4 Autonome Systeme und Erste Integrale

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1 4 Autonome Systeme und Erste Integrale 17 4 Autonome Systeme und Erste Integrale 4.1 Autonome Systeme haben die Form ẋ = v(x) (1) mit lokal Lipschitz-stetigen Vektorfeldern v C(D, K n ). a) Man kann v als Geschwindigkeitsfeld einer stationären Strömung interpretieren, insbesondere für n = 2 oder n = 3. Lösungen von (1) beschreiben dann die Wege individueller Partikel in dieser Strömung. Es sind aber auch andere konkrete Interpretationen von (1) möglich, vgl. etwa 4.9 unten. b) Es sei ϕ : I D eine maximale Integralkurve von v, d.h. eine maximale Lösung des Systems (1). Für c R ist dann auch ϕ c : I + c D, ϕ c (t) := ϕ(t c), eine maximale Integralkurve von v. In der Tat hat man ϕ c (t) = ϕ(t c) = v(ϕ(c t)) = v(ϕ c (t)), und die Maximalität von ϕ c ergibt sich aus der von ϕ. c) Ist auch ψ : J D eine maximale Integralkurve von v und gilt ψ(b) = ϕ(a) für ein a I und ein b J, so folgt J = I + b a und ψ = ϕ b a. In der Tat gilt ψ(b) = ϕ(a) = ϕ b a (b), und die Behauptung folgt aus der Eindeutigkeitsaussage von Satz 3.2. d) Die Integralkurven ϕ c gemäß b) gehen aus ϕ durch Zeitverschiebung hervor; sie besitzen alle die gleiche Spur ϕ(i) in D K n. Nach c) bilden die Spuren aller maximalen Integralkurven von v eine disjunkte Zerlegung des Phasenraums D. 4.2 Satz. Es sei v C(D, K n ) ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Durch jeden Punkt von D läuft eine bis auf Zeitverschiebung eindeutig bestimmte maximale Integralkurve ϕ : I D von v. Für diese trifft genau einer der folgenden drei Fälle zu: (a) Es gibt τ I mit ϕ(τ) = 0. Dann ist ξ := ϕ(τ) D ein stationärer Punkt von v, d.h. es gilt v(ξ) = 0. Man hat I = R, und ϕ(t) = ξ ist konstant auf R. (b) Es gilt ϕ(t) 0 für t I und ϕ besitzt einen Doppelpunkt, d.h. es gibt a < b I mit ϕ(a) = ϕ(b). Dann gilt I = R und ϕ ist periodisch mit Periode p := b a. (c) Es gilt ϕ(t) 0 für t I und ϕ besitzt keinen Doppelpunkt. Beweis. Die erste Aussage folgt sofort aus Satz 3.2 und 4.1. (a): Man hat v(ξ) = ϕ(τ) = 0. Die konstante Funktion ψ : t ξ löst also das Anfangswertproblem ẋ = v(x), x(τ) = ξ, und Satz 3.2 impliziert ϕ = ψ. (b): Nach 4.1c) gilt I + p = I und ϕ p = ϕ. 4.3 Satz. Eine nicht konstante stetige periodische Funktion ϕ : R K n besitzt eine minimale Periode p > 0, und pz ist die Menge aller Perioden von ϕ. Beweis. a) Die Menge P aller Perioden von ϕ ist eine abgeschlossene Untergruppe von R. Gibt es zu jedem ε > 0 ein q P mit 0 < q < ε, so gibt es zu jedem x R ein k Z mit x kq < ε, und wegen kq P folgt auch x P = P, also der Widerspruch P = R.

2 18 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 b) Folglich besitzt die Menge P + := P (0, ) ein minimales Element p > 0. Zu q P gibt es k Z mit kp q < (k + 1)p, also 0 q kp < p, und wegen q kp P folgt q = kp. 4.4 Beispiele. a) Die maximalen Lösungen eines autonomen linearen Systems ẋ = Cx, C M R (n), (2) sind gegeben durch (vgl. [A3], Abschnitt 69 und??) ϕ ξ (t) = e Ct ξ, ξ R n. (3) Für ξ = 0 hat man eine stationäre Lösung. b) Es sei ξ + iη =: v C n Eigenvektor von C zum Eigenwert λ = γ + iω C. Dann gilt ϕ ξ (t) = e Ct ξ = Re e Ct v = Re e λt v = e γt (cosωt ξ sin ωt η). (4) Im Fall γ = 0 ist diese Lösung periodisch, im Fall λ = 0 sogar stationär. c) Für α R, C = α 0 0 α 0 erhält man die maximale Integralkurve M R(4) und ξ = e 1 + e 3 = ϕ ξ (t) = (cost, sin t, cosαt, sin αt), (5) deren Spur in dem Torus T 2 = S 1 S 1 liegt. Für α = p q Q ist ϕ ξ periodisch mit Periode 2πq. Für α Q ist ϕ ξ wegen 2πZ 2παZ = nicht periodisch. Da die Folge (αt + 2παk) k Z modulo 2π in [ π, π] dicht ist (vgl. [A1], Satz 7.5), ist die Spur von ϕ ξ in diesem Fall dicht in T Beispiel. a) Der einzige stationäre Punkt des Vektorfeldes v(x, y) := (y, x) + (1 x 2 y 2 ) (x, y) (6) in R 2 ist der Nullpunkt. Für Integralkurven in R 2 \{0} macht man den Ansatz (x(t), y(t)) = r(t) (cosϕ(t), sin ϕ(t)). (7) b) Aus (ẋ, ẏ) = v(x, y) folgt dann ṙ 2 + r 2 ϕ 2 = r 2 + r 2 (1 r 2 ) 2, und man erhält Lösungen aus den Differentialgleichungen ϕ = 1, ṙ = r (1 r 2 ). (8) Es ist ṙ = r (1 r 2 ) eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen; Lösungen sind r(t) = 0 sowie r 0 (t) = 1 sowie r + (t) = (1 + e 2t ) 1 2, r (t) = (1 e 2t ) 1 2. (9)

3 4 Autonome Systeme und Erste Integrale 19 Mit ϕ(t) = t c und (7) liefert dies maximale Integralkurven von v. Mit r 0 erhält man eine periodische Integralkurve in S 1, mit r + auf I = R definierte Spiralen von {0} nach S 1 und mit r auf I = (0, ) definierte Spiralen, die aus nach S 1 laufen. c) Da die Vereinigung all dieser maximalen Integralkurven von v ganz R 2 liefert, hat man damit alle solchen gefunden. Die folgenden Überlegungen sind physikalisch motiviert: 4.6 Erhaltungsgrößen. a) Es seien D R n offen und v C 1 (D, R n ) ein Vektorfeld auf D. Eine skalare Funktion A C 1 (D, R) heißt erstes Integral oder eine Erhaltungsgröße des Systems (1) ẋ = v(x), falls A längs jeder Lösung ϕ C 1 (I 0, D) von (1) konstant ist, d.h. falls d (A ϕ) = 0 gilt. (10) dt b) Ist A ein erstes Integral des Systems (1), so verlaufen Lösungen also stets in den Niveaumengen N c (A) = {x D A(x) = c}, c R, (11) von A. Gilt ξ N c (A) und grada(ξ) 0, so läßt sich aufgrund des Satzes über implizite Funktionen die Gleichung A(x) c = 0 nahe ξ nach einer der Variablen auflösen; somit ist dann N c (A) nahe ξ eine (n 1)-dimensionale Fläche, speziell im Fall n = 2 eine glatte Jordankurve. Ist insbesondere c ein regulärer Wert von A, d.h. gilt grada 0 auf N c (A), und ist N c (A) kompakt, so ist N c (A) eine endliche disjunkte Vereinigung glatter C 1 -geschlossener Jordankurven. Für A C n (D, R) sind fast alle Werte c R regulär (Lemma von Sard, vgl. [A3], Abschnitt 12). c) Zwecks Konstruktion erster Integrale beachtet man die Kettenregel d (A ϕ) = grada(ϕ(t)), ϕ(t) = grada(ϕ(t)), v(ϕ(t))). (12) dt Ist also A C 1 (D, R) mit grada(x), v(x) = 0 für alle x D, (13) so ist A ein erstes Integral des Systems ẋ = v(x). Zunächst sucht man daher ein Vektorfeld w C 1 (D, R n ) mit möglichst wenig Nullstellen und w(x), v(x) = 0 für alle x D. (14) Dies ist leicht zu finden; für n = 2 und v = (v 1, v 2 ) kann man etwa w = ( v 2, v 1 ) nehmen. Hat nun w ein Potential A C 2 (D, R), so ist eine Erhaltungsgröße gefunden (vgl. [A3], Abschnitt 53). 4.7 Beispiel. a) Für autonome lineare Systeme (2) ẋ = v(x) = Cx mit schiefsymmetrischer Matrix C = C ist A(x) := x 2 ein erstes Integral. In der Tat gilt dann grada(x), v(x) = 2 x, Cx = 0 für alle x R n wegen x, Cx = C x, x = Cx, x = x, Cx. b) Somit verlaufen alle Lösungen von ẋ = Cx stets in Sphären um den Nullpunkt. Dies folgt auch aus der Tatsache, daß die Matrizen e Ct orthogonal sind: (e Ct ) = e C t = e Ct = (e Ct ) 1.

4 20 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester Eulersche Multiplikatoren. a) Ein Vektorfeld v = grad A C 1 (D, R n ) ist stets wirbelfrei, d. h. Dv ist symmetrisch. Über sternförmigen oder einfach zusammenhängenden Gebieten D R n hat umgekehrt auch jedes wirbelfreie Vektorfeld ein Potential. b) Im Fall n = 2 ist ein Vektorfeld w = (a, b) genau dann wirbelfrei, wenn δ := a y b x = 0 (15) gilt. Nun erfüllt mit w auch jedes skalare Vielfache die Bedingung (15). Ist also δ 0, so sucht man eine skalare Funktion h mit möglichst wenig Nullstellen, so daß das Vektorfeld h w wirbelfrei ist. Eine solche Funktion h heißt dann Eulerscher Multiplikator oder integrierender Faktor für w bzw. für das autonome System (1). c) Es ist h w genau dann wirbelfrei, wenn mit δ := a b y x Differentialgleichung erfüllt ist: die folgende partielle b h x a h y = h δ. (16) d) Die Lösung von (16) ist i.a. schwierig. Ist aber etwa D = I J ein Rechteck, b(x, y) 0 auf D und B := δ b nur von x abhängig, so hat (16) eine ebenfalls nur von x abhängige Lösung h, die der gewöhnlichen Differentialgleichung dh dx = h(x) B(x) (17) genügt, also durch h(x) = c exp( B(x) dx) gegeben ist. Entsprechendes gilt bei Vertauschung der Rollen von x und y. Es folgt nun ein weiteres Beispiel für eine Lösung von (16): 4.9 Das Räuber-Beute-Modell von Lotka-Volterra modelliert einen gekoppelten Wachstumsprozeß für zwei Populationen: a) Die konstante Wachstumsrate α > 0 einer Beute-Population x wird durch einen zur Anzahl der Räuber proportionalen Term ρy vermindert, die konstante negative Wachstumsrate µ der Räuber-Population y entsprechend durch einen zur Anzahl der Beutetiere proportionalen Term βx erhöht. Man erhält dann das System ẋ = (α ρy) x, ẏ = (βx µ) y, (α, ρ, β, µ > 0). (18) b) Das zu (18) gehörende Vektorfeld ist und man wählt v(x, y) = ((α ρy) x, (βx µ) y), (19) w(x, y) = ((µ βx) y, (α ρy) x). (20) c) Für die in (16) auftretende Funktion δ hat man δ = a y b x = (µ βx) (α ρy), und weiter gilt xa(x, y) yb(x, y) = (µ βx) xy (α ρy) xy = xy δ(x, y). Für einen nur von xy abhängigen Eulerschen Multiplikator h = h(xy) gilt nach (16) b h x a h y = byh axh = (yb xa) h = xyδh = h δ,

5 4 Autonome Systeme und Erste Integrale 21 ein Eulerscher Multi- also h (s) = 1 h(s) und h(s) = 1 1. Folglich ist h(x, y) = s s plikator für w, und ein Potential von xy 1 w(x, y) = (µ βx xy x ist gegeben durch, α ρy ) y A(x, y) = µ log x βx + α log y ρy. (21) d) Der einzige kritische Punkt von A ist (x 0, y 0 ) = ( µ, α ), und wegen A für β ρ x 0 +, und y 0 +, muß A in (x 0, y 0 ) sein Maximum auf R 2 + annehmen. Jede Zahl c < c 0 := A(x 0, y 0 ) ist dann regulärer Wert von A, und die entsprechende Niveaumenge N c (A) = {(x, y) G A(x, y) = c} ist kompakt. Eine Abbildung zeigt, daß N c (A) aus einer glatten C 1 -geschlossenen Jordankurve besteht. e) Alle Lösungen des Systems (18) verlaufen also in einer Niveaulinie von A. Daher sind maximale Lösungen auf ganz R definiert, periodisch und durchlaufen ganz eine Niveaulinie. Allgemeiner gilt: 4.10 Satz. Es seien v C 1 (D, K n ) ein Vektorfeld und Γ D eine glatte C 1 -geschlossene Jordankurve mit v(x) 0 auf Γ. Für eine maximale Lösung ϕ : I D von ẋ = v(x) mit ϕ(i) Γ gilt dann I = R, ϕ(i) = Γ, und ϕ ist periodisch. Beweis. a) Wegen ϕ(i) Γ ist ϕ(i) beschränkt, und Satz 3.4 liefert sofort I = R. b) Wegen v(ϕ(t)) 0 für alle t R kann Fall (a) von Satz 4.2 nicht vorliegen. Ist ϕ nicht periodisch, so muß Fall (c) vorliegen; dann ist ϕ : [ L, L] Γ für alle L > 0 eine glatte Jordan-Parametrisierung eines Teils von Γ. Es gibt c > 0 mit v(x) c für x Γ, und man erhält L(Γ) L L ϕ(t) dt = L L v(ϕ(t)) dt L L c dt = 2cL für alle L > 0, also einen Widerspruch. c) Nach b) ist also ϕ periodisch und somit ϕ(r) Γ kompakt. Gibt es ξ Γ\ϕ(R), so wählt man eine glatte Jordan-Parametrisierung γ : [a, b] Γ von Γ mit γ(a) = γ(b) = ξ und findet a < c < d < b mit ϕ(r) γ[c, d]. Dann ist α := γ 1 ϕ : R R eine C 1 -Funktion, und wegen ϕ(t) 0 ist auch α(t) 0 für t R. Folglich muß α streng monoton und somit ϕ injektiv sein im Widerspruch zur Periodizität von ϕ. Das Argument in c) zeigt auch, daß ϕ keine Umkehrpunkte besitzt; für jede lokale glatte Jordan-Parametrisierung γ : [a, b] Γ von Γ kann ja α = γ 1 ϕ keine lokalen Extrema haben Pfaffsche Formen. a) Die Methode der Eulerschen Multiplikatoren wird oft mittels Pfaffscher Formen formuliert, was im Hinblick auf Koordinatentransformationen der hier gegebenen Formulierung vorzuziehen ist. Skizze: b) Statt (12) schreibt man d (A ϕ) = da(ϕ(t)) ( ϕ(t)) = da(ϕ(t)) (v(ϕ(t))) (22) dt

6 22 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 mit der Ableitung da(x) = A (x) (R n ) = L(R n, R). da wird durch den Zeilenvektor da = ( A x 1,..., A x ) repräsentiert; insbesondere gilt dx j = (δ j1,...,δ jn ). Abbildungen ω : G (R n ) heißen Pfaffsche Formen, Differentialformen erster Ordnung oder 1-Formen auf G ; sie haben somit die Darstellung ω(x) = n j=1 a j (x) dx j (23) mit C k -Funktionen a i (x) = ω(x)(e i ). c) An Stelle eines Vektorfeldes w C 1 (G, R n ) mit (14) sucht man eine C 1 -Form ω auf G mit ω(x) (v(x)) = 0 für alle x G ; (24) der Zusammenhang ist einfach ω = w. An Stelle eines Potentials für w sucht man dann eine Stammfunktion von ω, die also da = ω erfüllt.