Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung

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1 TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 7. Juni 2017 Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung Wenn wir lineare, inhomogene Differentialgleichungen höherer Ordnung (in unserem Fall: 2. oder 3. Ordnung) lösen, dann suchen wir zunächst alle Lösungen des homogenen Problems. Hier ist wichtig, dass eine lineare, homogene DGL 2. bzw. 3. Ordnung auch genau 2. bzw. 3. linear unabhängige Lösungen hat (ähnlich zu linearen Gleichungssystemen). Hat man diese Lösungen gefunden, nutzt man die Variation der Konstanten oder einen Ansatz vom Typ der rechten Seite um eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems zu finden. Beispiel 1 - kein Resonanzfall Wir wollen die DGL y 6y + 9y = 9x 2 + 1, lösen. Wir lösen zuerst die homogene DGL y 6y + 9y = 0. Wir suchen nach Lösungen der Form y(x) = e λx. Setzt man diesen Ansatz in die homogene DGL ein, erhält man λ 2 e λx 6λe λx + 9e λx = 0, bzw. (nachdem wir durch e λx geteilt haben) λ 2 6λ + 9 = 0. Wir lösen diese Gleichung und erhalten zwei Lösungen für λ. Hier können nun verschiedene Fälle eintreten: λ 1 und λ 2 sind reelle Zahlen und voneinander verschieden. In diesem Fall sind die Lösungen der homogenen Differentialgleichung y 1 = e λ1x und y 2 = e λ2x. λ 1 und λ 2 sind gleich. In diesem Fall sind die Lösungen der homogene DGL y 1 = e λ 1x und y 2 = xe λ1x. λ 1 und λ 2 sind komplexe Zahlen. Diese komplexen Lösungen treten immer paarweise auf und haben die Form λ 1, 2 = α ± iβ. In diesem Fall haben wir die beiden Lösungen y 1 = e αx cos(βx) und y 2 = e αx sin(βx). 1

2 In unserem Beispiel erhalten wir λ 1, 2 = 3. Damit ergeben sich die Lösungen y 1 = e 3x und y 2 = xe 3x. Wenn wir Lösungen auf diesem Weg finden, dann bilden sie per Konstruktion immer ein Fundamentalsystem (d.h. die Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der homogenen DGL) für das homogene Problem und wir müssen das nicht erst noch prüfen. Die allgemeine Lösung des homogenen Problems ergibt sich dann y hom = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 e 3x + c 2 xe 3x, c 1, c 2 R. Zur Lösung des inhomogenen Problems haben wir nun zwei Möglichkeiten: Ansatz vom Typ der rechten Seite. Wir suchen eine Lösung der inhomogenen DGL y 6y + 9y = 9x 2 + 1, und betrachten dazu die rechte Seite der Gleichung. In diesem Beispiel handelt es sich um ein Polynom vom Grad 2. Um alle Sonderfälle beachten zu können, empfiehlt es sich die rechte Seite immer umzuschreiben: 9x = e 0 x (9x 2 + 1). Wichtig für eventuelle Sonderfälle ist die 0 in e 0 x. Wenn diese Zahl mit einem der Werte für λ aus dem homogenen Problem übereinstimmt, liegt ein sogenannter Resonanzfall vor (siehe Beispiel 2). In diesem Beispiel ist das jedoch nicht der Fall (0 3 = λ 1, 2 ). Ausgehend vom Typ der rechten Seite (Polynom 2. Grades) suchen wir nach einer Lösung für des inhomogenen Problems in Form von y s (x) = ax 2 + bx + c, und versuchen passende Konstanten a, b, c R zu bestimmen. Dazu setzen wir unseren Ansatz in die inhomogene DGL ein und erhalten y s 6y s + 9y s = 2a 6(2ax + b) + 9(ax 2 + bx + c) = 9x Mittels Koeffizientenvergleich erhalten wir 2a 6b + 9c = 1, 12a + 9b = 0, 9a = 9. 2

3 Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten a = 1, b = 4 3, c = 7 9. Damit ist y s (x) = x x + 7 9, eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems. Die allgemeine Lösung des inhomogenen Problems ist dann y allg = y hom + y s = c 1 e 3x + c 2 xe 3x + x x + 7 9, c 1, c 2 R. Variation der Konstanten. In diesem Fall ersetzen wir die Konstanten c 1 und c 2 in der Darstellung der allgemeinen Lösung des homogenen Problems durch c 1 (x) und c 2 (x) und nutzen y s (x) = c 1 (x)e 3x + c 2 (x)xe 3x, als Ansatz für die Lösung des inhomogenen Problems. Um die Konstanten zu bestimmen, nutzen wir das aus der Vorlesung bekannte Gleichungssystem ( ) ( ) ( y1 (x) y 2 (x) c 1 (x) e 3x xe 3x ) ( ) ( ) ( ) c y 1 (x) y 2 (x) c 2 (x) = 1 (x) 0 0 3e 3x e 3x + 3xe 3x c 2 (x) = 9x 2 =. + 1 rechte Seite Wir erhalten die Gleichungen c 1(x) + xc 2(x) = 0 3c 1(x)e 3x + (1 + 3x)c 2(x)e 3x = 9x Wir ersetzen in der 2. Gleichung c 1 durch xc 2 und erhalten 3xc 2(x) + (1 + 3x)c 2(x) = (9x 2 + 1)e 3x. Schließlich c 2(x) = (9x 2 + 1)e 3x, und mittels partieller Integration erhalten wir c 2 (x) = e 3x (1 + 2x + 3x 2 ). Wir bestimmen c 1 (x) mittels c 1(x) = xc 2(x) = ( 9x 3 x)e 3x, 3

4 und erhalten (wieder mittels partieller Integration) c 1 (x) = e 3x ( x + 3x2 + 3x 3 ). Zusammengesetzt ergibt sich damit y s (x) = c 1 (x)y 1 (x) + c 2 (x)y 2 (x) = ( x + 3x2 + 3x 3 ) (x + 2x 2 + 3x 3 ) = x x Damit haben wir nun die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems y allg = y hom + y s = c 1 e 3x + c 2 xe 3x + x x + 7 9, c 1, c 2 R. Beispiel 2 - Resonanzfall Wir wollen die DGL y + y = x + sin(2x), lösen. Wir lösen zuerst die homogene DGL y + y = 0. Wir suchen nach Lösungen der Form y(x) = e λx. Setzt man diesen Ansatz in die homogene DGL ein, erhält man λ 3 e λx + λe λx = 0, bzw. (nachdem wir durch e λx geteilt haben) (λ 2 + 1)λ = 0. Wir lösen diese Gleichung und erhalten drei Lösungen für λ: λ 1 = 0, λ 2 = i, λ 3 = i. Wir stellen fest, dass zwei Lösungen komplex sind und die Form λ 2, 3 = α ± βi haben, mit α = 0 und β = 1. Entsprechend ergeben sich die Lösungen y 1 = e λ 1x = 1, y 2 = e αx cos(βx) = cos(x), y 3 = e αx sin(βx) = sin(x). Wenn wir Lösungen auf diesem Weg finden, dann bilden sie per Konstruktion immer ein Fundamentalsystem (d.h. die Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der homogenen DGL) für das homogene Problem und wir müssen das nicht erst noch prüfen. 4

5 Die allgemeine Lösung des homogenen Problems ergibt sich dann y hom = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 2 y 3 = c 1 + c 2 cos(x) + c 3 sin(x), c 1, c 2, c 3 R. Zur Lösung des inhomogenen Problems nutzen wir einen Ansatz vom Typ der rechten Seite. Wir suchen eine Lösung der inhomogenen DGL y + y = x + sin(2x), und betrachten dazu die rechte Seite der Gleichung. In diesem Beispiel handelt es sich um ein Polynom vom Grad 1 und eine trigonometrische Funktion. Da es sich um eine Summe von Funktionen verschiedenen Typs handelt, betrachten wir jeden Summanden einzeln und suchen nach jeweils einer passenden Lösung. Wir betrachten den ersten Summanden der rechten Seite (also x) und schreiben x = e 0 x x. Wichtig für eventuelle Sonderfälle ist die 0 in e 0 x. Da λ 1 = 0 liegt hier ein Resonanzfall vor. Wir wählen also nicht y = ax + b als Lösungsansatz, sondern multiplizieren diesen Ansatz nochmal mit x und haben y s1 = ax 2 + bx. Einsetzen in die DGL mit x als rechter Seite ergibt y s1 + y s1 = 2ax + b = x. Damit erhalten wir a = 1 2 Problems ist also und b = 0. Der erste Teil einer speziellen Lösung des inhomogenen y s1 = 1 2 x2. Für den zweiten Summanden der rechten Seite (also sin(2x)) schreiben wir sin(2x) = e 0 x sin(2x). Hier liegt (glücklicherweise) kein Resonanzfall vor, da λ 2, 3 = ±i die Lösung e 0 x sin(x) erzeugen aber nicht e 0 x sin(2x). Wir wählen den Ansatz y s2 = c 1 cos(kx) + c 2 sin(kx), und setzen den in die inhomogene DGL mit sin(2x) als rechter Seite ein. Bevor wir das in die DGL einsetzen, berechnen wir y s2 = k 3 c 1 sin(kx) k 3 c 2 cos(kx). 5

6 Damit erhalten wir y s2 + y s2 = k 3 c 1 sin(kx) k 3 c 2 cos(kx) kc 1 sin(kx) + kc 2 cos(kx) = (k 3 c 1 kc 1 ) sin(kx) + (kc 2 k 3 c 2 ) cos(kx) = sin(2x). Aus dem Koeffizientenvergleich erhalten wir k = 2 und damit 2 3 c 1 2c 1 = 1, 2c c 2 = 0. Daraus schließen wir c 1 = 1 6 und c 2 = 0. Eine spezielle Lösung für das inhomogene Problem mit sin(2x) als rechter Seite ist also y s2 = 1 6 cos(2x). Wir kombinieren y s1 und y s2 um eine eine spezielle Lösung für die komplette rechte Seite x + sin(2x) zu erhalten. Das ergibt y s = y s1 + y s2 = 1 2 x cos(2x). Die allgemeine Lösung des inhomogenen Problems ist dann y allg = y hom + y s = c 1 + c 2 cos(x) + c 3 sin(x) x cos(2x), c 1, c 2, c 3 R. 6