Explizite und Implizite Darstellung einer Funktion

Transkript

1 Eplizite un Implizite Darstellung einer Funktion Für ie implizite Differentiation weren ie Begriffe implizite un eplizite Darstellung von Funktionen benötigt. Bisher haben wir eine Funktion (Zusammenhang zwischen zwei Variablen un ) urch ihre Funktionsgleichung (in en Variablen un ) in er Form = f () angegeben. Diese Funktionsgleichung ist nach er Variablen aufgelöst. Man spricht in iesem Falle von einer epliziten Darstellung er Funktion oer kürzer von einer epliziten Funktion. Falls ie Funktionsgleichung (in en beien Variablen un ) nicht nach einer er beien Variablen aufgelöst ist (ie Funktionsgleichung liegt in iesem Falle in er Form F (, = 0 vor), spricht man von einer impliziten Darstellung er Funktion oer kürzer von einer impliziten Funktion. Eplizite Darstellung: = f () Die Funktion ist nach einer er beien Variablen, hier, aufgelöst. Implizite Darstellung: F (, = 0 Die Funktion ist nach keiner er beien Variablen aufgelöst. Beispiele (zur Darstellung von Funktionen): Eplizite Darstellung ( = f () ): a) =, ( f (), b) = ± 1, c) ) = mit = ± 1, ( f (), 3 =. = mit f ( ) = ) f ( ) = ± 1 Implizite Darstellung ( F (, = 0 ): a) = 0, ( F (, = 0, mit F(, = ) b) = 1 ( F (, = 0, mit F (, = 1 c) + 1 = 0 (oer + = 1) ( F (, = 0, mit F (, = + 1) (Kreis, mit Raius = 1) ) + 3 = e) = (oer = 0 ) f) ln = ln (oer ln ln = 0 ) ( F (, = 0, mit F(, = ln ln ) Die implizite Darstellung f) erhält man aus er epliziten Darstellung = urch logarithmieren beier Seiten er Gleichung zur Basis e. (Siehe azu auch logarithmisches Differenzieren.)

2 Oft kann man ie implizite Darstellung F (, = 0, urch Auflösen er Funktionsgleichung F (, = 0 nach z.b., in ie eplizite Darstellung = f () überführen. In vielen Fällen ist ies jeoch nicht möglich oer nur mit großem Aufwan zu erreichen. In en obigen Beispielen weren ie impliziten Darstellungen b) un c) (siehe implizite Darstellung), urch Auflösen er Funktionsgleichung F (, = 0 nach, in ie entsprechenen epliziten Darstellungen b) un c) (siehe eplizite Darstellung) überführt. Aufgaben: Aufgabe 1) Stelle ie in a) bis f) implizit gegebenen Funktionen, falls nicht bereits getan, in epliziter Form ar. Aufgabe ) Berechne ie Steigung er implizit argestellten Funktion ) an er Stelle 3. (Hinweis: Für ie Berechnung er Steigung weren ie -Werte für = 3 benötigt. Diese können aus er Funktionsgleichung urch Einsetzen von 3 für un Auflösen er Gleichung nach berechnet weren.) Implizite un logarithmische Differentiation Implizite Differentiation Vor em Lesen ieses Artikels sollten em/er Schüler/in ie Begriffe implizite un eplizite Funktion bekannt sein. Dazu ist es empfehlenswert, en Artikel implizite un eplite Darstellung von Funktionen (siehe Link) urchzulesen (oer besser gesagt: urchzuarbeiten ) Der Anstieg einer in impliziter Form F (, = 0 argestellten Funktion lässt sich schrittweise wie folgt bestimmen: 1. Glieweise Differentiation er Funktionsgleichung F (, = 0 nach, wobei ie Variable als Funktion von anzusehen ist. Jeer Term in er Funktionsgleichung, er ie (abhängige) Variable enthält, ist aher unter Verwenung er Kettenregel zu ifferenzieren.. Auflösung er ifferenzierten Funktionsgleichung nach. Beispiele (zur impliziten Differentiation): Im Folgenen weren ie oben implizit argestellten Funktionen a) bis f) implizit ifferenziert. Zu a) ( ) = = 0 =.

3 Zu b) ( 1) = = 0 =. Zu c) ( + 1) = + = 0 =. + Zu ) ( + 3 ) = + ( + ) 6 = 0 =. 6 ( wure nach er Prouktregel abgeleitet. Zur Erinnerung: ist eine Funktion in ) 3 Zu e) ( ) = 3 = 0 =. 3 (Dabei wure 1 ln nach er Prouktregel abgeleitet) Zu f) (ln ln ) = (ln + ) = 0 = ( ln + 1). Einfache Merkregel bei er impliziten Differentiation: Beie Seiten er (impliziten) Funktionsgleichung (wie gewohnt) ifferenzieren un anschließen ie Gleichung nach auflösen. Dabei ist zu beachten, ass eine Funktion von ist. (Dabei ist es belanglos, ob ie Funktionsgleichung z.b. in c) in er Form + 1 = 0 oer, oer wie man es häufig sieht, in er Form + = 1 gegeben ist. Denn urch as Differenzieren wir ie rechte Seite er Gleichung in beien Fällen zu Null.) Z.B.: + = 1 Beie Seiten ifferenzieren + = 0 Gleichung nach auflösen = Übung: Bestimme ie Gleichung er Tangente = t( ) = k + im Punkt P = (3,(3)), mit ( 3) > 0 (Beschränkung auf en positiven Halbkreis), es Mittelpunktkreises mit em Raius r = 5 (Skizze). Die Funktionsgleichung es Kreises mit em Mittelpunkt M(0,0) un em Raius 5 lautet in impliziter Darstellung + = r = 5 (warum?) bzw. urch Umformung F (, = + 5 = 0.

4 Lösung: 1. Berechnung er. Koorinate ( 3) > 0 es Punktes P = (3, (3)) : Dazu setzen wir in ie Gleichung F (, = + 5 = 0 für = 3 ein, un lösen ie Gleichung nach auf: = 0 = ± 5 9 =. 1, ± Da wir ( 3) > 0 vorausgesetzt haben, fällt ie negative Lösung weg un es gilt: P = (3, (3)) = (3,).. Berechnung er Steigung k er Tangente im Punkt P (3,) : Wir wissen bereits, ass für ie Steigung k er Tangente im Punkt P (3,) gilt: k = (3). Da ie Funktion in impliziter Darstellung ( F (, = + 5 = 0 ) vorliegt, weren wir ie Tangentensteigung urch implizite Differentiation, wie oben beschrieben, ermitteln. Damit erhält man: F(, = ( [ ] + 5) = + = 0 = =. Im letzten Schritt oben wuren für un ie Koorinaten es Punktes P (3,) eingesetzt. (Beachte: ist eine Funktion von. Daher ist Daurch erhält man für ie Ableitung von =.) [ ] 3 als [ ()] mit Hilfe er Kettenregel aufzufassen. Damit gilt für ie Tangenten t: 3 t ( ) = k + = + = 0, Bestimmung es Wertes er Tangente im Punkt P (3,) : Da ie Tangente urch en Punkt P (3,) geht, kann aus er Gleichung = urch Auflösen nach gewonnen weren: = = + 0,75 3 = 6,5. Damit ist ie Gleichung er Tangente t im Punkt P (3,) vollstänig bestimmt: t ( ) = 0,75 + 6,5. Bemerkung: Die obige Schrittfolge kann bei ieser Aufgabenstellung auch urchgeführt weren, wenn ie Funktion, wie bisher üblich, in epliziter Darstellung ( = f ( ) = 5 ) (negative Lösung bereits ausgeschlossen) gegeben ist. Leiglich ie Differentiation in Punkt. wir in iesem Falle aners urchgeführt.

5 Logarithmisches Differenzieren Ein Spezialfall er impliziten Differentiation ist as logarithmische Differenzieren einer eplizit gegebenen Funktion = f (). Beim logarithmischen Differenzieren sin ie im folgenen Beispiel 1) angegebenen Schritte (von Umformungen abgesehen) urchzuführen. Beispiele: Beispiel 1) Die Funktion = f ( ) = sollte logarithmisch ifferenziert weren. Dazu sin ie folgenen Schritte urchzuführen. 1. = Beie Seiten zur Basis e logarithmieren (falls positiv). ln = ln Beie Seite er Gleichung nach ifferenzieren (Kettenregel) = ln + = (ln + 1) Gleichung nach auflösen. = (ln + 1) Für = einsetzen 5. = (ln + 1) Beispiel ) Die Funktion f ( ) = ( 1)( + ) sollte logarithmisch ifferenziert weren. 1. f ( ) = ( 1)( + ) Beie Seiten zur Basis e logarithmieren. ln f ( ) = ln[ ( 1)( + ) ] Beie Seite er Gleichung nach ifferenzieren 3. f ( ) 1 1 = + f ( ) 1 + Gleichung nach f () auflösen, umformen f ( ) = f ( ) ( 1)( ) Für f ( ) = ( 1)( + ) einsetzen, umformen f ( ) = ( 1)( + ) ( 1)( ) Kürzen + 6. f ( ) = + 1 In ) oben wure ln [( 1)( + ) ] = ln( 1) + ln( + ) ausgenutzt. + 1 Beispiel 3) Die Funktion f ( ) = ist logarithmisch zu ifferenzieren a f ( ) = logarithmieren (zur Basis e), ln = ln a lnb 3 b. ln f ( ) = ln( + 1) ln( 3) beie Seiten er Gleichung nach ifferenzieren 3. f ( ) = Gleichung nach f () auflösen un f ( ) = setzen f ( ) ( + 1) + 1 f ( ) = = ( + 1)( 3) 3 ( 3)

6 Das logarithmische Differenzieren ist manchmal einfacher un mit weniger Aufwan verbunen (siehe Beispiele oben), als er herkömmliche Weg zur Berechnung er Ableitung.