mathphys-online Aufgaben zur Differentialrechnung - Lösung Tangentenaufgaben Aufgabe 1 Definition des Feldindex in Vektoren und Matrizen: ORIGIN 1

Transkript

1 Aufgaben zur Differentialrechnung - Lösung Tangentenaufgaben Definition es Felinex in Vektoren un Matrizen: ORIGIN Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit em Funktionsterm f( x) = x x, wobei x IR. a) Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente t an G f im Punkt P(/y P ) G f. b) Zeichnen Sie en Graphen von f un ie Tangente in einem kart. Koorinatensystem. Gegeben: f( x) x x x P Funktionswert: y P f x P y P 0 Kurvenpunkt: P x P y P P ( 0 ). Ableitung: f' ( x) Tangentengleichung: x f( x) tx ( ) f' x P tx ( ) x Tangente an Kurvenpunkt f' ( x) x x x P fx P 0 Graph von f Tangente Berührpunkt P Seite von 6

2 Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit em Funktionsterm f( x) = x, wobei x IR. a) Bestimmen Sie ie Gleichung er Tangente t an G f urch en Punkt Q(x Q /y Q ) G f. b) Geben Sie ie Berührpunkte an. c) Zeichnen Sie en Graphen von f un ie Tangenten in einem kart. Koorinatensystem. Gegeben: f( x) x Q ( 0 ) x Q Q x Q 0 y Q Q y Q Wähle Kurvenpunkt P(u/v). x P ( u) u Funktionswert: y P ( u) f x P ( u) y P ( u) u. Ableitung: f' ( x) Allgem. Tangentengleichung: x f( x) tx ( u) f' x P ( u) f' ( x) x x P ( u) x f x P ( u) tx ( u) u( u x) u Aus ieser Tangenteschar wir genau ie Tangente ausgewählt, ie urch en vorgegebenen Punkt Q verläuft. Es gilt: Q G t tx Q u = y Q u = y Q Auflösen nach u: u0 t x Q u = auflösen u Auslesen: u u0 u u u0 u Einsetzen liefert: t ( x) txu t ( x) txu t ( x) x t ( x) x Berührpunkte: B u f u B B u f u B Seite von 6

3 Teilaufgabe c) Tangenten urch Q 0 Graph von f Punkt Q Tangente Berührpunkt Tangente Berürhpunkt Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit em Funktionsterm f( x) = x, wobei x IR. a) Bestimmen Sie ie Gleichungen er Tangenten t an G f, ie parallel zur Ursprungsgeraen g mit er Steigung m = sin. b) Geben Sie ie Berührpunkte an. c) Zeichnen Sie en Graphen von f un ie Tangente in einem kart. Koorinatensystem. Gegeben: f( x) x m Wähle en Kurvenpunkt P(u/v). Funktionswert: x P ( u) u y P ( u) f x P ( u) y P ( u) u. Ableitung: f' ( x) Beingung: x f( x) f' x P ( u) m = u = f' ( x) x Seite von 6

4 m Auflösen: u0 f' x P ( u) = auflösen u Auslesen: u u0 u u u0 u Allgemeine Tangente: tx ( u) f' x P ( u) x x P ( u) f x P ( u) Einsetzen liefert: t ( x) txu t ( x) x 6 7 t ( x) txu t ( x) x 6 7 Berührpunkte: B u f u B 7 B u f u B 7 Teilaufgabe c) Tangenten parallel zur Geraen g 0 Graph von f Ursprungsgerae Tangente Berührpunkt Tangente Berürhpunkt Seite von 6

5 Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit f( x) = x x, wobei x IR. a) Bestimmen Sie en Funktionsterm er Tangenten t i an en Graphen G f vom Punkt Q( /-) G f aus. Beschreiben Sie ie Art er Berührung un amit ie Besonerheit er jeweiligen Tangente. Berechnen Sie ie Berührpunkte. b) Zeichnen Sie en Graphen G f er Funktion f mit en Tangenten t i. Gegeben: Koorinaten von Q: x Q y Q Q x Q y Q Q ( ) Funktionsterm: f( x) x x Da man ie Tangente an einen beliebigen Kurvenpunkt berechnen kann, wählt man einen Punkt P auf em Graphen G f. Beingung P(u/v) G f : x P ( u) u y P ( u) f x P ( u) y P ( u) u u. Ableitung: f' ( x) x f( x) x 6x Steigung er Tangente: f' ( u) u 6u Tangente: tx ( u) f' ( u) ( x u) f( u) tx ( u) u x u u 6u x Das ist eine Geraenschar. Daraus wählt man genau ie Tangenten, ie urch en Punkt P gehen. Beingung Q G f : tx Q u y Q u = u u 6u u ( ) = y Q Auflösen: u0 t x Q u = auflösen u Bemerkung: Es gibt eine zweifache Lösung (Tangente urchsetzt en Graphen) un eine einfache Lösung (Tangente berührt en Graphen). Seite von 6

6 Auslesen: u u0 u u u0 u Tangentengleichungen: Die Tangente urchsetzt en Graphen. t ( x) txu Die Tangente berührt en Graphen. t ( x) txu t ( x) x t ( x) x Berührpunkt: Berührpunkt: B ( 0) B 9 Tangenten urch Punkt Q 0 Graph von f Tangente urchsetzt Tangente berührt Berührpunkt Berührpunkt Ausgangspunkt Q Funktionsterm: f( x) x x Punkt Q: Q ( ) Berührpunkt : B ( 0) Tangente : t ( x) x Berührpunkt : B Tangente : t ( x) 9 x Seite 6 von 6