Klausur Mathematik II

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1 Technische Universität Dresden. Juli 8 Institut für Numerische Mathematik Prof. Dr. G. Matthies, Dr. M. Herrich Klausur Mathematik II Modul Dierentialgleichungen und Dierentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler für Studierende des Studiengangs Verkehrsingenieurwesen Name: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Nr. 5 6 Punkte Soll Punkte Ist Ein Lösungsweg kann nur bewertet werden, wenn er deutlich erkennbar ist und sich auf den für die Lösung der Aufgabe vorgesehenen Seiten bendet.

2 . Gegeben seien die von einem Parameter R abhängige Matrix A und der von einem Parameter R abhängige Vektor b mit A und A : (a) Bestimmen Sie alle Paare (; ), für die das lineare Gleichungssystem Ax b (a) genau eine Lösung, (a) unendlich viele Lösungen, (a) keine Lösung besitzt. (b) Berechnen Sie für alle Eigenwerte der Matrix A. (c) Für ist ein Eigenwert der Matrix A (Nachweis nicht erforderlich). Ermitteln Sie alle zugehörigen Eigenvektoren. Lösungsweg zur Aufgabe : (a) Zunächst Zeilenstufenform (a) 6, R (a), (a), 6 A ZZ+ Z! (b) Aufstellen der charakteristischen + A det(a E) ( )( )( ) ( ) ( )( )! Ein erster Eigenwert ist. Die weiteren Eigenwerte sind gegeben durch ) 5 r 5 ) ; : (c) Gesucht ist eine nichttriviale Lösung v des homogenen Gleichungssystems (A E)v. Durch geeignete Zeilenkombinationen bringen wir dieses System auf Zeilenstufenform. C A ZZ+ Das System hat unendlich viele Lösungen. Die Eigenvektoren zum Eigenwert sind gegeben durch v A ; t R n fg: A

3 . Gegeben sei die Funktion f : R! R mit f (x; y) x (y ) y + y. (a) Bestimmen Sie Gradient und Hesse-Matrix von f. (b) Ermitteln Sie alle stationären Punkte der Funktion f. Untersuchen Sie für jeden dieser Punkte, ob es sich um ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen Sattelpunkt handelt. (c) Stellen Sie die Lagrange-Funktion L L(x; y; ) für das Optimierungsproblem f (x; y)! max bei x y auf. Weisen Sie nach, dass (x ; y ) (; ) eine stationäre Stelle dieses Problems ist, das heiÿt, dass eine Zahl derart existiert, dass (x ; y ; ) eine stationäre Stelle der Lagrange-Funktion L ist. Lösungsweg zur Aufgabe : x(y ) (a) rf (x; y) x y + (y ) x H f (x; y) x (b) Es ist f x (x; y) x(y ) genau dann, wenn x oder y ist. Für x folgt mit der Bedingung f y (x; y) x y + notwendigerweise y. Somit erster stationärer Punkt: (; ). Für y folgt x und somit x oder x. Somit zwei weitere stationäre Punkte: (; ) und ( ; ). Überprüfung der Art der stationären Punkte: det(h f (; )) det 8 >, f xx (; ) <, daher lokales Maximum bei (; ). det(h f (; )) det 6 <, daher Sattelpunkt bei (; ). det(h f ( ; )) det 6 <, daher Sattelpunkt bei ( ; ). (c) Lagrange-Funktion: L(x; y; v) (x y)(y ) + (x y ) partielle Ableitungen von L an einer Stelle (x; y; ): L x x(y ) + x; L y x y + y; L x y Konkret für (x; y) (x ; y ) (; ) ergibt sich L x (; ; ) + ; L y (; ; ) ; L (; ; ) : Es existiert eine Zahl, für die alle drei partiellen Ableitungen gleich Null sind, nämlich. Der Punkt (x ; y ; ) (; ; ) ist dann ein stationärer Punkt von L.

4 . Gegeben sei die Funktion f : R! R mit f (x; y) xy + y e xy : (a) Bestimmen Sie Gradient und Hesse-Matrix der Funktion f. Speziell an der Stelle (x ; y ) (; ) sind Gradient und Hesse-Matrix von f gegeben durch rf (; ) und H f (; ) (Nachweis dafür nicht erforderlich). (b) Geben Sie eine Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f an der Stelle (x ; y ) (; ) an. (c) Führen Sie ausgehend vom Startpunkt (x ; y ) (; ) einen Schritt des Newton- Verfahrens zur Lösung des Gleichungssystems rf (x; y) (; ) > aus. (d) Gegeben sei die Gleichung Der Punkt (x ; y ) (; ) erfüllt diese Gleichung. f (x; y) : () (d) Begründen Sie, dass eine Umgebung des Punktes (x ; y ) existiert, in der durch die Gleichung () eine Funktion y g(x) bestimmt ist. (d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an die durch () beschriebene Kurve in der xy-ebene im Punkt (x ; y ). Lösungsweg zur Aufgabe : (a) Gradient: Hesse-Matrix: H f (x; y) rf (x; y) y ye xy xy + xe xy y e xy y ( + xy)e xy y ( + xy)e xy x x e xy (b) Es gilt f (; ) und somit T (x; y) + x + (y ) x + y : (c) Variante : Inverse der Hesse-Matrix an der Stelle (; ): H f (; ) ) H f (; ) Somit: x y H f (; ) rf (; )

5 + + 7 Variante : Bestimme d als Lösung von H f (; )d rf (; ): d + d ; d : Als Lösung ergibt sich d ( ; 7 )>. Somit: x + 7 y (d) Wir setzen F (x; y) f (x; y) xy + y e xy. (d) Es gilt F y (; ) f y (; ). Wegen F y (; ) 6 existiert gemäÿ dem Satz über implizite Funktionen eine Umgebung des Punktes (x ; y ), in der durch die Gleichung () eine Funktion y g(x) bestimmt ist. (d) Es gilt g F () x(;) F f x(;) y(;) f. y(;) Als Gleichung der Tangente ergibt sich somit y g() + g ()(x ) ) y x:

6 . (a) Ermitteln Sie alle Lösungen der Dierentialgleichung (b) Gegeben sei die Dierentialgleichung y cos(x) p y : y + (6xy y)y : (b) Zeigen Sie, dass diese Dierentialgleichung exakt ist. (b) Ermitteln Sie alle Lösungen der Dierentialgleichung. Es genügt, die Lösungen in impliziter Form anzugeben. Lösungsweg zur Aufgabe : (a) Eine erste Lösung ist die konstante Funktion mit der Vorschrift y(x). Alle weiteren Lösungen lassen sich mittels der Methode Trennung der Variablen ermitteln: y cos(x) p y TdV ) py dy cos(x) dx ) p y sin(x) + e C; e C R ) y(x) ( sin(x) + C) ; C R: (b)(b) Mit p(x; y) y und q(x; y) 6xy y ist p y 6y und auch q x 6y. Die partiellen Ableitungen p y und q x stimmen überein, woraus folgt, dass die Dierentialgleichung exakt ist. Hinweis: Alternativ könnte man erst die Teilaufgabe (b) lösen, insbesondere also nachweisen, dass eine Funktion F existiert mit F x p und F y q. Damit lässt sich ebenfalls begründen, dass die Dierentialgleichung exakt ist. (b) Zu bestimmen ist eine Funktion F F (x; y) mit F x y und F y 6xy y. Aus der. Bedingung folgt F (x; y) (y ) dx xy x + C(y): Daraus folgt F y (x; y) 6xy + C (y): Aus der Bedingung F y 6xy y folgt somit C (y) y, also (bei Vernachlässigung einer Integrationskonstante) C(y) y. Also F (x; y) xy x y. Die Lösungen y y(x) der Dierentialgleichung sind somit (in impliziter Form) gegeben durch xy(x) x y(x) C; C R:

7 5. Gegeben sei das folgende homogene lineare Dierentialgleichungssystem: y (x) y (x); y (x) y (x): () Die Funktionen # y () und # y () mit! # y () (x) y() (x) y () (x) und # y () (x) y() (x) y () (x)! sind linear unabhängige Lösungen von () (Nachweis dafür nicht erforderlich). (a) Geben Sie die allgemeine Lösung des Dierentialgleichungssystems () an. (b) Bestimmen Sie diejenige Lösung des Dierentialgleichungssystems (), die zusätzlich der Anfangsbedingung # y () (y (); y ()) > ( 5; ) > genügt. (c) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung des folgenden inhomogenen linearen Dierentialgleichungssystems: y (x) y (x) + + ; y (x) y (x) + : Lösungsweg zur Aufgabe 5: (a) allgemeine Lösung von (): # yh; (x) y h (x) C y h; (x) + C ; C ; C R (b) Wegen # y h () (C ; C ) >! ( 5; ) > ergibt sich als Lösung des Anfangswertproblems # yh; (x) y h (x) 5 y h; (x) (c) Ansatz für eine partikuläre Lösung (Variation der Konstanten): # yp; (x) y p (x) C y (x) + C (x) p; (x) Lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von C (x) und C (x): C (x) + C (x) Lösung dieses Gleichungssystems: C (x) C (x) Damit ergibt sich (bei Vernachlässigung einer Integrationskonstante) C (x) C (x) x. Die allgemeine Lösung des inhomogenen Dierentialgleichungssystems ist gegeben durch # y (x) x( + ) y (x) C y + C + (x) x( ) mit C ; C R.

8 6. Gegeben sei die Dierentialgleichung mit einer Funktion f : R! R. y y + 5y f (x) () (a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der zu () gehörigen homogenen Gleichung. (b) Es sei f (x) x. Ermitteln Sie eine partikuläre Lösung von (). Geben Sie auÿerdem die allgemeine Lösung von () an. (c) Es sei f (x) xe x e x cos(x). Geben Sie einen geeigneten Ansatz für eine partikuläre Lösung von () an. Die Berechnung einer partikulären Lösung ist nicht erforderlich. Lösungsweg zur Aufgabe 6: (a) y y + 5y. Der Ansatz y(x) e x führt auf die charakteristische Gleichung + 5. Als Lösungen ergeben sich p 5 i: Daraus folgt y h (x) C e x cos(x) + C e x sin(x); C ; C R: (b) Ansatz: y p (x) Ax + B mit noch zu bestimmenden A; B. Damit yp (x) A und y p (x). Einsetzen in die DGL ergibt A + 5B + 5Ax x: Durch Koezientenvergleich ergeben sich A und B. Also y p (x) x + und somit y(x) x + + C e x cos(x) + C e x sin(x); C ; C R: (c) Ansatz für den ersten Summanden: y p (x) (Ax + B)e x Ansatz für den zweiten Summanden: y p (x) x e x (C cos(x)+d sin(x)) (Resonanz beachten!) Ansatz insgesamt somit: y p (x) (Ax + B)e x + x e x (C cos(x) + D sin(x)) mit noch zu bestimmenden A; B; C; D.