Cluster 1: Kabelverlauf
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- Otto Martin
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1 Teil B Seite 1 / 6 Doris Schönorfer Cluster 1: Kabelverlauf zum Menü Hinweis: Cluster 1 bezieht sich auf Höhere Technische Lehranstalten (HTL) für ie Ausbilungsrichtungen Bautechnik, Holztechnik & Innenraumgestaltung un Kunst & Design (vorläufig) Die obenstehene Skizze zeigt ie Golen Gate Brige, eren Kabelverlauf an en Außenseiten urch zwei Geraen un in er Mitte näherungsweise urch eine Parabel beschrieben weren kann. Weiters ist bekannt, ass bei Hochwasser ie maximale Durchfahrtshöhe für Schiffe 67m beträgt. Diese Situation ist in er Abbilung argestellt Ermitteln Sie ie Funktionsgleichungen er Parabel einerseits un ie er Geraen anererseits unter er Annahme eines symmetrischen Brückenverlaufs! Hinweis: er Ursprung es Koorinatensystems kann beliebig gewählt weren. Wenn man en Ursprung es Koorinatensystems unterschielich annimmt, kommt man zu unterschielichen Funktionsgleichungen er Parabel. Erklären Sie, ob sich aurch auch ie Bogenlänge er Parabel änert. Berechnen Sie ie gesamte Kabellänge einer aneren ähnlichen Hängebrücke, wenn bekannt ist, ass ie Parabel urch ie Funktionsgleichung f( x) = x 2 1.5x un ie Geraen urch ie Funktionsgleichungen g1: 25x y = 1 un g2: 25x y = 25 beschrieben weren können! Hinweis: Die Kabel weren auf beien Seiten er Fahrbahn geführt! Alle fünf Jahre müssen ie Kabel erneuert weren. Aus iesem Grun wir nun im Zuge von Wartungsarbeiten as Kabel mit einer Gesamtlänge von 8 m ausgetauscht.das Kabel weist einen Durchmesser von 92 Zentimeter auf. Es besteht aus Stahl mit einer Dichte von r = 7.8g/cm³. Berechnen Sie ie Masse in kg. Das Ergebnis muss in Gleitkommaarstellung un mit auf rei signifikante Stellen angegeben weren!
2 Teil B Seite 2 / 6 Lösung: Grunieen: Durch geeignete Wahl eines entsprechenen Koorinatensystems müssen ie Funktionsgleichung er Parabel einerseits un ie Funktionsgleichungen er beien Geraen berechnet weren. Das Koorinatensystem wir beispielsweise so gelegt, ass er Ursprung im Punkt A( ) liegt. Somit können aus em Koorinatensystem folgene rei Punkte für ie Berechnung er Parabelgleichung herausgelesen weren: A( ), B(64 -) un C(128 ). (siehe Skizze unterhalb) z.b: Die Berechnung es y - Wertes es Punktes B: Der gesamte Brückenpfeiler besitzt eine Höhe von 23m un von iesem wir ie maximale Durchfahrtshöhe von 67m subtrahiert. Dies ergibt einen Wert von m. Da er Koorinatenursprung in A liegt, ergibt sich für en y - Wert "-". HINWEIS: Das angegebene Koorinatensystem ist nur eine er möglichen Varianten!!! Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion zweiten Graes lautet: y = ax² + bx + c. Skizze: Vorgabe = a 2 b c = a128 2 b128 c = a64 2 b64 c L Suchen( ab c ) L f( x) L x 2 x 2 x = L x L f( x) = Gleitkommazahl f( x) = x x 32
3 Teil B Seite 3 / 6 Berechnung er linearen Funktion: Die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = ax+b mit en Punkten A( ) un D(- -): Vorgabe = a( ) b = a b G Suchen( ab ) G.472 x f( x) = G x G f( x) = Gleitkommazahl3 1 f( x) = x... Gleichung er ersten Geraen Da ie beien linearen Funktion sich nur aurch unterscheien, ass ie eine er beien Geraen steigen ist un ie anere Gerae fallen ist, unterscheien sich ie Steigungen er Geraen nur im Vorzeichen. Berechnung er Geraengleichung mit en Punkten C(128 ) un E(128+ -). Vorgabe = a128 b = a( 128 ) b F Suchen( ab ) F x f( x) F x F f( x) = Gleitkommazahl f( x) = x... 69Gleichung er zweiten Geraen
4 Teil B Seite 4 / 6 2. Die Bogenlänge er Parabel ist unabhängig von er Lage im Koorinatensystem. Die relative Lage er Punkte zueinaner änert sich nicht. b 3. Berechnung er Bogenlänge entsprechen er Beziehung: l = a 1 x y 2 x Zum besseren Verstännis wir eine Skizze erstellt. (siehe unterhalb) Die Geraengleichungen müssen zuerst auf ie Form y = ax + b umgeformt weren: y1( x) 25x y = 1 y2( x) 25x y = 25 auflöseny Gleitkommazahl3 auflöseny Gleitkommazahl3.947x x 947. Man berechnet zuerst ie Schnittpunkte er Parabel mit en Geraen: f( x) x 2 1.5x S1 f ( x) = y1( x) auflösenx Gleitkommazahl S2 f ( x) = y2( x) auflösenx Gleitkommazahl Nun wir ie erste Ableitung er Parabelfunktion gebilet: f1( x) x f( x) f1( x) Gleitkommazahl2.5x 1.5 Berechnung er Bogenlänge: S2 1 L1 1 f1( x) 2 x L1 135 S1 m Die beien Geraen weren urch eine waagrechte Tangente im Punkt H begrenzt. Der Scheitelpunkt er Parabel ist eine Extremwertstelle H. Um ie Koorinaten zu ermitteln, wir ie erste Ableitung er Funktionsgleichung er Parabel Null gesetzt: xh f1( x) = auflösenx 3. f( xh) 225 H xh f( xh) H 3 225
5 Teil B Seite 5 / 6 Die Gleichung er waagrechten Tangente lautet: hx ( ) 225 Nun weren ie beien Geraen y1(x) un y2(x) mit er Geraen h(x) geschnitten. Da für ie weitere Berechnung nur ie x - Koorinaten er Punkte relevant sin, weren ie y - Werte nicht errechnet. x1 y1( x) = h( x) x2 y2( x) = h( x) auflösenx Gleitkommazahl5 auflösenx Gleitkommazahl5 Bestimmen er ersten Ableitungen er Funktionsgleichungen er Geraen: g1( x) g2( x) x y1( x) x y2( x) g1( x).947 g2( x).947 as heißt, ie Ableitumngen sin konstant S1 L2 1 g2( x) 2 x L x1 m x2 L3 1 g2( x) 2 x L S2 1 m Die Gesamtlänge es Kabels errechnet sich, inem ie Summe er Teillängen gebilet wir: LG 2( L1 L2 L3)... ie Kabel verlaufen sowohl rechts als auch links von er Fahrbahn LG m kx ( ) y1( x) if x f( x) if x y2( x) if x x kx ( ) hx ( ) x
6 Teil B Seite 6 / 6 4. Die Berechnung er Gesamtmasse ergibt sich folgenermaßen. 92cm Durchmeser es Kabels ρ 78 kg m 3 Dichte es Kabels L 8m Länge es Kabels 2 V πl V L 2 m K ρv m K kg Volumen, welches as gesamte Kabel einnimmt Berechnung er Masse m K es Kabels Das Kabel hat eine Masse von kg zum Menü
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