4. Differentialgleichungen

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1 4. Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas Seite 1

2 Einleitung Viele in der Natur stattfindende Vorgänge können durch sogenannte Differentialgleichungen beschrieben werden. Unter einer Differentialgleichung versteht man - ganz grob gesagt - eine Gleichung, in der unbekannte Funktionen, ihre Variablen und ihre Ableitungen vorkommen. Die Lösung einer solchen Gleichung sind Funktionen, welche die durch die Gleichung gegebenen Bedingungen erfüllen Differentialgleichungen Seite 2

3 Beispiel: Wachstum von Populationen N(t) = Grösse der Population zur Zeit t. Wachstumsgeschwindigkeit: N N (t) = lim t 0 t Wachstumsrate: N (t) N(t) = 1 dn N dt Das Wachstumsverhalten von Populationen lässt sich mit Hilfe von Differentialgleichungen darstellen Differentialgleichungen Seite 3

4 Unbeschränktes Wachstum Gegeben: N 0 = N(0), λ > 0 Wachstumsverhalten: N (t) = λn(t) > 0 Mit Hilfe der Wachstumsrate erhält man: N N N = dn = λn dn dt λn = d dn 1 λn = dt N dn = λ N = e λt+c = e c e λt ec =K = Ke λt dt = λt ln(n) = λt + c Die Anfangsbedingung für t = 0 ist erfüllt, falls N(0) = K Differentialgleichungen Seite 4

5 Unbeschränktes Wachstum exponentielle Wachstumsfunktion: N(t) = N 0 e λt ; (λ > 0) N N(t) N 0 t Die Population wächst immer schneller unbegrenzt weiter. Verdoppelungszeit: T = ln(2) λ N(t + T ) = 2N(t) Differentialgleichungen Seite 5

6 Einfach Beschränktes Wachstum Gegeben: N 0 = N(0), λ, B > 0 Wachstumsverhalten: N (t) = λ(b N(t)) > 0 Mit Hilfe der Wachstumsrate erhält man: N N = dn dn = λ(b N) dt λ(b N) = dt dn λ(b N) = 1 dt B N dn = λ dt = λt N ln(b N) = λt + c ln(b N) = (λt + c) N = B e (λt+c) = B Ke λt Die Anfangsbedingung für t = 0 ist erfüllt, falls K = B N(0) Differentialgleichungen Seite 6

7 Einfach Beschränktes Wachstum einfach beschränkte Wachstumsfunktion: N(t) = B (B N 0 )e λt ; (λ, B > 0) N B N(t) N 0 lim t N(t) = lim t (B (B N 0 )e λt ) = B B = Endgrösse der Population t Differentialgleichungen Seite 7

8 Logistisches Wachstum Gegeben: N 0 = N(0), λ, B > 0 Wachstumsverhalten: N (t) = λn(t)(b N(t)) > 0 Mit Hilfe der Wachstumsrate erhält man: N N = dn dn = λn(b N) dt λn(b N) = dt dn λn(b N) = 1 dt N(B N) dn = λ N dt = λt Der Bruch lässt sich vereinfachen: 1 N(B N) = 1 (B N) + N = 1 B N(B N) B ( 1 N + 1 ) B N Differentialgleichungen Seite 8

9 Logistisches Wachstum Berechnet man das Integral, so erhält man: ( 1 1 B N + 1 ) dn = λt 1 (ln(n) ln(b N)) = λt + c B N B ( ) N ln = λbt + c N B N B N = eλbt+ c N = Be λbt+ c Ne λbt+ c N = = B BeλBt+ c Be c 1 + e = e λbt c e =K λbt+ c 1 + e c e λbt 1+Ke λbt Ke λbt = B 1 K e λbt + 1 N(1 + e λbt+ c ) = Be λbt+ c 1/K =L = = BKeλBt B 1 + Le λbt 1 + Ke λbt Die Bedingung für t = 0 ist erfüllt, falls N(0) = B L = B N(0). 1+L N(0) Differentialgleichungen Seite 9

10 Logistisches Wachstum logistische Wachstumsfunktion: B N N(t) = BN 0 N 0 + (B N 0 )e λbt ; (λ, B > 0) B/2 N(t) N 0 t lim t N(t) = B B = Endgrösse der Population Wendepunkt in N = B/ Differentialgleichungen Seite 10

11 Explizite Differentialgleichung erster Ordnung F : R 2 R (stetige) Funktion in zwei Variablen. Gesucht: Gesamtheit aller differenzierbaren Funktionen y = y(x) so, dass y = F(x, y). explizit : y direkt durch x und y ausgedrückt. erster Ordnung : Es kommen höchstens erste Ableitungen vor. Lösung der Differentialgleichung: Funktion y = y(x), welche der Gleichung y = F(x, y) genügt. Spezialfälle: y = F(x), y = F(y) Differentialgleichungen Seite 11

12 Beispiele von Differentialgleichungen Am Beispiel des Wachstumsverhaltens von Populationen haben wir bereits verschiedene Differentialgleichungen gelöst. In einfachen Fällen lässt sich eine Differentialgleichung auch durch Erraten lösen: Differentialgleichung Lösung y = 2x y = 2xy y = x 2 + c y = ce x2 Sehr wichtig ist die Feststellung, dass die Lösung einer Differentialgleichung (1. Ordnung) nie eindeutig bestimmt ist, sondern noch eine Konstante (c) enthält. Jeder Wert von c liefert eine Lösung der Differentialgleichung Differentialgleichungen Seite 12

13 Richtungsfeld zu einer Differentialgleichung Gegeben ist die Differentialgleichung: y = F(x, y) y = y(x) ist die Lösung dieser Gleichung. Wir wissen, dass die Steigung der Lösungskurve, die durch (x 0, y 0 ) läuft, an der Stelle (x 0, y 0 ) durch F(x 0, y 0 ) gegeben ist. Somit können wir die Steigung der Lösungskurve an bestimmten Punkten berechnen, ohne die Lösungsfunktion f (x) zu kennen. Mit Hilfe eines Richtungsfelds lässt sich der Verlauf der Lösungskurven näherungsweise erkennen Differentialgleichungen Seite 13

14 Richtungsfeld zu einer Differentialgleichung Richtungsfeld: In (x, y) wird eine kleine Strecke mit Steigung F(x, y) eingetragen. Lösungen: Kurven, die dem Richtungsfeld folgen Differentialgleichungen Seite 14

15 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung Definition: Eine Differentialgleichung erster Ordnung heisst linear, wenn sie die Form y = p(x)y + q(x) hat, wobei p und q Funktionen von x sind. Es werden zwei Fälle unterschieden: Eine lineare Differentialgleichung heisst homogen, wenn q(x) = 0 ist, andernfalls nennt man sie inhomogen Differentialgleichungen Seite 15

16 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung P(x) = beliebige Stammfunktion von p(x) ( p(x)dx = P(x)) K = eine beliebige Konstante Lösung der homogenen Gleichung: y = Ke p(x)dx = Ke P(x) Kontrolle: y = Ke P(x) P (x) = Ke P(x) p(x) = p(x)y Differentialgleichungen Seite 16

17 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung Lösung der inhomogenen Gleichung: Ansatz: Variation der Konstanten: K K (x) y (x) = K (x)e P(x) + K (x)p (x)e P(x) y = K (x)e P(x) = K (x)e P(x) + p(x)k (x)e P(x) = K (x)e P(x) + p(x)y(x) K (x)e P(x) + p(x)y(x) = p(x)y(x) + q(x) K (x)e P(x) = q(x) K (x) = q(x)e P(x) K (x) = q(x)e P(x) dx ( y = ) q(x)e P(x) dx e P(x) Differentialgleichungen Seite 17

18 Lösungsverfahren für lineare Dgl. 1. Ordnung Zu lösen: y = p(x)y + q(x) (1) 1. Löse die zugehörige homogene Dgl. erster Ordnung, nämlich y = p(x)y. (2) Lösung: y = Ke P(x) ; (K R ; P(x) = p(x)dx) 2. Mache den Ansatz Variation der Konstanten : y = K (x)e P(x) (3) 3. Setze (3) in (1) ein. Dies führt zu einer Dgl. für K (x). 4. Löse diese neue Dgl. nach K (x) auf. 5. Setze die gefundene Lösung für K (x) in (2) ein. Nun erhält man die Lösung von (1) Differentialgleichungen Seite 18

19 Allgemeine und spezielle Lösungen Allgemeine Lösung : Gesamtheit aller Lösungen der Dgl. Spezielle Lösung : einzelne Lösung Eine spezielle Lösung der Dgl. y = p(x)y + q(x) ist festgelegt durch eine Anfangsbedingung y(x 0 ) = y 0 y spezielle Lösung mit y(x 0 ) = y 0 Lösungskurve durch (x 0, y 0 ) y 0 weitere Lösungen x 0 x Differentialgleichungen Seite 19

20 Allgemeine und spezielle Lösungen Form der allgemeinen Lösung von y = p(x)y + q(x) : y = y i + c y h y i = spezielle Lösung von y = p(x)y + q(x) = Lösung der inhomogenen Gleichung y h = spezielle Lösung von y = p(x)y ; y h 0 = Lösung der homogenen Gleichung c = eine beliebige Konstante Differentialgleichungen Seite 20

21 Separation der Variablen - Lösungsmethode Zu lösen: y = r(x)s(y) 1. Schreibe die Differentialgleichung in der Form dy dx = r(x)s(y). 2. Separiere y links von =, x rechts von = dy s(y) = r(x)dx. 3. Bilde auf beiden Seiten das unbestimmte Integral dy s(y) = r(x)dx S(y) = R(x) + c. S(y) = Stammfunktion von 1/s(y), R(x) = Stammfunktion von r(x) 4. Löse (wenn möglich) die Gleichung nach y auf. Dies liefert y = y(x) Differentialgleichungen Seite 21

22 Singuläre Lösungen Singuläre Lösungen der Differentialgleichung y = r(x)s(y) können auftreten, wenn die Funktion s(y) nicht linear ist. Diese Lösungen sind nicht in der durch S(y) = R(x) + c bestimmten Lösungsschar enthalten. Es handelt sich um konstante Funktionen y mit s(y) = Differentialgleichungen Seite 22

23 Singuläre Lösungen - Beispiel Zu lösen: y = 2x(y 1) 2 Durch die Separation der Variablen erhalten wir: dy dx = 2x(y 1)2 dy (y 1) = 2xdx dy 2 (y 1) = 2 1 y 1 = x2 + c y = 1 1 x 2 + c Allgemeine Lösung: Singuläre Lösung: y = 1 1 x 2 + c y 1 Für keine Wahl von c erscheint y = 1! 2xdx Differentialgleichungen Seite 23

24 Singuläre Lösungen:.. anschaulich y c = 1 c = 2 c = 1 c = 2 y = 1 x c = 0.5 c = 0 Singuläre Lösung y 1 Grenzkurve der allgemeinen Lösungsschar für c ± Differentialgleichungen Seite 24