 und folglich ist U ϕ streng monoton fallend. Kommt also ϕt genügend nahe an x 0 heran, so sollte ϕt x 0 folgen. Dies suggeriert in Übereinstimmung mit Satz 13.8, daß x 0 ein Attraktor des Systems ẋ = vx sein sollte. Mit solchen Monotonie-Argumenten kann in der Tat das folgende Theorem 14.5 von Ljapunov bewiesen werden, das insbesondere auch Satz 13.8 impliziert. Die Rolle des eventuell nicht existierenden Potentials wird dabei von einer Ljapunov-Funktion übernommen: 14.2 Definition. Es sei x 0 D kritischer Punkt eines Vektorfeldes v C 1 D, R n. Eine skalare Funktion L C 1 D, R heißt Ljapunov-Funktion zu v und x 0, falls gilt: a L hat in x 0 ein isoliertes Minimum, und es ist Lx 0 = 0. b Für die Ableitung von L in Richtung v gilt v Lx := L xvx = gradlx, vx 0, x D Bemerkungen. a Bedingung 2 bedeutet, daß der Vektor vx stets in dem durch grad Lx bestimmten Halbraum liegt, also in Richtung des Abfalls von L zeigt. b Wie in 1 hat man für eine Lösung ϕ des Systems ẋ = vx d L ϕt = gradlϕt, ϕt = dt vlϕt 0, 3 und folglich ist L auf jeder Lösung des Systems monoton fallend. c Hat L in x 0 nur ein lokales isoliertes Minimum, oder gilt v Lx 0 nur nahe x 0, so kann man die folgenden Resultate auf die Einschränkung von v auf eine geeignete Umgebung von x 0 anwenden Beispiele. a Für den kritischen Punkt 0 des Vektorfeldes v C 1 R, R, vx := x p, p N vgl. Beispiel 13.3, setzt man Lx := x 2. Wegen v Lx = 2 x p+1 ist dann L eine Ljapunov-Funktion für ungerade p. b Jede Ljapunov-Funktion mit v L = 0 ist ein erstes Integral oder eine Erhaltungsgröße des Systems ẋ = vx vgl. 4.6.

2 68 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 c Umgekehrt wird wie in 5.1 die Bewegungsgleichung m ẍ = grad Ux 4 der klassischen Mechanik untersucht. Die Energie Ex, y := 1 2m y 2 + Ux 5 ist ein erstes Integral des 4 entsprechenden Systems erster Ordnung ẋ = 1 y, ẏ = gradux. 6 m Hat nun U ein isoliertes Minimum in x 0 mit Ux 0 = 0, so ist E eine Ljapunov- Funktion für das System 6 im Punkt x 0, Theorem Ljapunov. a Zu dem kritischen Punkt x 0 D gebe es eine Ljapunov-Funktion L C 1 D, R für das Vektorfeld v C 1 D, R n. Dann ist x 0 ein stabiler Punkt des Systems ẋ = vx. b Gilt zusätzlich v Lx < 0 für x x 0, so ist x 0 sogar ein Attraktor des Systems ẋ = vx. c Gibt es eine Ljapunov-Funktion L C 1 D, R für x 0 und das Vektorfeld v C 1 D, R n mit v Lx > 0 für x x 0, so ist x 0 kein stabiler Punkt des Systems ẋ = vx. Beweis. Zu einer Umgebung U D von x 0 wählt man eine kompakte Umgebung K U von x 0, z.b. eine kompakte Kugel, und setzt m := min {Lx x K} > 0. 7 a Es ist W := {x D Lx < m} eine offene Menge mit x 0 W, und man setzt V := W K = W K. 8 Dann ist V D eine offene Umgebung von x 0. Es sei nun ϕ : a, b D eine maximale Lösung des Systems ẋ = vx mit ϕ0 V. Da L ϕ monoton fällt, hat man ϕt W für 0 t < b. Nun sei s := sup {t [0, b ϕ[0, t] K}. Ist s < b, so muß ϕs K sein; wegen Lϕs Lϕ0 < m ist das aber ein Widerspruch. Folglich gilt s = b, und man hat ϕ[0, b K und somit auch ϕ[0, b V K U. Satz 3.4 liefert dann auch b =, und somit ist x 0 ein stabiler Punkt des Systems ẋ = vx. b In der Situation des Beweises von a bleibt lim ϕt = x 0 zu zeigen. Da L ϕ 0 monoton fällt, existiert sicher lim Lϕt =: a 0. Es ist K a := {x K Lx a} 9 eine kompakte Menge, und mit α := max { v Lx x K a } liefern 3 und der Mittelwertsatz Lϕt Lϕ0 = v Lϕτ t α t. 10

3 14 Ljapunov-Funktionen 69 Ist nun a > 0, so ist x 0 K a, und nach der Voraussetzung in b folgt α < 0. Aus 10 ergibt sich dann der Widerspruch Lϕt für t. Folglich ist doch a = 0. Ist nun lim ϕt = x 0 falsch, so gibt es δ > 0 und eine Folge t n mit ϕt n x 0 δ. Wegen ϕt n K gilt dann für eine geeignete Teilfolge ϕt n x 1 K mit x 1 x 0 δ, und man erhält Lϕt n Lx 1 > 0 im Widerspruch zu Lϕt n a = 0. Somit ist x 0 tatsächlich ein Attraktor des Systems ẋ = vx. c Es sei nun ϕ : a, D eine maximale Lösung des Systems ẋ = vx mit ϕ0 x 0 und ϕ[0, K. Da L ϕ jetzt monoton wächst, hat man Lϕt Lϕ0 := a > 0 und somit ϕt K a für t 0 vgl. 9. Mit β := min { v Lx x K a } > 0 folgt dann wie in 10 Lϕt Lϕ0 = v Lϕτ t β t und damit der Widerspruch Lϕt für t. Folglich kann x 0 kein stabiler Punkt des Systems ẋ = vx sein Beispiele und Bemerkungen. a Der Beweis von Theorem 14.5 zeigt zusätzlich folgendes: Ist in der Situation von Aussage b für einen Funktionswert c LD die Menge M c := {x D Lx c} 11 kompakt, so liegt sie im Einzugsbereich des Attaktors x 0. Ist M c für alle c LD kompakt, so ist x 0 ein globaler Attraktor. b In Beispiel 14.4a liefert Theorem 14.5, daß 0 für ungerade p N ein globaler Attraktor ist. c In Beispiel 14.4c liefert Theorem 14.5, daß in einem isolierten Minimum x 0 von U der Punkt x 0, 0 ein stabiler Punkt des Systems 6 ist. d Zu 14.1 liefert Theorem 14.5 in Übereinstimmung mit Satz 13.8 die Aussage, daß x 0 ein Attaktor des Systems 6 ist Beweis des Satzes von Poincaré-Ljapunov. Es seien also v C 1 D, R n und o.e. x 0 = 0 D mit v0 = 0, und für A := Dv0 gelte sa < 0. a Wegen e At Ce αt mit sa < α < 0 wird durch x y := 0 eat x, e At y dt 12 ein Skalarprodukt auf R n definiert, und man setzt Lx := x x =: x 2 = 0 e At x 2 dt. 13 b Für x, h R n hat man Lx + h = x + h x + h = x x + 2 x h + h h = Lx + 2 x h + O h 2, also L xh := 2 x h. 14

4 70 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 c Für x R n berechnet man 2 x Ax = 0 2 e At x, e At Ax dt = d 0 dt eat x 2 dt = x Aufgrund der totalen Differenzierbarkeit von v in 0 hat man vx = Ax + gx 16 mit gx = o x für x 0. Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung 2 x gx 2 x gx 2C x gx ist dann 2 x gx = o x 2. Aus 2, 4 und 15 ergibt sich daher v Lx = L xvx = 2 x vx = 2 x Ax + 2 x gx = x x gx 1 2 x 2 auf einer geeigneten Umgebung W D von 0. Folglich ist L eine Ljapunov- Funktion für 0 und v auf W, und nach Theorem 14.5 b ist dann 0 ein Attraktor des Systems ẋ = vx Beispiel. a Für Zahlen a, k R mit a < 1 wird das System ẋ ẏ = ax y + kxx 2 + y 2 x ay + kyx 2 + y 2 =: vx, y 17 untersucht. Offenbar ist der Nullpunkt ein kritischer Punkt von v. Unabhängig von k gilt stets A := Dv0, 0 = a 1 1 a, und die Eigenwerte dieser Matrix sind ±i 1 a 2. Somit ist 0 ein stabiler Punkt des linearisierten Systems ẋ = Ax, aber kein Attraktor; der Satz von Poincaré- Ljapunov 13.8 macht daher keine Aussage über das System 17 im Nullpunkt. b Die Funktion Lx, y := x 2 2axy + y 2 = x ay a 2 y 2 18 hat ein isoliertes Minimum im Nullpunkt. Man hat gradl = 2 damit erhält man x ay y ax, und v Lx, y = gradlx, y, vx, y = k x 2 + y 2 Lx, y. 19 Nach Theorem 14.5 ist also der Nullpunkt für k < 0 ein Attraktor, für k 0 stabil und für k > 0 nicht stabil.

5 14 Ljapunov-Funktionen Beispiel. a Die Liénardsche Differentialgleichung aus ẍ + 2ρx ẋ + ωx = 0 20 wird weiter behandelt. Hierbei sind ρ und ω C 1 -Funktionen auf einem offenen Intervall I R um 0 mit ω0 = 0. Das entsprechende System erster Ordnung lautet ẋ y = =: vx, y. 21 ẏ 2ρx y ωx Wegen ω0 = 0 ist der Nullpunkt ein kritischer Punkt von v. Wie in Beispiel 13.11c ausgeführt, ist er ein Attraktor unter den Annahmen ρ0 > 0, 22 ω 0 > b Mit dem Potential Ux := x 0 ωs ds von ω hat man die Energie Ex, y := 1 2 y2 + Ux. 24 Unter der gegenüber 23 nahe 0 schwächeren Annahme xωx > 0 für x 0 25 gilt dann Ux > 0 für x 0, und E hat ein isoliertes Minimum im Nullpunkt. Weiter ist grade = ωx, y T und somit v Ex, y = gradex, y, vx, y = 2 ρx y Gilt somit nur ρx 0, so ist der Nullpunkt stabil. Dies trifft insbesondere auf die DGL ẍ + ω 2 sin x = 0 eines Pendels ohne Reibung zu. c Unter der gegenüber 22 nahe 0 schwächeren Annahme ρx > 0 für x 0 27 ist der Nullpunkt sogar ein Attraktor. Dies folgt allerdings nicht aus Theorem 14.5 b, da die Bedingung v Ex, y < 0 für xy = 0 verletzt ist. Die Behauptung wird sich aber aus dem folgenden Theorem von LaSalle ergeben Limesmengen. a Es seien x 0 D kritischer Punkt eines Vektorfeldes v C 1 D, R n mit Ljapunov-Funktion L C 1 D, R zu v und x 0, so daß die Mengen M c := {x D Lx c} aus 11 für alle c LD kompakt sind. Dann betrachtet man die Menge N := {x D v Lx = 0}. 28 b Für ξ D sei ϕ ξ : a, b D die maximale Lösung des Systems ẋ = vx mit ϕ ξ 0 = ξ. Mit c := Lξ R gilt dann Lϕ ξ t c, also ϕ ξ t M c für alle 0 t < b. Da M c kompakt ist, ist die Limesmenge L + ξ := {l R n t k mit l = lim k ϕ ξ t k } 29

6 72 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 nicht leer, und man hat L + ξ M c D. c Die Limesmenge ist ein Attraktor der Lösung: lim distϕξ t, L + ξ = Andernfalls gibt es δ > 0 und t k mit distϕ ξ t k, L + ξ δ. Für eine Teilfolge hat man dann ϕ ξ t kj l M c und distl, L + ξ δ im Widerspruch zu l L + ξ. d Die Limesmenge ist positiv invariant, d.h. aus l L + ξ folgt auch ϕ l t L + ξ für t 0. In der Tat gilt für eine Folge t k mit ϕ ξ t k l aufgrund der Eindeutigkeit der Lösung des Anfangswertproblems ẋ = vx, x0 = ϕ ξ t k und nach Bemerkung 1.11b auch ϕ ξ t k + t = ϕ ϕξ t k t ϕ l t. e Für alle ξ D gilt L + ξ N. Andernfalls gibt es l L + ξ mit v Ll < 0. Dann gibt es γ, ε > 0 mit v Lx γ für x l 2ε. Weiter gibt es eine Folge t k mit ϕ ξ t k l ε für alle k. Wegen ϕ ξ t ϕ ξ t k d dt ϕξ sup t t k v Mc t t k gibt es schließlich auch δ > 0 mit ϕ ξ t l 2ε für t t k δ und alle k. Für diese t folgt dann d L dt ϕξ t = v Lϕ ξ t γ, und dies impliziert den Widerspruch Lϕ ξ t für t. f Es sei nun {x 0 } die größte positiv invariante Teilmenge von N. Nach d und e folgt dann L + ξ = {x 0 } für alle ξ D, und nach c hat man lim ϕξ t x 0 = lim distϕ ξ t, L + ξ = 0. Folglich ist dann x 0 ein Attraktor des Systems ẋ = vx Theorem LaSalle. Es sei x 0 D kritischer Punkt eines Vektorfeldes v C 1 D, R n mit Ljapunov-Funktion L C 1 D, R zu v und x 0, so daß {x 0 } die größte positiv invariante Teilmenge von N := {x D v Lx = 0} ist. Dann ist x 0 ein Attraktor des Systems ẋ = vx. Beweis. Wie zu Beginn des Beweises des Theorems 14.5 von Ljapunov wählt man eine kompakte Umgebung K D von x 0, z.b. eine kompakte Kugel, und setzt m := min {Lx x K} > 0. Dann ist V := {x K Lx < m} D eine offene eine offene Umgebung von x 0, auf der die Situation von 14.10a gegeben ist, die Mengen M c := {x V Lx c} also stets kompakt sind. Somit folgt die Behauptung aus 14.10f.

7 14 Ljapunov-Funktionen Beispiel. Wir kommen auf das der Liénardsche Differentialgleichung aus 20 entsprechende System erster Ordnung 21 zurück und setzen die Bedingungen 25 und 27 voraus. Dann hat man aufgrund von 26 N = {x, y R 2 xy = 0}. Für einen Anfangswert ξ, η N\{0, 0} gilt somit ξ = 0, aber η 0 oder η = 0, aber ξ 0. Für die entsprechenden Lösungen α, β := ϕ ξ,η des Anfangswertproblems ẋ y x0 ξ =, = ẏ 2ρx y ωx y0 η gilt aber im ersten Fall α0 = η 0, im zweiten Fall β0 = ωξ 0 aufgrund von 25. Folglich läuft die Lösung aus N heraus, und der Nullpunkt ist die größte positiv invariante Teilmenge von N. Nach dem Theorem von LaSalle ist somit der Nullpunkt ein Attraktor des Systems 21.