Kurzzusammenstellung der in der Vorlesung behandelten impliziten Gleichungen und deren Ableitungen

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1 Kurzzusammenstellung der in der Vorlesung behandelten impliziten Gleichungen und deren Ableitungen Einleitung: Funktion mit einer Veränderlichen Als Einleitung haben wir folgende Funktion besprochen: y 8 = f( x) = x x** Im nächsten Schritt haben wir uns für die x-werte interessiert für die f(x)= ist. Dies läßt sich graphisch durch die Schnittpunkte von f(x) mit y= visualisieren: y = x = 8 7 x** Die Gleichung ist damit für x=- und x= erfüllt.

2 Das selbe Ergebnis würde man für x = erhalten: x** Das Ergebnis läßt sich auf einem -dimensionalen Zahlenstrahl darstellen - wir benötigen nur eine um eine Dimension reduzierte Darstellung - also keine -dimensionale Darstellung Diese Vorgehensweise läßt sich auf die Darstellung einer Funktion mit Veränderlichen übertragen.

3 Funktion mit Veränderlichen und Gleichung mit Veränderlichen in impliziter Form Es soll folgende Gleichung betrachtet werden: z = f( x; y) = x + y xy x und y sind hierbei unabhängige Variablen. Der Graph läßt sich im -dimensionalen Raum darstellen: f(x,y) Senkrecht ist die z-achse dargestellt. Die x/y-ebene ist perspektivisch dargestellt. Im nächstenschritt interessieren uns nun alle x/y-werte für die z= ist. Graphisch läßt sich dies durch die Schnitt- Kurve von f(x,y) mit der Ebenen z= darstellen. Man kann aber auch =f(x,y)-= bilden. Hier ist nun das gewünschte Ergebnis die Schnitt- Kurve von mit der x,y-ebene (z=). Dies läßt sich graphisch wie folgt darstellen: xy_(x,y) Wenn man hier genau hinschaut, erkennt man, daß in der Mitte der Graph von unter der x,y-eben (z= liegt) und an den Rändern darüber. D.h., eine Schnittkurve existiert. -

4 Ändert man den Blickwinkel auf die Graphen so, daß man parallel zu x,y-ebene auf den Graphen schaut, so sieht der Graph wie folgt aus: xy_(x,y) Hier sieht man nun sehr deutlich, daß die x,y-ebene (z=) schneidet. Im folgenden schauen wir nun auf von oben und stellen nur z= dar (tatsächlich habe ich in Gnuplot einen Bereich -, dargestellt, weil Gnuplot die Darstellung von impliziten Gleichungen nicht unterstützt): Dies ist die Darstellung der möglichen x,y-werte, die unsere implizite Gleichung = bzw. f(x,y)= erfüllen. Aufgabe: Stellen Sie die Analogien zu der in der Einleitung diskutierten Lösung der Gleichung mit einer Variablen heraus!

5 Die Ableitung /dx Auch ohne, daß wir die Gleichung = in eine explizite Form bringen müssen, können wir die Ableitung /dx bestimmen. Hierbei verwenden wir die Kettenregel: z = y dz = = = y y dx dx dx Dies ist analog zur bekannten Kettenregel - hier ein kleines Beispiel zur Erinnerung: z = ( x+ ) z = y dz = y = ( x + ) y = x + = ---- dx x dz dz = = ( x + ) ---- dx dz x Zurück zu unserer disktutierten Gleichung F(x;y)=: z = F( x; y) = x + y xy = dz = = x + yy y xy + y x /y-x dx y x y = --- y x Wenn uns also ein Wertepaare (x;y) bekannt ist, das unsere Gleichung F(x;y)= erfüllt, können wir daraus die Steigung der Tangenten bestimmen. Die Tangente berührt den Graphen also bei (x;y). Interessant ist, daß y auch wie folgt gebildet werden kann: y = F x F y F x F y Fxy ( ; ) d = = Fxy ( ; ) = x y x dx y = const Fxy ( ; ) d y x y = --- = = Fxy ( ; ) = y x y x y x = const Diese Gleichung gilt allgemein für alle Gleichungen in der Form F(x;y)=! D.h., man muß eine Gleichung in impliziter Form ggf. erst entsprechend umformen. Hierzu ein weiteres Beispiel: sinx + cosy = sinx cosy. Umformung: Fxy ( ; ) = sinx + cosy ( sinx cosy). Berechnung von F x und F y : In folgender Abbildung ist F(x;y)= graphisch dargestellt:

6 F x F y = cosx cosx cosy = cosx( cosy) = siny + sinx siny = siny( sinx ) y = cosx( cosy) - siny( sinx ) π Waagerechte Tangenten zur x-achse haben die Kurven bei -- + nπ n Z. Dies kann man direkt aus der graphischen Darstellung ersehen oder mathematisch aus y folgern. Aufgabe: Überlegen Sie sich wo die Kurven senkrechte Tangenten zur x-achse haben!