= r ). Beispiele. 1) Kreis. Skizze mit Tangentialvektoren ( x. 2) Zykloide. Skizze für a = r = 1:

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1 VEKTORANALYSIS Inhalt: 1) Parametrisierte Kurven 2) Vektorfelder 3) Das Linienintegral 4) Potentialfelder 1 Parametrisierte Kurven Definitionen xt () Kurve: x = x() t = y() t, t zt () xt () dxt () Tangentialvektor: x = = y () t, t dt zt () Seite 1/ von 20

2 Beispiele 1) Kreis r cost r sin t xt () =, xt () =, t [0,2 π ] r sin t r cost Skizze mit Tangentialvektoren ( x = r ). 2) Zykloide r t a sint xt () =, r a cost r a cost xt () =, t [0,6 π ] a sint Skizze für a = r = 1: v = x ( t) = (1 cos t) + sin t = 2(1 cos t). Singuläre Punkte mit xt () = 0 besitzen keinen Tangentialvektor, z.b. x(0), x(2 π ). Seite 2/ von 20

3 3) Helix (Schraubenlinie) cost sin t xt () sin t =, xt () cos t =, xt () = 2. t 1 2 Vektorfelder Definition und Bezeichnungen: räumliches VF F1 ( x, y, z) 3 Fxyz (,, ) = F2 ( xyz,, ), ( xyz,, ) D F 3( x, y, z) Bezeichnungen: x r y = = xi + y j+ zk, r = r = x + y + z z Seite 3/ von 20

4 Beispiele: 1) Gravitationsfeld Fr ( ) oder F( x, y, z) mmg = r 3 r x mmg = y /2 ( x + y + z ) z ist die Anziehungskraft der Masse M in P(0/0/0) auf die Masse m in P(x/y/z). 2) Elektrisches Feld Fr ( ) qq r = 4πε r 3) Magnetisches Feld 0 3 eines von Gleichstrom der Stromstärke I in positiver z-richtung durchflossenen Seite 4/ von 20

5 unendlich langen geraden Leiters außerhalb des Leiters: H( x, y, z) = y I x π ( x + y ) 0. (,, ),,2 T 4) F x y z = ( y x z) Seite 5/ von 20

6 5) Homogenes Feld F( x, y, z ) = ( 1,1,1) T 6) Radialsymmetrisches Feld Fr ( ) = f( r) r r, s. Bsp. 1) und 2) 7) Gradientenfeld (Potentialfeld) Definition fx def 3 f :, f( x, y, z) grad f = fy f z Die Funktion f wird Potentialfunktion des Gradientenfeldes genannt. Seite 6/ von 20

7 Übungen Skizzieren Sie die folgenden 2-dimensionalen Felder: 1) Das Gradientenfeld der Funktion 2 2 f( x, y) = x /10 + y /6. 2) Das Feld 1 1 F( x, y) = yi x j 2 2 Bemerkung: Vektorfelder mit MatLab mit den Anweisungen meshgrid und quiver. 3 Das Linienintegral ermöglicht die Berechnung der Arbeit A eines Feldes F( x) (Kraft) entlang einer Kurve ct () (Weg) im Zeitintervall t [ t1, t2]. Seite 7/ von 20

8 Satz 1: Es gilt : Definition t2 A = Fct ( ( )) ctdt ( ). t 1 Das Integral in Satz 1 wird Linien- oder Kurvenintegral genannt. Bezeichnungen 1) 2) c t2 Fcdc ( ) = Fct ( ( )) ctdt ( ) t t t 1 2 Fcdc ( ) = Fct ( ( )) ctdt ( ) 1 für geschlossene Kurven (Umlaufintegral). Beispiele 1) F( x, y, z) = ( y, x,1) c1 () t = (cos,sin, t t t/2 π ),0 t 2 π, c () t = (cos, t sin, t t/2 π ),0 t 2π 2 T Seite 8/ von 20

9 Lösung: sint sint 2π A1 = cost cost dt = 0 1 1/2π 2π = ( sin t cos t+ 1/2 π ) dt = = 2 π( 1+ 1/2 π) = 1 2 π. Analog A2 = 1+ 2 π. Seite 9/ von 20

10 2) F( x, y, z) = ( x, y, xy) T ct () ist die lineare Verbindung zwischen den Punkten A(2/1/3) und B(-4/6/8). Ergebnis A = 83/ 2. 3) F x y x xy 2 (, ) = (, ) T ct () 0,1 0,1 orientiert im Gegenuhrzeigersinn. ist das Einheitsquadrat [ ] [ ] Ergebnis A = 1/2. 4 Potentialfelder Der Wert des Linienintegrals eines Vektorfeldes entlang einer Kurve die zwei Punkte verbindet ist in der Regel abhängig von der Verbindungskurve. Es gibt allerdings eine wichtige Kategorie von Vektorfeldern, für die das Linienintegral wegunabhängig ist. Seite 10/ von 20

11 Definition Ein Vektorfeld heißt konservativ, wenn das Umlaufintegral entlang einer beliebigen geschlossenen Kurve gleich Null ist (d.h.die Energie wird erhalten bei Bewegung auf geschlossenen Bahnen). Satz 1 Das Linienintegral eines konservativen Feldes ist wegunabhängig. Beispiel 1 F( x, y) y = x Die Linienintegrale von A(0/0) nach B(1/1) 2 entlang der Kurven y = x, y = x und π y = sin x sind gleich (=1). 2 Satz 2 Gradientenfelder sind konservativ. Seite 11/ von 20

12 Wenn f eine Potentialfunktion von F ist, gilt für jede Kurve c von A nach B: c Fcdc ( ) = f( B) f( A). Beispiel 1 f( x, y) = xy. Satz 3 Wenn ein Feld ein in einem Gebiet D definiertes Feld F( x, y) konservativ ist, dann gibt es eine auf D definierte Potentialfunktion f, so dass F = grad f (d.h. konservative Felder sind Gradientenfelder). 2 Satz 4 2 Ein in der ganzen Ebene D = definiertes Feld F( x, y) = ( F1( x, y), F2( x, y)) T ist konservativ wenn und nur wenn die folgenden Integrabilitätsbedingungen (IB) erfüllt sind: Seite 12/ von 20

13 d dy d F1( x, y) = F2( x, y). dx Die Berechnung einer Potentialfunktion Beispiel 2 F x y F F x y xy y 3 2 (, ) = ( 1, 2) = (2 + 3,9 + 2 ) T Gesucht: f( x, y ), so dass F = grad f = ( f, f ) T Lösung: (a) Die IB sind erfüllt: x y d dy 3 2 d 2 (2x+ 3 y ) = 9 y = (9xy + 2 y) dx (b) Die erste Integration: Seite 13/ von 20

14 f = F f = 2x+ 3y x 1 x f( x, y) = (2x+ 3 y ) dx 2 3 f( x, y) = x + 3 xy + C( y) (c) Die zweite Integration 3 3 d f ( x, y ) = F 2( x, y ) dy xy + C '( y) = 9xy + 2y C'( y) = 2 y C( y) = y f( x, y) = x + 3 xy + y. Beispiel 3 y x F( x, y) = i + j x + y x + y 2 (a) Überprüfung der IB: Seite 14/ von 20

15 d y ( x + y ) + 2y y x = = dy x + y ( x + y ) ( x + y ) d x ( x + y ) 2x y x = = dx x + y ( x + y ) ( x + y ) (b) Berechnung des Umlaufintegrals entlang des Einheitskreises: sin t cost Fct ( ( )) = i+ j sin t+ cos t sin t+ cos t = ( sin ti ) + (cos t) j. ct ( ) = ( sin ti ) + (cos t) j. Fct ( ( )) ct ( ) = 1 Fcdc ( ) = Fct ( ( )) ctdt ( ) = 2 π. 2π 0 Somit ist das Feld nicht konservativ, obwohl die IB erfüllt sind. Seite 15/ von 20

16 Der Grund: das Feld besitzt eine Singularität in (0,0) innerhalb des Einheitskreises. Bemerkungen: 1) Für Felder ohne Singularitäten gilt: IB F konservativ Gradientenfeld 2) Für Felder mit Singularitäten sind die IB keine hinreichenden Bedingung für Wegunabhängigkeit (WU) bzw. die Existenz eines Potentials. In Beispiel 3 ergeben die IB : y f( x, y) = arctan, x 0, x somit ist das Potential nicht im gesamten Definitionsbereich des Feldes definiert. Seite 16/ von 20

17 WU gilt nur für Kurven die in Gebieten ohne Singularitäten verlaufen. Es gilt folgender Satz Wenn ein Feld F definiert ist auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet 2 D, dann sind die IB äquivalent mit den Aussagen F ist konservativ und F ist ein Gradientenfeld. 2 Definition: eine Menge D ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet, wenn man jede geschlossene Kurve dieser Menge zu einem Punkt zusammenziehen kann, ohne die Menge zu verlassen. Geometrische Eigenschaften von Potentialfeldern Definition 1 die Äquipotentiallinien (ÄPL) eines Gradientenfeldes Seite 17/ von 20

18 F( x, y) = grad f ( x, y) sind die Höhenlinien f( x, y) = C, C der Potentialfunktion f( x, y ). Satz 1 Ein Gradientenfeld steht senkrecht auf seine ÄPL. Beweis Wir berechnen den Tangentialvektor zu den ÄPL: f( x, y) = C fx dx+ fy dy = 0 dy f m = = x Steigung der Tangente dx f y zu der ÄPL. Der Tangentenvektor zur ÄPL ist somit: 1 1 f y t = ; fx, fy 0 m = fx/ f y fx Es gilt: Seite 18/ von 20

19 t fy fx grad f = = f f x y 0 Folgesatz Die Arbeit eines Gradientenfeldes entlang einer ÄPL ist gleich 0. Beweis 1: Das Skalarprodukt in der Definition des Linienintegrals ist 0, somit auch die Arbeit. Beweis 2 Die Arbeit ist die Differenz zwischen dem Potential im Endpunkt und dem Startpunkt des Weges, somit gleich 0. Definition 2 Feldlinien (FL) sind Kurven die tangential zu den Feldvektoren verlaufen. Seite 19/ von 20

20 Satz 2 Die FL eines Gradientenfeldes sind die Orthogonaltrajektorien der ÄPL. Beweis: ergibt sich aus Satz1 und Def. 2. Übung F( x, y) = ( x, y+ 1) T 1) Berechnen Sie die ÄPL und FL. 2) Skizzieren Sie die Kurven und einige Feldvektoren, z.b. F( 1, 1), F(1, 1), F( 2/2, 2/2 1) Ergebnis 2 2 x + ( y + 1) = C [ ÄPL], y + 1 = C x [ FL] Übung 1 2 Es seien E bzw. H das elektrische bzw. magnetische Feld. Zeigen Sie, dass E und H sowie deren Feldlinien orthogonal sind. Seite 20/ von 20