1. Aufgabe (15 BE) beschrieben wird und eine zweite Straße, die durch die Funktion
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- Karlheinz Dressler
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1 1. Aufgabe (15 BE) Eine Straße, deren Verlauf durch die Funktion f x 0,5x x,5 beschrieben wird und eine zwei Straße, die durch die Funktion g x 0,5 x x 4 dargesllt wird, werden durch ein Gebirge voneinander getrennt. (1 Längeneinheit = 1 km) Beide Straßen sollen durch einen Tunnel, der mit Hilfe der Gleichung x u beschrieben wird, im Bereich 0,5 u,5 verbunden werden. a) Fertigen Sie eine Skizze zum vorliegenden Sachverhalt an. b) Berechnen Sie, an welcher Slle u der Tunnel aus Kosngründen eine minimale Länge besitzt. Weisen Sie nach, dass die minimale Länge des Tunnels rund 5,17 km beträgt. c) 1kmTunnelbau kost ca. 5 Mio. Euro. Bestimmen Sie rechnerisch die Kosn für das Tunnelvorhaben.. Aufgabe (30 BE) An einem Tag im Frühherbst wird die Oberflächenmperatur T eines Sees gemessen. Der 1 Temperaturverlauf wird durch die Funktion T t t 3 36t 34t 5700 beschrieben 300 (t: Zeit in Stunden; T t : Temperatur in C) und gilt für 0 t 4. a) Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Wendetangen des Graphen von T und erläurn Sie, welche Bedeutung der Wendepunkt und die Sigung im Wendepunkt für den dargeslln Sachverhalt hat. b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass es zwei Zeitpunk gibt, an denen die Oberfläche des Sees an diesem Tag die gleiche Höchstmperatur aufweist. Berechnen Sie diese Zeitpunk sowie die Höchstmperatur an dem Tag. c) Ermitln Sie rechnerisch die Temperaturdifferenz an dem Messtag.
2 3. Aufgabe (8 BE) Ein renommierr Möbelhersller bekommt in letzr Zeit häufig Beschwerden über seinen Bestsellersessel Entspannungs-FIT. Die meisn der Beschwerden lassen sich der Generation 60+ zuordnen. Diese Bevölkerungsgruppe beklagt das fast unmögliche Aufshen aus dem Sessel, da die maximale Neigung der Sitzfläche mehr als die erlaubn - 45 (Sigung m 1) gegenüber der Horizontallinie beträgt. Sie als Leir des Kundenservices werden von der Geschäftsführung damit beauftragt, die Neigung der Sitzfläche des Sessels zu überprüfen. Hierfür sind Ihnen folgende Dan bekannt: Der Sessel kann durch eine ganzrationale Funktion 3. Grades beschrieben werden. Die Funktion geht durch den Ursprung, schneidet die Nullslle N(-/0) und besitzt den t 4 Q(-1/-1). Die Neigung der Sitzfläche ist im t P f x am größn. 3 a) Ermitln sie den gesuchn Funktionsrm f x. Zur Kontrolle und zum Weirrechnen: 3 f x x 4x 4x b) Bestimmen Sie rechnerisch die größ Neigung der Sitzfläche des Sessels. Begründen Sie, warum es sich bei ihrem Wert um den t mit der größn Neigung handeln muss. Geben Sie die Neigung in Grad an. c) Beurilen Sie, ob der Sessel weir verkauft werden soll.
3 Aufgabe 1 a) Pkt. b c b) HB: NB: ZF: lokales Minimum ( ) c) AS: An der Slle besitzt der Tunnel die minimale Länge von 5,17km. 10 AS: Die Kosn für den Tunnelbau betragen 19,5 Mio. 3 Summe: 15
4 Aufgabe a) Pkt b) Der Wendepunkt und die Wendetangen (Sigung der Wendetangen) geben Auskunft darüber, dass um 1 Uhr der höchs Anstieg der Oberflächenmperatur des Sees zu verzeichnen war. 15 lokales Maximum lokales Minimum c) AS: Um 0 Uhr und um 18 Uhr weist der See mit einer Oberflächenmperatur von 19 C die Höchstmperatur an diesem Tag auf. 11 AS: Die Differenz der Oberflächenmperatur des Sees am Messtag beträgt,88 C. 4 Summe: 30
5 Aufgabe 3 a) // / 3 f x ax bx cx d f x 3ax bx c f x 6ax b Pkt f(0) = 0 a0³ + b0² + c0 + d = 0 d = 0 f(-) = 0-8a + 4b c = 0 f(-1) = -1 -a + b - c = -1 f ( ) = 0-8a + b = 0 Gauß- Algorithmus oder TR a = 1; b = 4; c = 4 f x x 4x 4x 3 b) P ist der Wendepunkt WEP( - /f(x)) Die Neigung der Sitzfläche ist die Tangennsigung im WEP / f x 3x 8x 4 / 4 4 f Die Sigung beträgt m 3 Begründung: Die Neigung der Sitzfläche ist am Wendepunkt am größn. m tan 53,1 Die Neigung beträgt 53,1. 7 c) Der Sessel darf nicht verkauft werden, da die Neigung der Sitzfläche zu sil ist! Summe: 8 Gesamtsumme der Prüfungsarbeit: 73 19
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