Höhere Mathematik für Ingenieure 2

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1 Prüfungklausur (A) zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 5. Juli 8, Uhr (1.Termin) - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe 1: Die -periodische Funktion f : R R sei auf [, ) gegeben durch + 3, < 1 f() =, 1 <, < Gegen welche Grenzfunktion g() konvergiert die Fourierreihe von f() punktweise auf dem Intervall [, ]? (Die Funktion g() ist in geeigneter Form anzugeben. Die Fourierreihe soll nicht berechnet werden!) Die Fourierreihe konvergiert gegen f() in deren Stetigkeitspunkten. In den Sprungstellen konvergiert sie gegen dem Mittelwert aus linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert [f( ) + f( )]. Für die Grenzfunktion g() ergibt sich damit 1 in analytischer Form oder als Graphik g() =,5, = + 3, < < 1, 1 < 3, =, < <,5, = Aufgabe : Bestimmen Sie Definitionsbereich D f und Wertebereich W f der Funktion 1 f(, y) =. + y 9 Skizzieren Sie den Definitionsbereich in der -y-ebene. D f = { (, y) + y > 9} W f = (, ) Punkte außerhalb der Kreisscheibe, ohne Kreislinie.

2 Aufgabe 3: Es sei g(, y) = + (y + 3) 16. a) Skizzieren Sie die durch g(, y) = beschriebene Kurve. b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve g(, y) = an. c) In welchen Punkten (, y) läßt sich die Gleichung g(, y) = nicht lokal nach y auflösen? Warum? a) +(y+3) = 16 b) eine Parameterdarstellung ist z.b. (t) = 4 cos t, y(t) = 4 sin t 3, t [, ]. c) g(, y) = ist nach y lokal nicht auflösbar, wenn g y = (y + 3) =, also für y = 3. Das passiert in den Kurvenpunkten ( 4; 3) bzw. (4; 3) (mit senkrechten Tangenten). Aufgabe 4: Gegeben seien vier Punkte A, B, C, D auf dem Graph einer Funktion f zweier Variabler. Ordnen Sie diesen folgende vier Bedingungen zu! (i) f >, (ii) f =, (iii) f >, (iv) f =, f y =, f y =, f y >, f y >. A = (ii), B = (i), C = (iv), D = (iii).

3 Aufgabe 5: Klassifizieren Sie die folgenden Differentialgleichungen (bezüglich Ordnung, (Nicht-)Linearität, gegebenenfalls (In-)Homogenität, Art der Koeffizienten): a) sin(y ) + y = b) y y = c) y + y = a) nichtlineare DGL,. Ordnung; b) lineare DGL, 1. Ordnung, konstante Koeffizienten, inhomogen; c) lineare DGL,. Ordnung, nichtkonstante Koeffizienten, homogen. Aufgabe 6: Gegeben ist der Bereich B, der von der Parabel y = 1 +1 und der Geraden y = 1 begrenzt wird (Skizze). Geben Sie eine Beschreibung des Bereichs mit Hilfe von a) Normalbereichen bzgl. der -Achse, b) Normalbereichen bzgl. der y-achse, an. a) B = { (, y 3, 1 y } b) B = B 1 B wobei B 1 = { (, y 3,5 y 1, y y + 4 } B = { (, y 1 y 1, y y } Aufgabe 7: Wir betrachten das Rechteck Q = [, ] [, 4] und das Quadrat P = [, 1] [, 1], sowie eine stetige Funktion f : Q R. Falls zwischen den Variablen 1, und den Variablen y 1, y die Beziehung y 1 = 1 1, y = 1 4 besteht, wie lautet dann die korrekte Beziehung nach der Transformationsformel? Begründen Sie Ihre Antwort! (i) f( 1, ) d 1 d = 6 f(y 1, y ) dy 1 dy Q P (ii) f( 1, ) d 1 d = 8 f(y 1, 4y ) dy 1 dy Q P (iii) f( 1, ) d 1 d = 1 f ( 1 y 8 1, 1y 4 ) dy1 dy Q P (iv) f( 1, ) d 1 d = 6 f(y 1, 4y ) dy 1 dy Q P Richtig ist die Formel (ii), denn transformiert wird gemäß 1 = y 1, = 4 y mit der Funktionaldeterminante ( 1, ) (y 1, y ) = 4 = 8.

4 - Lösungen zum Aufgabenteil - Aufgabe 1: Gegeben sei die Funktion f() = 1 + cos Berechnen Sie näherungsweise den Wert des Integrals. (7 Punkte) 1 1 f() d, indem Sie f() durch das Taylorpolynom. Grades (Taylorreihe bis zum Glied zweiter Ordnung) im Entwicklungspunkt = approimieren. f() = 1 + cos = (1 + cos ) 1, f() = 1 f () = (1 + cos ) ( sin ) = sin (1 + cos ), f () = f () = 4 (1 + cos ) 3 ( sin ) sin + (1 + cos ) cos = 4 sin (1 + cos ) 3 + cos (1 + cos ), f () = 1 T = f() + f () ( ) + f ()! ( ) = cos d 1 ( ) }{{} geradef unktion d = 1 ( ) d = [ ] 1 = ( ) = = ,8

5 Aufgabe : (6 Punkte) Betrachtet wird die Radialkraft F = m ω r, die auf einen Körper mit Masse m wirkt, der sich mit Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn mit Radius r bewegt. Schätzen Sie mit Hilfe des totalen Differentials den absoluten und relativen Fehler der Radialkraft F, wenn m = (5 ± 1)g, ω = (1 ±, 5) 1 und r = (1, 5 ±, )m s gemessen wurden. F = F (m, ω, r) = m ω r, F m = ω r, F ω = m ω r, F r = m ω. (Maimaler) Absoluter Fehler: F df = F m dm + F ω dω + F r dr F m dm + F ω dω + m ω dr = ω r dm + m ω r dω + F r dr = 1 1, , 5, , = = 15 [ g m s (Maimaler) Relativer Fehler: = mn] F = F (5; 1; 1,5) = 5 1 1,5 = 375 [mn] F F df F =.7 3,73%

6 Aufgabe 3: Gegeben sei die Funktion f(, y) = ( y) y 3 + 3y + 9y. (8 Punkte) a) Untersuchen Sie f(, y) auf lokale (relative) Etremwerte. b) In welche Richtung wird an der Stelle (1; 1) der Anstieg der Funktionsfläche am größten? Bestimmen Sie den maimalen Anstieg an dieser Stelle. a) f(, y) = ( y) y 3 + 3y + 9y Ableitungen : f = ( y) f y = 3y + 6y + 9 f = ( y) f yy = 6y + 6 f y = f y = Notwendige Bedingungen : ( y) = (1), 3y +6y +9 = (). Aus der Produktform von (1) erhält man: ( y) = = oder y =. Für = folgt aus () y y 3 = mit den Lösungen y = 1 ± = 1 ±. Für y = folgt aus () = ±3. Damit gibt es insgesamt die 4 stationären Stellen P 1 = (; 1), P = (; 3), P 3 = ( 3; ), P 1 = (3; ). Hesse-Matri : ( ) ( y) H f = 6y + 6 H f = 1( y)(1 y) 4 Hinreichende Bedingungen : H f (; 1) = 7 >, f = 6 > lokales Minimum in (; 1) mit f(; 1) = 5. H f (; 3) = 4 >, f = < lokales Maimum in (; 3) mit f(; 3) = 7. H f (±3; ) = 36 < keine lokalen Etrema (Sattelpunkte) in (±3; ). ( ) ( ) f (1; 1) 6 b) Steilster Anstieg in Gradientenrichtung: f(1; 1) = =. f y (1; 1) 1 Der Anstieg der Funktionsfläche an der Stelle (1; 1) in Gradientenrichtung ist gegeben durch die Richtungsableitung in Richtung r = f(1; 1), ( ) f(1; 1) = f(1; 1) r 1 = f(1; 1) f(1; 1) r f(1; 1) = [ f(1; 1)] f(1; 1) = f(1; 1) = 37.

7 Aufgabe 4: (7 Punkte) a) Lösen Sie das Anfangswertproblem y + y = e, y(1) = e 1. b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y + 4 y =. a) y + y = e, y(1) = e 1. Inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Homogene Gleichung (Trennung der Veränderlichen): y + y =, y = y dy d, y =, ln y = ln + C, y H = C. Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung (Variation der Konstanten): y = c(), y = c c, y + y = c c + c = e, c = e, c = e d = dt = t = e (Subst. e = t, e d = dt), y P = c() = e. Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: Anfangswertproblem: y(1) = C + e 1 y I = y H + y P = C + e! = e 1, C = 1, y A = 1 + e. b) y + 4 y = Homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Charakteristische Gleichung (Ansatz y = e λ ) λ 3 + 4λ = λ (λ + 4) =, λ 1 =, λ,3 = ± i (konjugiert komple) y H = C 1 + C sin + C 3 cos.

8 Aufgabe 5: Für welche Konstante a ist das Kurvenintegral (7 Punkte) ( ) e z sin( y) d + ae z sin( y) dy + e z cos( y) dz γ wegunabhängig? b) Bestimmen Sie für das oben berechnete a diejenige Stammfunktion des Integranden, die im Punkt (,, ) gleich 1 ist. c) Ermitteln Sie für obiges a unter Verwendung von Aufgabe b) den Wert des Kurvenintegrals, wenn die Kurve γ von (,, 1) nach (,, ) verläuft. (a) Vektorfeld v = (P ; Q; R) T in v d ist definiert und stetig partiell differenzierbar γ auf R 3. Integrabilitätsbedingung für Kurvenintegrale. Art (im Vektorfeld) rot v = i j k y z P Q R = e z sin( y) ae z sin( y) e z sin( y) + e z sin( y) ae z cos( y) ae z cos( y) Integral ist wegunabhängig, wenn a = 1. (b) Berechnung der Stammfunktion f(, y, z) mit v = gradf P e z sin( y) f v = Q = e z sin( y)! = f y R e z cos( y) (c) f z! = (Ansatzmethode): 1. f = P f = P d = e z sin( y) d = e z cos( y) + c(y, z) ( c(y, z) Ansatz für die von y und z abhängige Integrationskonstante).. f y = Q e z sin( y) + c y (y, z) = e z sin( y) c(y, z) = dy = d(z) ( d(z) Ansatz für die von z abhängige Integrationskonstante). Zwischenstand: f(, y, z) = e z cos( y) + d(z). 3. f z = R e z cos( y) + d (z) = e z cos( y) d(z) = dz = C. Für die Stammfunktion ergibt sich folglich: f(, y, z) = e z cos( y) + C. Speziell für f(,, ) = e cos( ) + C = 1 + C! = 1 findet man C = und die gesuchte spezielle Stammfunktion ist damit f(, y, z) = e z cos( y) +. (,,) (,,1) v d = f(,, ) f(,, 1) = e cos( ) e 1 cos( ) = 1.

9 Aufgabe 6: Berechnen Sie die Länge der Kurve mit der Parameterdarstellung (4 Punkte) ( ) ( ) cos 3 t =, t. y sin 3 t S = t t 1 = 3 [ẋ(t)] + [ẏ(t)] dt = = 3 (cos t sin t) (cos t + sin t) dt = 3 }{{} =1 (3 cos t( sin t)) + (3 sin t cos t) dt cos t sin t dt sin t dt = 3 4 [ cos t] = 3 4 ( cos + cos ) = 3

10 Aufgabe 7: Der ebene Bereich B sei zusammengesetzt aus dem Vierteleinheitskreis im 1. Quadranten und einem Dreieck im. Quadranten (siehe Skizze). Wie muß a > gewählt werden, damit der geometrische Schwerpunkt S( s, y s ) des Bereiches B auf der y-achse liegt? (6 Punkte) Hinweis: Für die Schwerpunktkoordinaten gilt S = 1 ddy bzw. y S = 1 A A y ddy. B Der Flächeninhalt A von B kann elementar berechnet werden. B B läßt sich zerlegen in den Dreiecksbereich (in kartesischen Koordinaten) D = { (, y) a, y + 1 } a und die Viertelkreisscheibe (in Polarkoordinaten) V = { (r, ϕ) } r 1, ϕ. Damit der geometrische Schwerpunkt von B auf der y-achse liegt, muß gelten S = 1 ddy =. Das ist genau dann der Fall, wenn A B ddy = ddy + ddy = B D V D ddy = a +1 = a y= dy d = = a ( ) a + 1 d = [ ] 1 a = a a 6 ddy = 1 r cos ϕ r dϕ dr = 1 r dr cos ϕ dϕ V r= ϕ= [ r 3 = 3 ] 1 [ ] sin ϕ = 1 3 r= ϕ= B ddy = a ! = a = 6 3 =, a =

11 Aufgabe Z: Berechnen Sie mit Hilfe geeigneter Integrationsmethoden das (uneigentliche) Integral a d (a > ). a (3 Punkte) a t d = lim a t a = lim t a [ d = lim ] t a a t a ( a t + ) a = + a = a Das unbestimmte Integral a d berechnet man etwa durch Substitution u = a, du = a a d = du = u = a