Gewöhnliche Differenzialgleichungen

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1 Chapter 3 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 3.1 Der Luft- oder Strömungswiderstand (verursacht durch den Impulsübertrag der Luftmoleküle auf den Fallschirm), den ein Fallschirmspringer spürt, nachdem er den Fallschirm geöffnet hat, ist sehr stark und kann näherungsweise durch bv 2 beschrieben werden. Hierbei bezeichnet b eine Konstante und v ist die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers. Der Luftwiderstand ist der Gravitationskraft mg entgegengerichtet. Es ist g = 9.8ms 2 die Erdbeschleunigung und m die Masse des Systems Fallschirmspringer + Ausrüstung. Finden Sie die Differenzialgleichung, die die Geschwindigkeitsänderung des Fallschirmspringers auf seinem Weg zur Erde beschreibt. Bestimmen Sie die Endgeschwindigkeit des Fallschirmspringers (d.h. diejenige Geschwindigkeit, die sich einstellt, wenn die Gravitation den Luftwiderstand exakt kompensiert) und lösen Sie die gewöhnliche Differenzialgleichung mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = v 0. Wenden Sie die oben gefundene Differenzialgleichung auf den Sprung von Felix Baumgartner an (Infos z.b. unter Baumgartner-bewaeltigt-Rekordsprung). Die Masse von Felix und seines Raumanzugsbetrug 120kg. DieLuftwiderstandskonstantekannalsb = 400kgm 1 angenommen werden. Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Erdbeschleunigung (g = 9.8ms 2 ) Felix Endgeschwindigkeit. Felix öffnete den Fallschirm in einer Höhe von 1500m. Nehmen Sie (vereinfachend) an, dass er, nachdem er den Fallschirm geöffnet hatte, instantan seine Endgeschwindigkeit erreichte. Wieviel Zeit brauchte er dann bis zur Landung? Überprüfen Sie jetzt, dass diese Annahme tatsächlich gerechtfertigt ist. Dazu berechnen Sie Fe- 9

2 10 CHAPTER 3. GEWÖHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN lix Geschwindigkeit eine Sekunde, nachdem er den Fallschirm geöffnet hatte. Nehmen Sie dazu an, dass seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt der Öffnung des Fallschirms 340ms 1 betrug (das ist nahe der Schallgeschwindigkeit bei der Durchschnittstemperatur der Atmosphäre). 3.2 Raketen werden durch den Rückstoß des ausgestoßenen Gases angetrieben. Das 3. Newtonsche Gesetz sagt nun aus, dass die nach unten gerichtete Gewichtskraft der Rakete durch die Rückstoßkraft des nach unten gerichteten heißen Gasstrahls, der durch eine Düse austritt, kompensiert werden muss, wenn der Impuls der Rakete konstant sein soll. Soll die Rakete entgegen der Schwerkraft beschleunigt werden, muss die Rückstoßkraft(auch Schubkraft genannt) überwiegen. Es ist nicht schwierig zu zeigen, dass die Schubkraft durch F schub = u ex dm dt beschrieben werden kann. Dabei bezeichnet u ex die Geschwindigkeit des ausgestoßenen Gases und M ist die Masse der Rakete (die Masse ändert sich mit der Zeit, da die Rakete Masse in Form von Gas verliert). Stellen Sie die Bewegungsgleichung der Rakete unter dem Einfluss von Schubund Schwerkraft auf, wenn die Rakete entgegen der Schwerkraft beschleunigt wird. Nehmen Sie eine anfänglich ruhende Rakete (also v(t = 0) = v 0 = 0) und eine zeitlich konstante Erdbeschleunigung g an. Nehmen Sie nun eine zeitlich konstante Ausstoßrate R des Gases an, d.h. die Masse der Rakete reduziert sich vermöge M(t) = M 0 Rt, wobeim 0 dieanfangsmassederraketeist. BetrachtenSieeinekurzeZeitspanne (Sie können eine Funktion der Zeit in eine Taylorreihe entwickeln und müssen für eine kurze Zeitspanne nur die Anfangsglieder der Reihe berücksichtigen) und finden Sie eine notwendige Bedingung, die man an R (oder an u ex ) stellen muss um eine positive Raketengeschwindigkeit zu erhalten. 3.3 (Bonus: extra Kreuzerl) Die Flächenzunahme ẋ(t) eines jungen Blattes der Seerose Victoria Regia ist proportional zum Produkt seines Umfangs u(t) und der Menge

3 M L (t) des einfallenden Sonnenlichts (ẋ(t) = c 1 u(t)m L (t), wobei c 1 eine Proportionalitätskonstante). Letztere ist wiederum (so lange die Sonne scheint) proportional der Blattfläche x(t) und dem Kosinus des Winkels ϕ(t) zwischen der Vertikalen und derrichtungdereinfallendensonnenstrahlen(m L (t) = c 2 x(t)cos[ϕ(t)], wobeic 2 eine Proportionalitätskonstante). Bestimmen Sie die Fläche des Blattes als Funktion der Zeit (also x(t)) für den Verlauf eines Tages, wenn zusätzlich bekannt ist: das Blatt hat die Form einer Kreisscheibe und befindet sich am Äquator, Sonnenaufgang ist um 6 Uhr, Sonnenuntergang um 18 Uhr; ϕ = 90 um 6 Uhr, ϕ = 0 um 12 Uhr, ϕ = 90 um 18 Uhr, die Blattfläche nimmt stetig zu von 1600 cm 2 um 6 Uhr auf 2500 cm 2 um 18 Uhr. 1. Finden Sie die zugrunde liegende Differenzialgleichung und geben Sie die Randbedingungen (Blattfläche um 6 Uhr (t = 0) und um 18 Uhr (t = 12)) an. Hinweis: Finden Sie zuerst die Abhängigkeit des Winkels ϕ von der Zeit. Drücken Sie den Umfang als Funktion der Blattfläche aus. 2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung. 3. Finden Sie die partikuläre Lösung der Differenzialgleichung. Hinweis: Bestimmen Sie die in der allgemeinen Lösung vorkommende und noch unbestimmte Konstante. Dies tun Sie, indem Sie die Randbedingung x(t = 12) = 2500 in die allgemeine Lösung einsetzen. Die resultierende Bestimmungsgleichung für die Konstante ist ein Polynom 2. Grades. Welche der beiden Lösungen können Sie verwenden? 3.4 Lösen Sie die Differenzialgleichung sinyy = cos 2 y mit Hilfe einer geeigneten Substitution. Bestimmen Sie den Typ der Differenzialgleichung und finden Sie die allgemeine Lösung. dy dx + 2y x 7x4 +3 = 0

4 12 CHAPTER GEWÖHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN Lösen Sie die Differenzialgleichung xy +ylny = ylnx mit Hilfe einer geeigneten Substitution. Prüfen Sie, dass die Differenzialgleichung cosy = y ( xsiny y 2) exakt ist und lösen Sie sie. 3.6 Prüfen Sie, ob die Differenzialgleichung 2x 2 + (2x+ x3 y ) y = 0 exakt ist. Falls nicht, finden Sie einen integrierenden Faktor und geben Sie die allgemeine Lösung an. 3.7 Die Differenzialgleichungen y(x) = xy +(y ) 2 y(x) = xy + 1 y haben die spezielle Form y(x) = xy +g(y ). Durch die Substitution y = p kann die allgemeinelösungdurchy A (x) = xk+g(k),k R, dargestelltwerden. Bestimmen Sie nun singuläre Lösungen y S (x), welche von der allgemeinen Lösung y A (x) nicht erfasst werden können. Skizzieren Siesich die Kurvenschar y A (x) unddiegefundenen singulären Lösungen y S (x)! Was stellen Sie fest? 3.8 Sei die Differenzialgleichung gegeben. y + 1 α2 4x 2 y = 0

5 Finden Sie die Wronski-Determinante W(y 1,y 2 ), ohne die allgemeine Lösung zu berechnen. Sei y 1 (x) = x 1+α 2 eine Lösung der obigen Differenzialgleichung. Wie kann man die zweite Lösung y 2 (x) direkt finden? DieobengefundenenLösungeny 1 (x)undy 2 (x)sindnurdannlinearunabhängig, falls α 0. Wie schaut die zweite Lösung y 2,α=0 (x) aus, falls α = 0? Zeigen Sie, dass diese Lösung der Gleichung y 2,α=0 (x) = lim α 0 ( ) y1 (x) y 2 (x) genügt, wobei y 1 (x) und y 2 (x) die Lösungen sind, die wir im Punkt 1 gefunden haben. α 3.9 Seien y 1 (x) = x, y 2 (x) = 1 x 2, zwei Lösungen einer homogenen Differenzialgleichung 2. Ordnung (also eine Gleichung vom Typ y + p(x)y + q(x)y = 0). Es ist x < 1 (ansonsten ist y 2 (x) eine komplexe Funktion). Zeigen Sie, dass y 1 und y 2 linear unabhängig sind. Finden Sie die Differenzialgleichung, der die Funktionen y 1 und y 2 genügen. Hinweis: Verwenden Sie die Abel sche Identität W(x) = Ce p( x)d x Lösen Sie das Randwertproblem y +2y +5y = 0 y(0) = 1 y ( π 4) = 1 Lösen Sie das Anfangswertproblem y 2y +y = 0 y(1) = 1 y (1) = e+1

6 14 CHAPTER 3. GEWÖHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 3.11 (Bonus: extra Kreuzerl) Die Dynamik eines bestimmten Feder-Masse Systems wird durch das Anfangswertproblem u (t)+2γu (t)+u = 0 u(0) = L u (0) = 0 beschrieben, wobei der Dämpfungskoeffizient γ R, γ > 0 ist. Finden Sie die Lösung des obigen Anfangswertproblems! Unter normalen Bedingungen kann erwartet werden, dass die Masse um die Gleichgewichtslage schwingt. Welche Werte von γ sind deshalb vernünftig? In welcher kompakten Form lässt sich die Lösung in diesem Fall schreiben? Wie verhält sich die Lösung für t? 3.12 Lösen Sie, mit Hilfe der Methode Variation der Konstanten, die inhomogene Differenzialgleichung y 2y = e x sinx Verifizieren Sie, dass die Funktionen y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e x, y 3 (x) = e 2x der Differenzialgleichung y +2y y 2y = 0 genügen. Verifizieren Sie auch, dass y 1, y 2, y 3 linear unabhängig sind. Finden Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differenzialgleichung y +3y +9y 13y = 0.

7 Finden Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (4) y = 0, y(0) = 7 2 y (0) = 4. y (0) = 5 2 y (0) = 2 Betrachten Sie jetzt eine kleine Änderung in y (0). Nehmen Sie y (0) = 15 statt 8 y (0) = 2. Finden Sie die neue Lösung des Anfangswertproblems und skizzieren Sie beide Lösungen. Was stellen Sie fest? 3.15 Finden Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differenzialgleichung: y (6) 2y (5) 32y +64y = 0. Finden Sie mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten die partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung y 6y +9y = e 3x Finden Sie unter Verwendung des D-Operators eine partikuläre Lösung der folgenden Differenzialgleichungen: y +2y +2y = x 2 e x y y = e 2x Finden Sie mit einer Methode Ihrer Wahl die partikuläre Lösung der folgenden Differenzialgleichungen y +y = 6x+e x y (4) 2y +y = e x cosx+sinx

8 16 CHAPTER GEWÖHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN Finden Sie mit einer Methode Ihrer Wahl die partikuläre Lösung der Differenzialgleichung y +4y +4y = e 2x lnx Um die Laplace- oder Poisson-Differenzialgleichung in Kugelkoordinaten zu lösen, muss man eine Differenzialgleichung vom Typ ( ) d r 2dy Ay = 0 dr dr lösen. Zeigen Sie, dass dies eine Eulersche Gleichung ist und lösen Sie sie. Zeigen Sie, dass mit der Wahl A = l(l+1) die Lösung besonders einfach ausschaut.