Unterlagen für die Lehrkraft

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 7/8 Mathematik C 6. Mai 8 9: Uhr Unterlagen für die Lehrkraft

2 . Aufgabe: Differential- und Integralrechnung Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit Der Graph heißt G f. f(),5 ; IR. a) Geben Sie das Symmetrieverhalten von G f an und begründen Sie. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen von G f. c) Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von G f. d) Zeichnen Sie G f im Intervall in ein kartesisches Koordinatensystem (Empfehlung zur Achseneinteilung: Längeneinheit entspricht cm). e) Der Graph G f schließt mit der - Achse im IV. Quadranten ein Flächenstück vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes dieser Fläche. f) Die Punkte A(I), B(I) und C(If()) beschreiben ein Dreieck im IV. Quadranten. Zeichnen Sie die Punkte in das Koordinatensystem von Teilaufgabe d) für ein. Beschriften Sie die Punkte und kennzeichnen Sie die beschriebene Fläche. Bestimmen Sie rechnerisch die Stelle mit, für die das Dreieck ABC eine maimale Fläche einnimmt. (zur Kontrolle: 5 A() ) Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe Punkte Mathematik C Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 8 Schuljahr 7/8

3 Teil Erwartete Teilleistung (alternative Lösungswege möglich) Pkt. a) Achsensymmetrie zur y-achse, nur gerade Potenzen b),5 (,5 ) (doppelte Nullstelle); ; c) f () ; f() 6 ; f() E E E ; ; ; ( ) f() ; f( ) 8 ; f( ) 8 ; f() ; f( ) ; f( ) ; H( ) T (, ) T (, ) 5 d) e) A (,5 A A,FE 5 5 )d Mathematik C Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 8 Schuljahr 7/8

4 f) HB :A f() NB :f(),5 5 ZF :A() 5 A () 5,55 ( und A() 5 6 A(,55) 9, ma.,55 liegen nicht im Intervall) 6 Für,55 wird der Flächeninhalt des Dreiecks maimal. Summe 8 Mathematik C Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 8 Schuljahr 7/8

5 . Aufgabe: Differential- und Integralrechnung Ein Grundstück wird im Süden durch eine Bahnlinie, im Norden durch einen Fluss, im Westen durch eine Straße sowie im Osten durch einen im Abstand von m parallel zur Straße verlaufenden Holzzaun begrenzt (siehe Skizze). Die Straße und die Bahnlinie liegen auf den Achsen eines Koordinatensystems, wobei eine Einheit m entspricht. a) Der Verlauf des Flusses kann durch den Graphen G f einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades beschrieben werden. Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung A 5 6 D 7 auf G f liegen. für f so, dass die Punkte, B, C und 9 ) (zur Kontrolle: f 5 b) Bestimmen Sie rechnerisch die maimale Nord-Süd-Ausdehnung des Grundstückes. Weisen Sie nach, dass es auf dem Grundstück keine kürzere Verbindung zwischen Fluss und Bahnlinie gibt als den m langen Holzzaun. Berechnen Sie die Materialkosten für die Erneuerung des, m hohen Zauns, wenn m² Holzzaun 7, kostet. c) Berechnen Sie den Grundstückspreis, wenn pro Quadratmeter, zu zahlen sind. Aufgabenteil a) b) c) Summe Punkte 7 5 Mathematik C Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 8 Schuljahr 7/8

6 Teil Erwartete Teilleistung (alternative Lösungswege möglich) Pkt. a) f() a b c d f() 5 : f( ) : f() 6 : f() 7 : d 5 a b c d 8a b c d 6 6a 6b c d 7 Ermitteln der Koeffizienten : f() 9 5 b) f 9 6 f 6 E E ; ; f() ; f() ; f f 5; T( 5) 7; H( 7) Die maimale Nord-Süd-Ausdehnung beträgt 7 m. Die minimale Ausdehnung von m entspricht genau der Länge des Holzzauns. (Hinweis für Lehrkräfte: Die Grundstücksgrenze an der Straße ist genauso lang.) Materialkosten: K,5 7,5 565 Die Materialkosten für den Zaun betragen 565. c) A f()d FE 8 FE entspreche n 87 m Das Grundstück kostet 7. Summe Mathematik C Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 5 von 8 Schuljahr 7/8

7 . Aufgabe: Stochastik 5 Bei einer Gruppe von Jugendlichen wurde die Körpergröße (in ganzen cm) gemessen. Die Ergebnisse sind im Diagramm dargestellt. Die Personengruppe besteht aus Mädchen und Jungen. Anzahl der Personen Körpergröße in cm a) Ermitteln Sie die relative Häufigkeit der Personenanzahl für jede der vier Größenklassen. Bestimmen Sie rechnerisch den arithmetischen Mittelwert der Körpergröße aller Personen bezüglich der Klasseneinteilung. b) Zum Vergleich wurden die Personen nach ihrer Größe in vier gleich breite Klassen eingeteilt. Vervollständigen Sie alle fehlenden Angaben in der Tabelle. Klasse Größe in cm Anzahl der Personen von bis absolut relativ A 8 % B % C D 87 % c) Drei Personen der Gruppe sollen für einen Sehtest zufällig ausgewählt werden. Verdeutlichen Sie diesen Vorgang unter Berücksichtigung des Geschlechtes der jeweiligen Person in einem Baumdiagramm. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: E : Alle drei Personen sind Jungen. E : Unter den drei Personen befinden sich genau zwei Mädchen und ein Junge. d) Eine Befragung der Personengruppe ergab, dass % der Mädchen und 6 % der Jungen regelmäßig eine Sportart betreiben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig aus der Gruppe ausgewählte Person Sport treibt. Auf wie viel Prozent müsste der Anteil der Sport treibenden Mädchen steigen, damit die zufällig ausgewählte Person mit einer Wahrscheinlichkeit von,7 Sportlerin bzw. Sportler ist? Aufgabenteil a) b) c) d) Summe Punkte 8 Mathematik C Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 6 von 8 Schuljahr 7/8

8 Teil Erwartete Teilleistung (alternative Lösungswege möglich) Pkt. a) 5 5 rel. Häufigkeit: h,; h, ; h, ; h, Klassenmitte: 7,5 ; 59,5 ; 67,5 ; 79, 5 arithm. Mittelwert: h i i i 6, 7 Hinweis zur Bewertung: Sollten die Schüler mit rechts- oder linksoffenen Intervallen für die Klasseneinteilung arbeiten, verschieben sich die Klassenmitten und somit der angegebene Mittelwert. Auch hier ist die volle Punktzahl zu vergeben. b) Klasse Größe in cm Anzahl der Personen Klassengrenzen: von bis absolut relativ A 5 8 % B 5 6 % C % D % absolute H.: relative H.: Hinweis zur Bewertung: Sollten die Schüler mit rechts- oder linksoffenen Intervallen für die Klasseneinteilung arbeiten ( von - bis unter bzw. von über - bis ), müssen die Klassengrenzen angepasst werden. Auch hier ist die volle Punktzahl zu vergeben. c) Alle Personen männlich: P(E ) 5,8% Mathematik C Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 7 von 8 Schuljahr 7/8

9 Genau Mädchen und Junge: P(E ),9 % d) 6 P(Sport),5 5% Eine Person betreibt mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % Sport. P(Sport) 6 7, ,67 % Der Anteil der Sport treibenden Mädchen müsste auf 76,67 % steigen. Summe Mathematik C Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 8 von 8 Schuljahr 7/8