10. Vorlesung Wintersemester

Transkript

1 10. Vorlesung Wintersemester 1 Existenz von Potentialen Für einimensionale Bewegungen unter er Einwirkung einer Kraft, ie nur vom Ort abhängt, existiert immer ein Potential, a man immer eine Stammfunktion berechnen kann. Wenn ie Kraft von er Zeit abhängt, wir as Potential un amit auch ie Gesamtenergie ebenfalls zeitabhängig. Für geschwinigkeitsabhängige Kräfte, wie Reibungskräfte, gibt es agegen kein Potential un keine Energieerhaltung. Wie sieht es mit ortsabhängigen Kräften im reiimensionalen Raum aus? Wie lässt sich überhaupt eine Stammfunktion er Kraft ort efinieren? Dazu brauchen wir wieer einen mathematischen Exkurs. 2 Die Arbeit im reiimensionalen Raum Im reiimensionalen Raum geschieht ie Bewegung entlang einer Kurve. Für ein kurzes Stück er Kurve muss man efinieren A = F ( r) r. (1) Das Skalarproukt rückt aus, ass nur ie Komponente von F in Richtung er Bewegung Arbeit leistet. Kräfte, ie senkrecht zur Bewegung stehen, leisten keine Arbeit! Die Gesamtarbeit muss nun urch Aufsummierung über ie Kurvenstücke berechnet weren. Das führt auf ie Notwenigkeit von Linienintegralen (Kurvenintegralen, Wegintegralen). 3 Linienintegrale Ein Linienintegral (auch Wegintegral oer Kurvenintegral) F ( r) r (2) über einen Weg C: wir berechnet über C r(s), s = s 1... s 2 (3) s2 s 1 F r(s) ( r(s)) s (4) s Auch wenn zwei Kurven enselben Anfangs- un Enpunkt haben, können ie Integrale verschieen sein. 1

2 3.1 Beispiel Betrachten wir im zweiimensionalen Raum as Vektorfel F (x, y) = (2x 2 3y, 4xy) un integrieren es über zwei verschieene Wege zwischen en Punkten (0, 0) un (1, 1): 1. Der erste Weg C 1 sei ie gerae Verbinung, auf er x = y gilt. In Parameterarstellung führt as auf x(s) = s, y(s) = s, s = (5) Der Integran wir ( F r = F x (x(s), y(s)) s, y ) s s = (2s 2 3s, 4s 2 ) (1, 1) s (6) = (6s 2 3s) s. Das Integral wir also in iesem Fall zu C 1 F r = 1 0 (6s 2 3s) s = [ 2s 3 3s 2 /2 ] 1 0 = 1 2. (7) 2. Der Weg C 2 sei urch as Parabelstück y = x 2 gegeben, in Parameterarstellung also In iesem Fall wir er Integran zu un as Integral selbst zu C 2 F r = x(s) = s, y(s) = s 2, s = (8) F r = (2s 2 3s 2, 4s 3 ) (1, 2s) s 1 0 = ( s 2 + 8s 4 ) s, ( s 2 + 8s 4 ) s = ] 1 [ s s5 = (9) Dieses Beispiel zeigt also schon einringlich, ass er Wert eines Linienintegrals vom Weg abhängen kann. 4 Energieerhaltung im reiimensionalen Raum Die Arbeit wir ein Linienintegral über Kraft mal Weg sein, un as Potential muss ähnlich efiniert weren. Wir weren erst versuchen zu formulieren, wie ie Energieerhaltung aussehen sollte, un ann ie mathematischen Hintergrüne erforschen. Zunächst eine weiter Definition: ie Leistung ist ie Arbeit pro Zeit, P = W = F r = F v. (10) Die Leistung hängt immer vom zeitlichen Verlauf er Bewegung ab, weil sie ja beschreibt, mit welcher Geschwinigkeit Arbeit geleistet wir. Dagegen ist ie Arbeit unabhängig vom zeitlichen Verlauf (wenn ie Kraft, wie hier immer angenommen, nur vom Ort abhängt). Jetzt können wir so vorgehen wie im einimensionalen Fall. Wir schreiben P = F v = m r r (11)

3 Nun gilt analog zum einimensionalen Fall r 2 = (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2) = 2ẋẍ + 2ẏÿ + 2ż z (12) = 2 r r. Damit folgt ( m 2 r 2) = F r = P. (13) Auf iese Art erhalten wir zwar ie naheliegene Definition er kinetischen Energie T = m 2 v2 (14) un urch Integrieren über ie Zeit ie Aussage, ass ie geleistete Arbeit in kinetische Energie umgesetzt wir: W = t2 t 1 P = T (t 2 ) T (t 1 ), (15) aber es fehlt ie Aussage über eine Erhaltung er Energie an jeem Punkt er Bahnkurve. Im einimensionalen Fall war azu ie Leistung als reine Zeitableitung umgeschrieben woren, was jetzt P = F r V ( r) = (16) lauten müsste (wie ie Ableitung zu berechnen ist, kommt später). Wenn es ein Potential in ieser Form gäbe, wäre t V ( r(t)) = F ( r(t )) r(t ) t 0, (17) as ergibt aber nur ann eine eineutige Funktion es Ortes, wenn as Integral für beliebige Wege es Teilchens zum Enpunkt enselben Wert hat. Wenn eine solche Funktion existiert, ann gilt aber wieer. h. ie Gesamtenergie (T + V ) = 0, (18) E = T + V (19) bleibt währen er Bewegung erhalten. Nun zur Beeutung von F r V ( r(t)) =. (20) Auf er rechten Seite steht ausführlicher geschrieben er Ausruck V ( r(t)) V (x(t), y(t), z(t)) =. (21) Die Ableitung hierin kann mit Hilfe einer verallgemeinerten Kettenregel ausgerück weren: V (x(t), y(t), z(t)) = V ẋ + V y ẏ + V ż, (22) z

4 wobei ie partiellen Ableitungen beeuten, ass man nach er entsprechenen Größe ableitet un abei alles anere als konstant betrachtet. Wenn man iesen Ausruck in (20) einsetzt un ann ie beien Seiten vergleicht, erhält man F x = V, F y = V y, F z = V z. (23) Das ist eigentlich eine naheliegene Verallgemeinerung er einimensionalen Gleichung F = V x. (24) 5 Partielle Ableitungen un Vektoranalysis Ein Fel ornet jeem Punkt im Raum eine physikalische Größe zu. Es gibt skalare Feler er Art V ( r) (25) un Vektorfeler wie F ( r). (26) Partielle Ableitungen V (27) weren ausgewertet, inem man alle aneren Variablen z. B. y un z bei er Ableitung wie Konstanten behanelt. Sie haben folgene Eigenschaften: für alle praktisch wichtigen Funktionen sin ie Ableitungen vertauschbar: oer als Operatorgleichung 2 V y = 2 V y 2 y = 2 y (28) (29) Beispiel: Für ie Funktion sin ie ersten partiellen Ableitungen f(x, y) = x 2 sin y (30) f f = 2x sin y, y = x2 cos y, (31) un für ie gemischten zweiten Ableitungen finet man tatsächlich Es gilt ie Kettenregel in er Form 2 f y = 2x cos y = 2 f y. (32) V x V (x(s), y(s), z(s)) = s s + V y y s + V z z s (33)

5 Manchmal kann man nach einer Variablen sowohl partiell als auch vollstänig ifferenzieren. Wenn eine Funktion f(x, t) gegeben ist, z. B. ann sin ie partiellen Ableitungen F = t2, F (x, t) = xt 2 (34) F t = 2xt. (35) Wenn aber jetzt x auch eine Funktion von t wir un man F (x(t), t) betrachtet, ann gibt es auch ie vollstänige Ableitung F F (x(t), t) = ẋ + F t. (36) Wenn man probeweise x(t) = sin t einsetzt, wir iese Gleichung zu F (x(t), t) = t2 cos t + 2t sin t (37) un man überzeugt sich, ass erst Einsetzen un ann Differenzieren F (t) = t 2 sin t, tatsächlich asselbe Ergebnis liefert. 6 Der Graient Der Graientenvektor ist efiniert als V = grav = F = 2t sin t + t2 cos t (38) ( V, V y, V ). (39) z In ieser Vorlesung wir ie Schreibweise mit em Nabla-Operator (engl. el) ( =, y, ) z bevorzugt (wir weren sehen, ass sich amit einige Formeln sehr einfach merken lassen). ist also er Operator, er als Komponenten ie partielle Ableitung nach er jeweiligen Koorinate enthält. Selten finet man auch ie Schreibweise für en Graienten. r Mit em Graienten schreibt sich ie Kettenregel als oer in Differentialform V s 6.1 Anschauliche Beeutung (40) = V r s, (41) V = V r. (42) Aus ieser Schreibweise ersieht man auch ie anschauliche Beeutung es Graienten: as Skalarproukt von r mit em Graienten beschreibt ie Änerung er Funktion bei einer infinitesimalen Verschiebung es Beobachtungspunktes. Das beeutet, ass V sich in er Richtung senkrecht zum Graienten überhaupt nicht änert un ass in Richtung es Graienten er maximale Anstieg er Funktion erfolgt. Wenn wir also wieer ie anschauliche Interpretation es Potentials als Gebirge betrachten, ann zeigt an jeer Stelle er Graient in Richtung es steilsten Anstiegs; sein Betrag gibt ie Änerung er Höhe pro zurückgelegter Wegstrecke an.

6 7 Rechenregeln un Beispiele Es gelten einige erselben Regeln wie bei er normalen Differentiation: Ableitung von Linearkombinationen (c 1 f 1 ( r) + c 2 f 2 ( r)) = c 1 f 1 + c 2 f 2, (43) un ie Prouktregel Eine nützliche Beziehung ist ( a sei konstant) (f 1 ( r)f 2 ( r)) = f 1 f 2 + f 2 f 1. (44) ( a r) = a. (45) Wichtig sin auch ie Graienten von Funktionen es Betrags es Ortsvektors r = r : r = x 2 + y 2 + z 2. (46) Für ie x-komponente finet man r = x2 + y 2 + z 2 x = x2 + y 2 + z = x 2 r (47) un analog für ie aneren Komponenten, was sich zu r = r r (48) zusammenfassen lässt. Das Resultat ist also er Einheitsvektor in Richtung es Ortsvektors. Da auch für en Graienten ie Kettenregel gilt, wie man an einer Komponente wieer sieht: f g f(g(x, y, z)) = g, (49) also errechnet man leicht z. B. f(g( r)) = f g (50) g 1 r = r r 3. (51) Im allgemeinen Fall führt as auf ie sehr häufig verwenete Formel 8 Graient un Energieerhaltung f(r) = f r r r. (52) Für ie Ableitung er Energieerhaltung in er Mechanik braucht man as ist erfüllt für F ( r) v = V, (53) F ( r) = V. (54) Eine konservative Kraft muss sich also als Graient einer skalaren Funktion V arstellen lassen. Das ist nachprüfbar über ie zweiten Ableitungen, z. B. muss gelten: F x y = 2 V y = 2 V y = F y (55)