Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (nichttechnische Ausbildungsrichtung)

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Gerda Dunkle
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1 Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 2004 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 24. Juni 2004 Prüfungsdauer: 09:00-12:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer, nichtprogrammierbarer Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung Hinweise: Der Bereich Analysis besteht aus vier Aufgaben. Die Schülerinnen und Schüler haben daraus drei Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben trifft die Schule. Die Aufgabe Analytische Geometrie ist von allen Schülern zu bearbeiten.

2 - 2 - Analysis: Aufgabe Der Graph G(f) einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades berührt die x-achse an der Stelle x 0 = 3 und hat im Punkt A( 5 ; 4) die Steigung m = 4, Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f Ergebnis: f( x) = ( x + 3x 9x 27) Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen von f Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der Extremalpunkte sowie die Koordinaten des Wendepunktes W von G(f). Teillösung: W ( 1; 2) [ ] Zeichnen Sie den Graphen G(f) im Bereich 5 x 4 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein (1 LE = 1 cm) Eine Gerade g schneidet den Graphen G(f) im Wendepunkt, die x-achse im Punkt B(3; 0). Stellen Sie die Gleichung der Geraden auf und zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem ein Berechnen Sie den Winkel zwischen der Wendetangente und der Geraden g.

3 - 3 - Analysis: Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f( x) = ( x 8x 128). 32 Der Graph der Funktion wird mit G(f) bezeichnet Untersuchen Sie G(f) auf Symmetrie Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der Extremalpunkte sowie die Koordinaten der Wendepunkte von G(f) Zeichnen Sie den Graphen G(f) in ein Koordinatensystem im Bereich 4 x 4 (1 LE = 1 cm). 2.5 Die Gerade mit der Gleichung x = u mit u [0 ; 4], u IR schneidet G(f) im Punkt Q und die x-achse im Punkt P. Zusammen mit dem Koordinatenursprung O legen diese Punkte das Dreieck OPQ fest Zeichnen Sie für u = 3 das Dreieck in das Koordinatensystem ein Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OPQ in Abhängigkeit von u Ergebnis: A( u) = ( u 8u 128u) Für welchen Wert von u nimmt der Flächeninhalt seinen größten Wert an? Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt.

4 - 4 - Analysis: Aufgabe In einem Monopolbetrieb kann die Nachfrage (Stückzahl x) über den Stückpreis p(x) gesteuert werden. Der Zusammenhang zwischen Stückzahl x, Stückpreis p(x) und den bei der Produktion entstehenden Gesamtkosten K(x) ist in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt. Stückzahl Stückpreis Gesamtkosten Umsatz Gewinn x p(x) K(x) U(x) G(x) , , , Bestimmen Sie die lineare Preisfunktion p: p(x) = m P x + t P. [Ergebnis: p(x) = 0,1x + 80] Bestimmen Sie die lineare Gesamtkostenfunktion K: K(x) = m K x + t K Ermitteln Sie die Umsatzfunktion U: U(x) = x p(x) Bei welcher Stückzahl wird der maximale Umsatz erzielt? Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G:G(x) = U(x) K(x). [Ergebnis: G(x) = 0,1x x 1000] Bei welchen Produktionszahlen arbeitet der Betrieb mit Gewinn? Welchen Gewinn kann der Betrieb maximal erzielen?

5 - 5 - Analysis: Aufgabe Eine Glashütte stellt kegelförmige Eisbecher her. Die Mantellinie s des Kegels beträgt dabei immer s = 10 cm. Das Volumen des Bechers ändert sich, wenn die Höhe h und damit gleichzeitig der Radius r verändert werden. h r s = 10 cm Stellen Sie das Volumen des Kegels als Funktion der Höhe h dar und geben Sie den maximalen Definitionsbereich an. π π Teilergebnis:V(h) = h + h Bestimmen Sie denjenigen Wert von h, für den das Volumen des Kegels seinen absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie dieses Volumen Zeichnen Sie den Graphen der Funktion V(h) in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. Fertigen Sie dazu eine Wertetabelle im Bereich 0 h 10 mit Schrittweite h = 2 cm. h-achse: 1 LE = 1 cm; V-Achse: 1 LE(= 1 cm) = 50 cm Bestimmen Sie durch Rechnung, für welche Werte von h das Volumen V = 64π cm 3 beträgt Ermitteln Sie die Lösungen von Aufgabe 4.4 zeichnerisch.

6 - 6 - Analytische Geometrie 5.0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3; 7; 2), B( 2; 8; 1), C( 4; 9; 3) und D a (6; 7; a+9) mit a IR und 12 r der Vektor d= 9 gegeben. 28 r r uur r uuur r uuur uur uuuuur Für die Vektoren a, b, und ca gilt: a = AB, b = AC, ca = ADa. r r uur Für welche Werte a IR sind die Vektoren a, b, und ca linear unabhängig? r r uur Die Vektoren a, b, und c4 mit a = 4 sind linear unabhängig. Stellen Sie den Vektor d r r r uur als Linearkombination der Vektoren a, b, und c4 dar Für welche Werte a IR hat der Vektor c uur a die Länge 9 2 LE? Nun sei a = 2. r uur Zeigen Sie, dass für a = 2 die Vektoren aund c2 und gleichzeitig die Vektoren r uur bund c 2 aufeinander senkrecht stehen Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ABC Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ACD 2.

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