5.6 Potential eines Gradientenfelds.

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1 die Zirkulation des Feldes v längs aufintegriert. 5.6 Potential eines Gradientenfelds. Die Ableitung einer skalaren Funktion ist der Gradient, ein Vektor bzw. vektorwertige Funktion (Vektorfeld). Wir untersuchen hier die Frage, wann es zu einem Vektorfeld eine skalare Funktion gibt, deren Gradient gerade die gegebene Vektorfunktion ist. Dazu benötigen wir einen weiteren Begiff, nämlich den des Gebiets. Definition 34: Eine Teilmenge G R n heißt Gebiet, wenn gilt: 1. G ist offen, d.h. zu jedem x G gibt es eine ǫ-umgebung U ǫ ( x ) { x; x x < ǫ} vollständig in G liegt. 2. G ist zusammenhängend, d.h. zu je zwei Punkten x, y aus G gibt es eine reguläre Kurve : [a, b] G mit (a) x, (b) y. Definition 35: Sei G R n ein Gebiet. Man nennt ein auf dem Gebiet G definiertes stetiges Vektorfeld v konservativ oder ein Potential-, bzw. ein Gradientenfeld, wenn es eine auf dem Gebiet G definierte einmal stetig differenzierbare Funktion f gibt mit v gradf, x G. In diesem Fall heißt f Stammfunktion und U f eine Potentialfunktion (oder ein Potential) von v. 16

2 Satz 27: 1. Hauptsatz für Kurvenintegrale. Ist v : G R n ein stetiges Gradientenfeld auf dem Gebiet G R n mit einer Stammfunktion f, dann gilt für jede stückweise reguläre Kurve in G mit dem Anfangspunkt (a) und dem Endpunkt (b) v d x f((b)) f((a)). Beweis: Es sei v grad f. Dann gilt Kettenregel Satz 11, S. 44 v d x b a gradf d x [ ] d dt f((t)) b a gradf((t)) (t) dt dt f((b)) f((a)). # Beispiel 85: Die von der Zentralkraft K a x ( x ) mit dem Potential U a x 3 x längs einer nicht durch den Nullpunkt gehenden regulären Kurve : [a, b] R 3 geleistete Arbeit beträgt K d x gradu d x U((a)) U((b)). Beispiel 86: Das elektrische Feld (unrealistisch, aber berechenbar) E : R 3 R 3, E(x, y,z) 2xy + z 3 x 2 + 3z 3z 2 x + 3y besitzt das Potential U(x, y, z) (x 2 y + xz 3 + 3zy). Der Spannungsabfall zwischen den Punkten P (1,1,1) und Q (3, 4,5) längs einer (stückweise) regulären Kurve ist wegunabhängig: γ E d x gradu d x U(P) U(Q) (1+1+3)+( ) 466. γ Ganz allgemein ist die Spannung in einem konservativen elektrischen Feld zwischen zwei Punkten P und Q gleich der entsprechenden Potentialdifferenz. Bemerkung 18: Aus dem 1. Hauptsatz folgt, dass sich zwei Stammfunktionen eines konservativen Vektorfeldes nur um eine additive Konstante unterscheiden. 161

3 Satz 28: Für eine stetiges Vektorfeld v auf einem Gebiet G R n sind folgende Aussagen äquivalent: a) v ist ein Potentialfeld, b) Für alle regulären Kurven in G hängt v d x nur vom Anfangs- und Endpunkt von ab. Man sagt in diesem Fall, dass das Integral wegunabhängig ist. c) Für alle geschlossenen Kurven γ in G gilt v d x. Bemerkung 19: a) b) folgt aus dem 1. Hauptsatz für Kurvenintegrale 2. Art (siehe Satz 27). Bemerkung 2: Anwendung: Ist das Integral wegunabhängig, so kann der Integrationsweg durch günstige Integrationswege mit dem gleichen Anfangs- und Endpunkt ersetzt werden. Günstige Integrationswege: parallel zu den Koordinatenachsen, entlang von Geraden, entlang von Kreisbögen,... Beispiel 87: Der blaue Integrationsweg kann durch den roten Integrationsweg 1 ersetzt werden: Da Anfangs- und Endpunkt der Kurve 1 identisch sind (hierbei bezeichnet 1 die umgekehrt orientierte Kurve zu 1 ) gilt: 1 v d x f((a)) f((a)) 162

4 und deshalb ist v d x v d x v d x. 1 Bemerkung 21: Insbesondere gilt: Das Kurvenintegral ist wegunabhängig v d x für jede geschlossene reguläre Kurve. Die Berechnung des Kurvenintegrals vereinfacht sich also sehr stark, wenn über ein Potential- bzw. Gradientenfeld integriert wird. Wenn ist ein Vektorfeld ein Potentialfeld? Wie bestimmt man das Potential? Dazu bedarf es leider noch eines weiteren topologischen Begriffs: Definition 36: Ein Gebiet G R n (also eine offene und zusammenhängende Menge) heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene, doppelpunktfreie Kurve in G stetig auf einen Punkt in G zusammengezogen werden kann, ohne dass G verlassen wird. Beispiel 88: Im R 2 ist (anschaulich) jedes Gebiet ohne Loch ; etwa der R 2, das Innere eines Kreises, eine Halbebene,... einfach zusammenhängend. Beispiel 89: Im R 2 sind nicht einfach zusammenhängend: jedes Gebiet mit Löchern, etwa die punktierte Ebene R 2 \{}, das Gebiet zwischen zwei ineinanderliegenden Kreisen,... Beispiel 9: Im R 3 sind einfach zusammenhängend: jedes Gebiet ohne Henkel, etwa R 3, das Innere eines Quaders oder einer Kugel, ein von zwei konzentrischen Kugeln begrenztes Gebiet. Diese Gebiete bleiben einfach zusammenhängend, wenn jeweils endlich viele Punkte entfernt werden. Insbesondere ist der punktierte Raum R 3 \{} einfach zusammenhängend. Beispiel 91: Im R 3 sind nicht einfach zusammenhängend: jedes Gebiet mit Henkeln; ein Torus, der R 3 ohne eine Gerade oder ohne einen Kreis. 163

5 Satz 29: 2. Hauptsatz für Kurvenintegrale. Ein einmal stetig differenzierbares Vektorfeld v : G R n auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet G R n ist genau dann ein Potentialfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. v i x k v k x i, i,k 1, 2,..., n, für alle x G Bemerkung 22: Ist G nicht einfach zusammenhängend, dann ist der Satz nur auf einfach zusammenhängende Teilgebiete anwendbar. Die auf den jeweiligen einfach zusammenhängenden Teilgebieten existierenden Potentiale lassen sich i. Allg. nicht zu einem Potential auf dme gesamten Gebiet fortsetzen. Bemerkung 23: Im R 3 kann die Integrabilitätsbedingung auch geschrieben werden als v rot v mit dem Nabla-Operator ( x 1, x 2, x 3 ) T, da v e 1 e 2 e 3 x 1 x 2 x 3 v 1 v 2 v 3 x 1 x 2 x 3 v 1 v 2 v 3 e 1 e 2 e 3 ( v2 v ) ( 1 v3 e 3 + v ) ( 2 v1 e 1 + v ) 3 e 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 v 3 x 2 v 2 x 3 v 1 x 3 v 3 x 1 v 2 x 1 v 1 x 2 rot v. Bemerkung 24: In höheren Dimensionen kann man die Integrabilitätsbedingung auch mit Hilfe der Jacobi-Matrix ausdrücken. So wie der Gradient einer skalarwertigen Funktion mehrerer Veränderlicher den Vektor der ersten partiellen Ableitungen zuordnet, so ordnet man einem Vektor oder Vektorfeld, das von mehreren Veränderlichen abhängt, eine Matrix der ersten partiellen Ableitungen zu, die sogenannte Jacobi-Matrix. Sei v : R n G R n ein einmal stetig differenzierbares Vektorfeld, dann ist die zu- 164

6 gehörige Jacobi-Matrix J v gegeben durch gradv 1 T gradv 2 T J v. gradv n T Dann lautet die Integrabilitätsbedinung: v 1 x 1 v 2 x 2. v n x 1 v 1 x 2... v 1 x v n x 2... v 1 x n v 2 x n.. v n x n J v J v T für alle x G. Bemerkung 25: Weitere Differentialoperatoren lassen sich formal mit Hilfe des Nabla- Operators schreiben. Für eine skalarwertige Funktion f ist gradf f und das Skalarprodukt eines Vektors mit dem Nabla-Operator ergibt die sogenannte Divergenz: v ( x 1, x 2, x 3 ) T v v 1 x 1 + v 2 x 2 + v 3 x 3 div v Praktische Bestimmung eines Potentials für n 3 Methode mit Kurvenintegral R Kurvenintegral-Methode. 1. Besitzt das einmal stetig differenzierbare Vektorfeld v : G R 3 ein Potential? Gilt rot v für ein x G, dann ist v kein Potentialfeld. 2. Gilt rot v für alle x G und ist G einfach zusammenhängend, dann wählt man ein x G fest und zu x G eine geeignete Kurve in G, die x mit x verbindet. Dann ist f : G R, f : v d x eine Stammfunktion (gradf v) und U f ein Potential ( grad U gradf v) für v. γ Die bevorzugten Wege von x nach x, sofern sie in G verlaufen, sind 165

7 die Strecke (t) x + t( x x ), t 1, die x mit x verbindet; in diesem Fall gilt f 1 v( x + t( x x )) ( x x ) dt; ein Streckenzug, der stückweise parallel zu den Koordinatenachsen, etwa von (x, y, z ) über (x, y, z ) und (x, y, z ) nach (x, y, z) verläuft. Die Stammfunktion wird dann über ein sogenanntes Hakenintegral berechnet: f(x, y, z) x x v 1 (t, y, z )dt + y y v 2 (x, t, z )dt + Beispiel 92: Wir bestimmen eine Stammfunktion zum Vektorfeld v y 2 cos x 2y sinx + e 2z 2y e 2z im R3. z z v 3 (x, y, t) dt. 1. Schritt: Es gilt rot v e x e y e z x y z y 2 cos x 2y sinx + e 2z 2y e 2z y (2y e 2z ) e x + z (y 2 cos x) e y + x (2y sinx + e 2z ) e z y (y 2 cos x) e z z (2y sinx + e 2z ) e x x (2y e 2z ) e y (2e 2z 2 e 2z ) e x + ( ) e y + (2y cos x 2y cos x) e z. 2. Schritt: rot v und G R 3 ist einfach zusammenhängend. Wählen x (, ), dann ist x y z f(x, y, z) v 1 (t,, ) dt + v 2 (x, t, ) dt + v 3 (x, y, t) dt y x 2 cos t dt + y 2t sin x + e 2 dt + z 2y e 2t dt 2t sin x + 1 dt y 2 sinx + y + y(e 2z 1) y 2 sinx + y e 2z. Wie man leicht sieht gilt grad f grad(y 2 sinx + y e 2z ) y 2 cos x 2y sinx + e 2z 2y e 2z. 166

8 5.6.2 Ansatzmethode R Ansatzmethode. 1. Ist G einfach zusammenhängend und rot v? Ansatz: f x v 1, f y v 2, f z v Unbestimmte Integration nach x von f x v 1 (dabei werden y und z wie Konstanten behandelt) f(x, y,z) f x dx v 1 (x, y,z) + c(y,z), c(y, z) hängt nur von y und z ab und ist die Integrationskonstante bezüglich der unbestimmten Integration nach x. 3. Partielle Differentation von f nach y : f y f y v 1 (x, y,z)dx + y y c(y, z) v 2(x, y,z) und damit äquivalent zu y c(y,z) v 2(x, y, z) y v 1 (x, y,z) dx : h(y, z). Die Funktion h darf nur noch von y und z abhängen! (Würde h auch noch von x abhängen, so wäre rot v.) 4. Durch unbestimmte Integration nach y wird c(y, z) bestimmt: c(y, z) h(y, z)dy + d(z) d(z) ist die Integrationskonstante bezüglich der Integration nach y. Alles bisher berechnete in f(x, y,z) eintragen: f(x, y,z) v 1 (x, y,z)dx + h(y,z) dy + d(z). 5. Partielle Differentation von f nach z : f z f z v 1 (x, y,z)dx + z z h(y, z)dy + d (z) v 3 (x, y,z) bzw. d (z) v 3 (x, y,z) z v 1 (x, y, z) dx z h(y, z) dy Analog wie im 3. Schritt hängt dieser Ausdruck nur noch von z ab. (Würde dieser Ausdruck noch von x oder y abhängen, so wäre rot v.) 6. Durch unbestimmte integration nach z d(z) bestimmen. 167

9 Beispiel 93: Wir wollen nun mit der Ansatzmethode die Stammfunktion zum Vektorfeld v y 2 cos x 2y sinx + e 2z in G R3 bestimmen. 2y e 2z 1. Schritt: Offensichtlich ist R 3 einfach zusammenhängend und wie wir bereits gezeigt haben ist rot v für alle x R 3. Ansatz: f x y 2 cos x, f y 2y sin x + e 2z, f z 2y e 2z. 2. Schritt: 3. Schritt: und umgeformt f(x, y,z) f x dx y 2 cos x dx y 2 sinx + c(y,z). f y f y 2y sinx + y c(y, z) v 2(x, y,z) 2y sinx + e 2z Diese Gleichung enthält x nicht mehr. 4. Schritt: c(y, z) y c(y, z) e2z. e 2z dy e 2z y + d(z). Eintragen: f(x, y,z) y 2 sinx + y e 2z + d(z). 5. Schritt: f z f z + 2y e2z + d (z) 2y e 2z und umgeformt d (z). Diese Gleichung enthält weder x noch y. 6. Schritt: d(z) C const. Ergebnis: f(x, y,z) y 2 sinx + y e 2z + C. Wie man leicht sieht unterscheiden sich zwei Stammfunktionen gerade um eine additive Konstante (siehe auch Bemerkung 18). Insbesondere ist f(x, y, z) y 2 sinx + y e 2z eine Stammfunktion (vgl. Beispiel 92). 168