mathphys-online Trigonometrische Funktionen - Aufgaben 2 Aufgabe 1: Abschlussprüfung 1999 / AI 2 Gegeben ist die Funktion f( x) π sin = und x IR.

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1 - Aufgaben Aufgabe : Abschlussprüfung 999 / AI Gegeben ist ie Funktion f( x) sin ( x ) = un x IR. a) Ermitteln Sie alle Nullstellen un Extrempunkte er Funktion f. b) Zeichnen Sie en Graphen er Funktion f nach Berechnung geeigneter Funktionswerte im Bereich 5 x 5. Teilaufgabe a) f( x) sin ( x ) Nullstellen: ( x ) = k x = k x k ( ) ( k ) Ableitung: f' ( x) x f( x) cos ( x ) Horizontale Tangenten: f' ( x) = cos ( x ) = x ( k) ( x ) = ( k ) auflösen x k x ( k) k Nullstellen: Hochpunkte: Tiefpunkte: k k k x ( k) x ( k) - 8 x ( k) - 6 Aufgaben Seite on

2 Teilaufgabe b) x W f x W Aufgaben Seite on

3 Aufgabe : Abschlussprüfung 999 / A II Ein Motorboot überquert einen Fluss er Breite b, essen Fließgeschwinigkeit w als konstant angenommen weren kann. Das Boot fährt mit er konstanten Eigengeschwinigkeit w. Wegen w erfährt as Boot in jeem Fall eine Abrift S. Um ie Abrift S möglichst klein zu halten, wir as Boot unter einem Vorhaltewinkel φ gegen ie irekte Überquerungsrichtung gesteuert (siehe Skizze). b Steuerungsrichtung - w s Bewegungsrichtung Die Abrift S als Funktion es Vorhaltewinkels φ ist gegeben urch: S( φ) b w = sin( φ) cos( φ) mit φ [ ; [. a) Untersuchen Sie as Verhalten er Funktionswerte S( φ) an en Ranstellen es gegebenen Definitionsbereichs. b) Zeigen Sie, ass für ie erste Ableitungsfunktion er Funktion S( φ) gilt: φ S( φ) b wsin( φ) = ( cos( φ) ) c) Bestimmen Sie en Vorhaltewinkel φ, bei em as Boot ie geringste Abrift erfährt, wenn es ie Eigengeschwinigkeit. m un er Fluss ie Breite b m un ie Fließge- s schwinigkeit w. m besitzt. Wie groß ist in iesem Fall ie Abrift? s ) Zeigen Sie, ass sich as Boot für en in Teilaufgabe c) behanelten Fall senkrecht zur Steuerungsrichtung bewegt. Teilaufgabe a) Funktionsterm: S( φ w b) b w sin( φ) cos( φ) linker Ranwert: S ( w b) bw rechter Ranwert: lim φ b ( w sin( φ) ) cos( φ) bsignum( w ) Da w folgt lim φ b w sin( φ) cos( φ) Aufgaben Seite on

4 Teilaufgabe b) Ableiten: S' ( φ w b) φ S( φ w b) bsin( φ) ( w sin( φ) ) cos( φ) b Vereinfachen: S' ( φ w b) b bw cos( φ) sin( φ) b( wsin( φ) ) cos( φ) Teilaufgabe c) Horizontale Tangenten: S' ( φ w b) = sin( φ) w = Zahlenwerte einsetzen: sin( φ) = w = w. m b m. m s s Auflösen: φ asin φ Gra.6 m S S φ w b = geringste Abrift. linker Ranwert: S ( w b) m Da ie Funktion im Interall φ stetig ist un φ as einzige Extremum ist, genügt er Vergleich mit en Ranwerten (siehe.): absolutes Minimum ( Gra / m ) Teilaufgabe ) geringste Abrift: S S φ w b Winkel zwischen Lot un Bewegungsrichtung: tanφ S S φ b atan φ b.7 φ 6Gra Gesamtwinkel: φ ges φ φ φ ges.57 φ ges 9Gra Aufgaben Seite on

5 Aufgabe : AP / A II Gegeben ist ie Funktion gx ( ) = acos( bx) c mit en Koeffizienten a,b,c IR \ {} in er Definitionsmenge D = IR. a) Bestimmen Sie ie Koeffizienten a,b,c so, ass er Graph er Funktion g urch en Punkt P( / ) erläuft un im Punkt W( / ) er Wenepunkt mit em kleinsten positien x-wert orliegt. [ Ergebnis: a =, b =, c = ] b) Zeichnen Sie en Graphen on g mit Hilfe geeigneter Funktionswerte für x. Teilaufgabe a) Funktionsterm: gx ( ab c) acos( bx) c. Ableitung: g' ( x a b c) x gx ( ab c). Ableitung: g'' ( x a b c) x g' ( x a b c) ab sin( bx) ab cos( bx) P G g : g ( ab c) = a c = W G g : Wenepunkt: g ( ab c) = c acos( b) = g'' ( a b c) = ab cos( b) = Gleichung : a c = c = a Gleichung : c acos( b) = Gleichung : ab cos( b) = Da a b folgt aus (): cos( b) = b = ( k ) kleinster positier Wert: b () un () in () einsetzen: a acos( b) = a = auflösen a a c Aufgaben Seite 5 on

6 Teilaufgabe b) gx ( ) gx ( ab c) cos x 5 x W gx W Aufgaben Seite 6 on

7 Aufgabe : AP 5 / A I Gegeben ist ie Funktion g mit en rellen Parametern a un b: gx ( ) = asin( bx) in er Definitionsmenge D g = IR. Bestimmen Sie ie Koeffizienten a un b so, ass er Graph on g urch en Punkt T(/) erläuft un ie kleinste positie Nullstelle bei x = liegt. [ Ergebnis: a = ; b = ] Allgemeiner Funktionsterm: gx ( ab) asin( bx) T(/) G f : ( ) g ( ab) = asin( b) = NS(/) G f : ( ) g ( ab) = asin( b) = Aus (): a = sin( b) = a = Wierspruch zu () a für ie kleinste positie NS: k= b = k auflösen b b k mit k Z in () asin( b) = auflösen a a = gx ( ) sin x Aufgaben Seite 7 on

8 Aufgabe 5: AP 6 / A II Gegeben ist ie reelle Funktion gx ( ) = x sin( x) in er Definitionsmenge D g = ] ; [. a) Zeigen Sie mithilfe es Monotonieerhaltens, ass ie Funktion g in ihrer Definitionsmenge genau eine Nullstelle besitzt. b) Berechnen Sie iese Nullstelle ausgehen om Startwert x = mit em Newton-Verfahren. Führen Sie zwei Näherungsschritte urch un geben Sie ie für ie Berechnung notwenigen Teilergebnisse auf rei Nachkommastellen gerunet an. Teilaufgabe a) lim x gx ( ) lim x gx ( ). g ( x) x gx ( ) cos( x) > Die Funktion g(x) ist streng monoton steigen. Auf Grun er Monotonie un er Ranwerte besitzt ie Funktion genau eine Nullstelle in ID g. Graphische Veranschaulichung (in er Prüfung nicht erlangt): Graph er Ableitungsfunktion in D immer positi Graph er Funktion streng monoton steigen in D Aufgaben Seite 8 on

9 Teilaufgabe b) x gx x x g x.57 gx x x g x.578 NS (.578 / ) Aufgabe 6: AP 7 / A I Gegeben ist ie Funktion gx ( ) = asin( bx c) mit en reellen Parametern a, b un c un er Definitionsmenge D g = IR. Bestimmen Sie ie Werte für ie Parameter a, b un c so, ass er Graph on g en Tiefpunkt T ( / ) aufweist un ie Perioenlänge 8 besitzt, wobei a un b negati gewählt weren sollen. Begrünen Sie Ihr Vorgehen. Zeichnen Sie en Graphen on g für 6 x 6. [ Mögliches Teilergebnis: gx ( ) = sin x ] Ansatz für Funktionsterm: Ableitung: gx ( ab c) asin( bx c) g ( x a b c) x gx ( ab c) ab cos( c bx) Perioenlänge: p = b b = 8 b = 8 auflösen b b keine Lösung b T ( / ) G g : ga b c = asin( c) = ( ) = g ( ) = g a b c acos( c) = ( ) Proukt = : cos( c) = c acos( ) c Perioizität on cos(x): c c c In () einsetzen: a sin c = auflösen a a keine Lösung Aufgaben Seite 9 on

10 a sin c = auflösen a a keine Lösung Bestimmter Funktionsterm: g ( x) gxa b c sin x Das entspricht em gegebenen Funktionsterm: gx ( ) sin x x W gx W Aufgaben Seite on