Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik

Transkript

1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Ioannis Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz WS 5/ Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe (Übung) Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) y + y y 3 = mit y() =. b) y = y (x + )y + + x + x mit y() = 3. a) Dies ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit α = 3. Wir setzen daher z(x) := y(x) α = y(x). Dann erhalten wir für z die lineare Differentialgleichung z (x) = z(x). Die allgemeine Lösung der zugehörige homogenen Differentialgleichung z (x) = z(x) ist gegeben durch z(x) = ce x, c R. Durch Variation der Konstanten c lässt sich nun eine spezielle Lösung ermitteln. Wir machen den Ansatz z(x) = c(x)e x und setzen ihn in die inhomogene Differentialgleichung ein. Damit erhalten wir c (x) = e x, also c(x) = e x und somit z p (x) =. Also erhalten wir als allgmeine Lösung z(x) = + ce x bzw. y(x) = ±. + ce x Die Anfangsbedingung y() = impliziert c = 3. Somit ist y(x) = +3e x die gesuchte Lösung. b) Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine Riccatische Differentialgleichung. Eine partikuläre Lösung y p mit y p (x) = x für alle x R kann man erraten. Setze z = u y p. Dann erfüllt u genau dann die Differentialgleichung, wenn erfüllt. z (x) = y (x) y p(x) = y (x) y p(x) (x + )(y(x) y p (x)) = (y(x) y p (x))(y(x) + y p (x)) (x + )z(x) = z(x)(z(x) + y p (x)) (x + )z(x) = z (x) z(x)

2 Dies ist eine Bernoullische Differentialgleichung. Für den Anfangswert gilt z() = y() y p () = 3 >. Deswegen interessieren wir uns zunächst für Lösungen z >. Für solche darf man die Differentialgleichung für z durch z (x) dividieren und erhält die äquivalente Gleichung z (x) z (x) = z(x). Definiere w(x) = z(x). Wegen z > ist w differenzierbar mit w (x) = z (x). Die obige Differentialgleichung lautet dann z (x) w (x) = w(x). Dies ist eine lineare Differentialgleichung für w. Eine partikuläre Lösung w p = ist leicht zu erraten. Die allgemeine Lösung w h der homogenen Gleichung ist durch w h (x) = Ce x mit der freien Konstanten C R gegeben. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet also w(x) = w h (x) + w p (x) = + Ce x. Durch die Anfangsbedingung w() = z() = 3 wird C = festgelegt. Damit ist w(x) > für alle x R und z(x) = w(x) = + e x, bzw. y(x) = y p(x) + z(x) = x + + e x für alle x R. Das obige y ist die eindeutige, nicht weiter fortsetzbare Lösung des ursprünglichen Anfangswertproblems. Aufgabe (Tutorium) Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a) y = x y 6y+5 y 3 mit y() =. b) y = e x y ey mit y() =. c) y = x y + x mit y() =. d) y = 3 x y + mit y() =. x 3 +x a) Nach Separation erhalten wir für x y 6 y 6y + 5 dy = x dx log y 6y + 5 = log x + c, c R. Nun wenden wir die Exponentialfunktion an und lösen den Betrag auf. Dies führt auf y 6y + 5 = c x (y 3) = c x + 4, c R.

3 Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist daher gegeben durch y(x) = 3 ± c x + 4, c R. Die Lösung des Anfangswertproblems erhalten wir durch Einsetzen des Anfangswertes. Mit y() = erhalten wir c = 3 sowie ein negatives Vorzeichen vor der Wurzel (da sonst die Anfangsbedingung verletzt wäre). Die Lösung lautet also y(x) = x für x > 3 4. b) Wir formen zunächst die Differentialgleichung um: y (x)e y(x) e ey(x) = e x. Die linke Seite ist gerade die Ableitung von e ey(x). Integration liefert daher e ey(x) = e x + c, c R. Nach Umformen erhalten wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y(x) = log(log(e x + c)), c R. Für x = ist log(log(e + c)) = genau dann wenn c =. Damit lautet die Lösung des Anfangswertproblemes y(x) = log(log(e x )) = log(x) für x >. c) Die Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung y = x y ist gegeben durch y h (x) = c exp( log(x )) = c x, c R. Eine spezielle Lösung für die inhomogene Differentialgleichung bekommen wir mit Variation der Konstanten: Setzen wir den Ansatz y(x) = c(x) x in die Differentialgleichung ein, erhalten wir c (x) = (x ), also c(x) = 3 (x )3. Eine spezielle Lösung ist damit gegeben durch y p = 3 (x ). Damit erhalten wir die allgemeine Lösung y(x) = y h (x) + y p (x) = c x + 3 (x ), für x,c R. Wegen y() = c + 3 = genau für c = 3 ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch (x ) y(x) = +, x (,). 3(x ) 3 d) Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung y = 3 x y lautet y h (x) = c exp( 3log(x)) = c x 3, c R. 3

4 Der Ansatz für die Variation der Konstanten lautet also y(x) = c(x). Wir setzen den Ansatz in x 3 die Differentialgleichung ein und erhalten c (x) =. Also ist c(x) = x arctan(x) und damit x + y p (x) = arctan(x) eine spezielle Lösung. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung x x 3 lautet damit y(x) = y h (x) + y p (x) = c x 3 + x arctan(x), für x,c R. x3 ist die Lösung des Anfangswer- Wegen y() = c + arctan() = genau für c = arctan() = π 4 problems gegeben durch Aufgabe 3 (Übung) y(x) = π 4x 3 + x arctan(x) x 3, x (, ). Betrachten Sie das Anfangswertproblem π (sin(x) + sinh(y)) dx + cosh(y) dy = mit y =. 4 a) Zeigen Sie, dass die obige Differentialgleichung nicht exakt ist. b) Finden Sie einen integrierenden Faktor µ : D R \ {} auf einer möglichst großen, einfach zusammenhängenden Menge D ( π 4, ), der nur von x abhängt. c) Lösen Sie das Anfangswertproblem in impliziter Form. d) Geben Sie die explizite Lösung des Anfangswertproblems auf einem möglichst großen Intervall I π 4 an. Setze P (x,y) = sin(x) + sinh(y), Q(x,y) = cosh(y). a) Es gilt P y = cosh(y) = Q x für alle (x,y) R. Damit ist die Differentialgleichung nicht exakt. b) Einsetzen des Ansatzes µ(x,y) = µ(x) in die Vertauschbarkeitsbedingung liefert y µ(x)(sin(x) + sinh(y)) = x µ(x)cosh(y) cosh(y)m(x) = µ (x)cosh(y) cosh(y) µ (x) = µ(x). Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist µ(x) = e x. Wegen µ(x,y) > für alle (x,y) R, ist µ tatsächlich ein integrierender Faktor auf der offenen, sternförmigen Menge D = R. Offensichtlich ist D ( π 4, ) maximal. Sei P (x,y) = µ(x)p (x,y) = e x (sin(x) + sinh(y)) und Q(x,y) = µ(x)q(x,y) = e x cosh(y). Dann ist die Differentialgleichung P (x,y) dx + Q(x,y) dy = 4

5 exakt und auf D zur ursprünglichen Gleichung äquivalent. c) Gesucht ist eine Stammfunktion von ( P Q) (x,y) = e x sin(x) + sinh(y) cosh(y) auf D. Sei (x,y) R. Definiere γ : [,] R durch x γ(t) = t t [,]. Dann γ (t) = y x y t [,]. Eine gesuchte Stammfunktion F erhält man (siehe Satz 9.3 (3) aus HM ) durch F(x, y) = = = γ ( P Q) Das Integral I berechnen wir über ds = ( e xt ) sin(xt) + sinh(yt) x e xt dt cosh(yt) y xe xt sin(xt) + xe xt sinh(yt) + e xt y cosh(yt)) dt xe xt sin(xt) dt + [ e xt sinh(yt) ] = I t= + e x sinh(y). } {{ } =:I I = xe xt sin(xt) dt = [ e }{{} sin(xt) ] } {{ } xe xt cos(xt) dt t= }{{}} {{ } = u v u v e x sin(x) [ e xt cos(xt) ] xe xt sin(xt) dt = e x (sin(x) cos(x)) + I t= } {{ } x sin(x) cos(x) I = e +. =I Damit ist F : R R mit F(x,y) = F(x,y) = ex ( sin(x) cos(x) für alle (x,y) R eine gesuchte Stammfunktion. + sinh(y) Die Lösungen des ursprünglichen Anfangswertproblems sind implizit durch sin(x) cos(x) π e x + sinh(y) = F(x,y) = F 4, =. d) Die implizite Gleichung lässt sich für alle (x,y) R nach y auflösen. Man erhält sin(x) cos(x) y(x) = Arsinh ) 5

6 für alle x R. Aufgabe 4 (Tutorium) Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme bzw. geben Sie bei c) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an: a) y = x(y + y ) mit y() =. b) y 3 3x +3 + xy y = mit y() =. c) y = e x y + y e x. a) Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine Bernoullische Differentialgleichung (α = ). Wegen y() =, interessieren wir uns zunächst für Lösungen y >. Für solche darf man die Differentialgleichung durch y (x) dividieren und erhält die äquivalente Gleichung y (x) y (x) = x y(x) +. Definiere z(x) = y(x). Wegen y > ist z definiert und differenzierbar mit z (x) = y (x). Die obige y (x) Gleichung lautet dann z = x(z + ). Dies ist eine lineare Differentialgleichung für z. Eine partikuläre Lösung z p (x) = ist leicht zu erraten. Die allgemeine Lösung z h der homogenen Gleichung ist durch z h (x) = Ce x mit der freien Konstanten C R gegeben. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet also z(x) = z p (x) + z h (x) = + Ce x. Durch die Anfangsbedingung z() = y() = wird C = festgelegt. Es gilt z(t) > + e x > x > log() x < log() := x. Also ist die Lösung y der ursprünglichen Gleichung zumindest auf dem Intervall I = ( x,x ) existent und eindeutig durch y(x) = z(x) = e x für alle x I gegeben. Wegen lim y(x) = lim y(x) = x x + x x ist sie weder nach links noch nach rechts weiter fortsetzbar. b) Wir teilen die Gleichung durch xy(x) und erhalten y (x) = x y(x) + 3x 3 + 3x y(x), 6

7 also eine Bernoullische Differentialgleichung mit α =. Setzen wir z(x) := y(x) α = y(x) 3, so finden wir die lineare Differentialgleichung z (x) = 3 x z(x) + x 3 + x. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist nach Aufgabe d) gegeben durch z(x) = c x 3 + x x 3 arctan(x). Nach Resubstitution erhalten wir ( y(x) = c x 3 + x ) /3, x 3 arctan(x) c R. Einsetzen der Anfangsbedingung y() = liefert c = π 4. Damit ist schließlich die Lösung des Anfangswertproblems. ( π y(x) = 4 x 3 + x ) /3 x 3 arctan(x), für x >, c) Zunächst bestimmen wir eine spezielle Lösung der Gleichung mit dem gegebenen Ansatz y (x) = e ax. Einsetzen liefert (a )e ax = e (a )x e x, und für a = gilt Gleichheit. Somit ist y (x) = e x eine Lösung der Gleichung. Die weiteren Lösungen der Riccatischen Differentialgleichung bekommen wir nun mit dem Ansatz u := y y = y e x. Dieser liefert für die Funktion u die Gleichung u (x) = ( + y (x)e x )u(x) + e x u(x) also u (x) = 3u(x) + e x u(x). Dies ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit α =. Sie hat u als eine Lösung; alle anderen Lösungen erhalten wir, indem wir z(x) := u(x) α = u(x) substituieren. Dies führt auf z (x) = 3z(x) e x. Die homogene Gleichung z (x) = 3z(x) hat die allgemeine Lösung z h (x) = ce 3x, c R, und mittels Variation der Konstanten erhalten wir z p (x) = e x als spezielle Lösung der inhomogen Gleichung. Die allgemeine Lösung der Gleichung für z ist damit z(x) = ce 3x e x, c R. Nun ermitteln wir die Nullstellen von z. Aus z(ξ) = folgt e ξ = c. Für c hat z also keine Nullstelle, für c > ist ξ = log(c) die einzige Nullstelle von z. Für jedes c R erhalten wir also durch u(x) = z(x) = ce 3x e x eine Lösung von u = 3u + e x u, wobei x R falls c und x (, log(c) ) oder x ( log(c), ) falls c > gilt. Zusammen mit u sind dies alle Lösungen von u = 3u + e x u. 7

8 Für die ursprüngliche Gleichung haben wir also die Lösungen y (x) = e x und y(x) = e x + ce 3x, c R. e x auf den entsprechenden Intervallen R oder (, log(c) ) bzw. ( log(c), ) je nach Wahl von c. Aufgabe 5 (Übung/Tutorium) Bei der Bewegung eines Körpers in Luft tritt bekannterweise ein Luftwiderstand auf. Aus der Strömungsmechanik wissen wir, dass die Luftwiderstandskraft proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist und durch die Formel F W = c W ρav gegeben ist. Hierbei bezeichnet c W den Strömungswiderstandskoeffizienten, ρ die Dichte der Luft und A die projektive Querschnittsfläche des bewegten Körpers senkrecht zur Bewegungsrichtung. Der Strömungswiderstandskoeffizient c W ist eine dimensionslose Größe, die abhängig von der Gestalt des Körpers ist und experimentell bestimmt werden muss. Stellen Sie Differentialgleichungen für die Geschwindigkeit v auf, welche die Bewegung a) in horizontaler Richtung b) in vertikaler Richtung unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes beschreiben und berechnen Sie jeweils die Lösung für die Anfangsbedingung v() = v. Gehen Sie in beiden Fällen davon aus, dass c W, ρ und A konstant sind und keine weiteren äußeren Kräfte den Körper beeinflussen außer der Gewichtskraft und der Luftwiderstandskraft. Im Folgenden sei stets k := c W ρa. a) In horizontaler Richtung wirkt auf den Körper nur die Luftwiderstandskraft, die damit der resultierenden Gesamtkraft entspricht. Damit gilt F ges = F W ma = kv v = k m v. Mittels Trennung der Variablen erhalten wir v dv = k m t + c also v(t) = k m t c, c R, und mit v() = v schließlich Insbesondere ist v, falls v =. v(t) = k m t + v. 8

9 b) Im Gegensatz zur Bewegung in horizontaler Richtung wirkt hier neben F W auch die Gewichtskraft F g. Damit gilt F ges = F W + F g ma = kv + mg v = k m v + g. Dies ist eine Riccatische Differentialgleichung. Um diese zu lösen, benötigen wir zunächst eine spezielle Lösung dieser Gleichung. Durch Umformen der Gleichung für v finden wir v = k m (v m k g). Nehmen wir versuchsweise an, dass v konstant ist, erkennen wir, dass v := mg k eine (konstante) Lösung der Gleichung ist. Anschaulich ist dies die Geschwindigkeit, bei der sich Luftreibung und Erdanziehungskraft gegenseitig kompensieren und der Körper mit konstanter Geschwindigkeit fällt. Der Ansatz u := v v führt uns auf die Bernoullische Differentialgleichung u = k m v u k m u. Durch eine erneute Substitution z := u erhalten wir die lineare Differentialgleichung z = k m v z + k m. Für eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, d.h. y = ay+b mit a,b R,a kann man leicht nachrechnen, dass y(x) = ce ax b a, c R, die Lösung dieser Gleichung ist. Daher ist z(t) = z exp( m k v t) v, z R, die Lösung der Gleichung für z. Durch Rücksubstitution erhalten wir v(t) = v v c exp( k m v t) +, c R. Die Anfangsbedingung v() = v führt schließlich auf c = v +v v v v(t) = v v (v v ) (v + v )exp( k m v t) + v v. und somit auf die Lösung 9