f x durch die Funktionsgleichung

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Markus Thomas
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1 1. Aufgabe In einem ebenen Geläne soll für eine neue Bahntrasse auf einer Strecke von km er zugehörige Bahnamm neu errichtet weren. Dabei sollen ie folgenen, in er Abbilung angeeuteten Beingungen eingehalten weren: Die Hangkurven auf en Intervallen [-16 ; -10] un [0 ; 6] sin symmetrisch zueinaner. Für ie Kurve auf em Intervall [0 ; 6] wir angenommen, ass sie einer ganzrationalen Funktion ritten Graes entspricht, ie bei x=0 einen Hochpunkt hat. Wie ie Grafik zeigt, befinen sich bei x = 4 un bei x = 6 Nullstellen. a) Weisen Sie nach, ass er Verlauf er Hangkurve im Intervall [0 ; 6] urch folgene Funktionsgleichung beschrieben wir: ( ). b) Damit as Material nicht abrutscht, arf ie Steigung am Hang maximal 65 betragen. Überprüfen Sie urch Rechnung, ob ieser Wert eingehalten wir. c) Berechnen Sie ie Tiefe es Aushubes an seiner tiefsten Stelle. (Angabe in Metern) ) Zeigen Sie rechnerisch, ass ie für en Bau es Damms heranzuschaffene Menge an Ere m beträgt. Beenken Sie bei Ihren Berechnungen auch en Aushub. e) Ein Alternativvorschlag für ie Errichtung es Bahnammes geht von einem einfachen gleichschenkligen Trapez ABCD aus. Argumentieren Sie mathematisch, welcher Vorschlag bezüglich er zu beschaffenen Menge an Ere günstiger ist. Bestimmen Sie rechnerisch, auf welche Stelle er x-achse er Punkt B verschoben weren müsste, amit ie zu beschaffene Ere bei beien Vorschlägen gleich groß ist.. Aufgabe Eine nach unten geöffnete Parabel f(x) hat ie Nullstellen N 1 ( 0) un N (- 0) un schneiet ie y-achse bei y=. Eine zum Ursprung punktsymmetrische ganzrationale Funktion ritten Graes k(x) hat ie gleichen Nullstellen wie f(x). Der Graph von k(x) soll ie Parabel f(x) im Punkt N 1 ( 0) senkrecht schneien. a) Weisen Sie nach, ass ie Parabel f : f x urch ie Funktionsgleichung ( ) beschrieben wir. b) Erbringen Sie urch Aufstellen er Funktionsgleichung en Nachweis, ass ie Funktion urch ie Gleichung ( ) argestellt wir.

2 c) Ermitteln Sie rechnerisch en Winkel unter em sich ie Graphen von f un k im Punkt N (- 0) schneien. ) Zeichnen Sie ie beien Graphen in ein Koorinatensystem.. Aufgabe Ein oben offener Stahlbehälter soll aus einem geraen Zyliner un einem kreiskegelförmigen Boen zusammengesetzt sein. a) Veranschaulichen Sie iesen Sachverhalt mit Angabe er verweneten Maße in einer geeigneten Skizze. b) Ermitteln Sie rechnerisch, wie ie Höhe h un er Durchmesser es Zyliners zu wählen sin, wenn bei einem Fassungsvermögen von 10 m er Verbrauch es Stahlbleches minimal weren soll un ie Höhe es Kreiskegels halb so groß wie sein Durchmesser ist.

3 Aufgabe 1 Aufg. Teil a) f x ax bx cx b) c) ) / f x ax bx c 1 / Erwartete Schülerleistungen I : P 0 6 : f 0 0a 0b 0c 6 6 II : P 4 0 : f 4 64a 16b 4c 0 III : P 6 0 : f 6 16a 6b 6c 0 IV : f 0 0 : 0a 0b c 0 c 0 II : 64a 16b 6 0 III,5 II : 7 a 7,5 0 III : 16a 6b a ; b 48 4 erreichbare Pkt f x x x / 5 19 f x x x 16 1 // 5 19 f x x x x W,5 8 1 / f,5,5,5, Minus, a er Graph fällt. Für ie Winkelberechnung reicht er Betrag! arctan,01 6,55 65 Die maximale Steigung beträgt 6,55. Damit wir er zulässige Wert eingehalten. 8 / 5 19 f x x x x x x x xe1 0 x 0 xe 5, x E ist ie tiefste Stelle f , An er tiefsten Stelle ist er Aushub 0,77 m A f x x f x f x x A 60 x x 6x x x 6x , x x x m V A l 85, m 6 erreichte Punkte

4 e) AB CD 10 AABCD h 6 96,00 V 96 85, Dif Bei er Variante Hangkurve weren 00 m weniger Ere benötigt. Deshalb ist ieser Vorschlag günstiger. l1 l l1 10 A / / h 6 A B CD 85,50 l 10 8,50 l 18,50 m , ,5m Der Punkt B müsste auf x 4,5 verschoben weren. 7 Summe Aufg.1: 4 Aufgabe Aufg. Teil a) f x a x x Erwartete Schülerleistungen 1 P 0 : f : f 0 a a 1 1 f x x x x Alternativ: Punktprobe f 0; f 0; f 0 0 b) k x ax bx cx c) k x ax cx Punktsymmetrie / k x ax c / / f x x f 1 1 mk m f I : P 0 : k 0 a 7 c / 1 erreichbare Pkt II : k a 7 c I II : c c 0,5; a k x x x / / f x x; f / 1 1 / k x x ; k arctan() arctan 6,87 bzw. 5,1 Der Winkel zwischen en Graphen von f un k beträgt ca. 6,87 5,1 4 erreichte Punkte

5 ) y O x 4 Summe Aufg.: Aufgabe Aufg. Teil a) b) h Z h Erwartete Schülerleistungen HB : M hz s 1 : NB s hk hk s s h K 1 NB : V 10 hz hk hz h Z hz Zf : M s M M 40 0,59 D * oer IR // M erreichbare Pkt erreichte Punkte / 40 M 1, ,18 1,18 40,89,4,89,4 m; hk 1,6 m 40 40,4 hz 0,67 m 6,4 6 Um möglichst wenig Stahlblech zu verbrauchen, sollte ie Höhe es Zyliners 0,67m un er Durchmesser,4m betragen. Summe Aufg.: 18 Gesamtsumme er Prüfungsarbeit: 74

6 in %: Note: Referent: n.b. = nicht bearbeitet

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