Bestimmung einer ganzrationalen Funktionenschar

Transkript

1 Bestimmung einer ganzrationalen Funktionenschar x Gesucht ist eine Schar f a ganzrationaler Funktionen. Grades, deren Graphen durch A(0 ) und B( ) verlaufen und in A die Steigung a haben.

2 Funktionenschar x Gesucht ist eine Schar f a ganzrationaler Funktionen. Grades, deren Graphen durch A(0 ) und B( ) verlaufen und in A die Steigung a haben. Der Ansatz f(x) = ax +bx+c wäre falsch. a hat in der Aufgabe eine andere Bedeutung. f a (x) = ( a+ )x +ax+

3 Gemeinsame Punkte (der Graphen) einer Funktionenschar x Gegeben sei (umgekehrt) die Funktionenschar f a (x) = ( a+ )x +ax+. An welchen Stellen liegen gleiche Funktionswerte vor? Die Stellen gemeinsamer Punkte können durch Lösen der Gleichung ax +ax = 0 ermittelt werden. Für diese x-werte fällt a heraus, die Funktionswerte sind daher von a unabhängig. x = 0, x =

4 Funktionenschar x Gesucht ist eine Schar f a ganzrationaler Funktionen. Grades, deren Graphen durch A(0 ), B( ) und C(8 ) verlaufen und in A die Steigung a haben.

5 Funktionenschar f f / f / x Gesucht ist eine Schar f a ganzrationaler Funktionen. Grades, deren Graphen durch A(0 ), B( ) und C(8 ) verlaufen und in A die Steigung a haben. f a (x) = ( a+ 8 )x ( 8 a+ )x +ax+ Wäre die Funktionenschar f a gegeben, könnten die Stellen gemeinsamer Punkte durch Lösen der Gleichung ax 8 ax +ax = 0 gefunden werden. Für diese x-werte fällt a heraus, die Funktionswerte sind daher von a unabhängig.

6 Funktionenschar Gesucht ist eine Schar f m ganzrationaler Funktionen, deren Graphen durch A( ) verlaufen, in A die Steigung m haben und deren Tangente im Ursprung = x lautet. Für welches m beträgt der Inhalt unter dem Graphen von f m in den Grenzen von 0 bis FE?

7 Funktionenschar f f f 0 f f 7 x Gesucht ist eine Schar f m ganzrationaler Funktionen, deren Graphen durch A( ) verlaufen, in A die Steigung m haben und deren Tangente im Ursprung = x lautet. Für welches m beträgt der Inhalt unter dem Graphen von f m in den Grenzen von 0 bis FE? f m (x) = ax +bx +cx Zwischenergebnis:. c =. a+8b =. 8a+8b = m f m (x) = (m )x + 8 ( m+)x +x m = Ergänzung Zeige, dass die Funktionenschar f m mit der Schar g a (x) = ax +( a 8 )x +x übereinstimmt. 7

8 Funktionenschar x Gesucht ist eine Schar f a (x) = ax +bx +cx+d ganzrationaler Funktionen, deren Graphen im Wendepunkt A(0 ) die Steigung m = haben und an der Stelle x = eine waagerechte Tangente. Es sind die Graphen von f, f 0,, f 0, f 0, und f dargestellt. Ordne die Graphen zu. Weise nach, dass alle Graphen an der Stelle x = 8 einen gemeinsamen Punkt haben. 8

9 Die Bedingungen. f(0) =. f (0) = 0. f (0) =. f () = 0 führen zum Gleichungssstem:. d =. 0 = 0. c =. a+b+c = 0 und der Lösungsfunktion: f a (x) = ax ( 8 a+ )x + x+ Beachte für die Zuordnung: lim x (ax...) = ±, für a > 0 gilt..., für a < f f 0, f 0 f 0, - - x - - f - Dass an der Stelle x = 8 ein gemeinsamer Punkt vorliegt, ist unmittelbar zu sehen: Für diesen x-wert fällt a heraus, der Funktionswert ist daher von a unabhängig. ax = 8 ax = x = 8 9

10 Gemeinsame Tangente Zeige, dass die Funktionenschar f k (x) = (x k) +k eine gemeinsame Tangente besitzt. k ganzzahlig - 7 x - - 0

11 Gemeinsame Tangente Zeige, dass die Funktionenschar f k (x) = (x k) +k eine gemeinsame Tangente besitzt. k ganzzahlig - 7 x - - Mehrere Vorgehensweisen sind möglich. a) Die Parabelscheitel S(k k) sind unmittelbar aus der Scheitelform zu erkennen, so dass die Vermutung m = naheliegt. Weiter kann untersucht werden, an welcher Stelle f 0 (x) = x die Steigung m = hat. Die zugehörige Tangente = x+ erweist sich als gemeinsame Tangente. b) Für f k lautet die Gleichung der Tangente an der Stelle a: t k (x) = (k a) }{{} Für eine gemeinsame Tangente müssen C und C von k unabhängig sein. Dies führt zu (Einsetzen und Koeffizientenvergleich) C = und C =. C x+a } k {{ +k } C c) Die gemeinsame Tangente ist Einhüllende der Parabelschar. Für die Berechnung der Hüllfunktion wird die Ableitung nach k von f(k) = (x k) +k gleich null gesetzt, f(k) ist eine Funktion mit der Variablen k, die Stelle x wird als konstant (Parameter) betrachtet. Das Ergebnis k = x+ wird in f k(x) eingesetzt. Für h(x) = x+ ist abschließend die Berührbeziehung zu überprüfen. Die Berechnung von Hüllfunktionen wird in Ni nicht verlangt.